反三角函数

2024年1月30日发(作者：)

反三角函数

一、知识结构框图表解

反三角函数的定义

反三角函反三角函数的图像和性质

对反正弦函数的理解

二、基础知识详解与要点点拨

1、反三角函数

函数ysinx,x,的反函数叫做反正弦函数，记作yarcsinx,x[1,1].

22函数ycosx,x0,的反函数叫做反余弦函数，记作yarccosx,x[1,1].

函数ytanx,x,的反函数叫做反正弦函数，记作yarctanx,x(,)

222、四种反三角函数的图像和性质

名称 反正弦函数

y=sinx(x∈

反余弦函数 反正切函数

y=tanx(x∈(-

反余切函数

y=cosx(x∈〔0,π〕)的反函数，叫〔-, 〕的反

做反余弦函数，记22函数，叫做反正弦 作y=arccosx

函数，记

作y=arsinx

arcsinx表示属

理解

于［-y=cotx(x∈(0,

,

π))的反函数，

2定义

叫做反余切函

)的反函数，叫

数，记作

2做反正切函数，记作 y=arccotx

y=arctanx

arctanx表示属于 arccotx表示属

于(0，π)且余切

(-,)，且正切

值等于x的角

22值等于x的角

,］

22arccosx表示属于［0，π］，且余弦值等于x的角

且正弦值等于x的角

图像

定义域 ［-1，1］

值域

［-［-1，1］

［0，π］

在［-1，1］上是减函数

arccos(-x)=-arccosx

π(-∞，+∞)

(-(-∞，+∞)

(0，π)

在(-∞，+∞)上是减函数

arccot(-x)=π-arccotx

cot(arccotx)=x(x∈R)

arccot(cotx)=x(x∈(0,π))

，］

22，)

22性在〔-1，1〕上是单调性

质 增函数

奇偶性

arcsin(-x)=-arcsinx

sin(arcsinx)=x(x∈［-1，1］)arcsin(sinx)=x(x∈［-互余恒等式

在(-∞，+∞)上是增数

arctan(-x)=-arctanx

周期性 都不是同期函数

cos(arccosx)=x(xtan(arctanx)=x(x∈［-1,1］) ∈arccos(cosx)=x(xR)arctan(tanx)=x∈［0,π］)

（x∈(-,)）

恒等式

,］)

2222arcsinx+arccosx=(x∈［-1,1］)

2arctanx+arccotx=(X∈R)

23、常用运算关系

（1）arcsin(x)arcsinx,x1,1；

sin(arcsinx)x,x[1,1]，

]x,当x[，22

arcsin(sinx){]时，x，]，x,当x[，[sinxsinx2222（2）arccos(x)arccosx,x1,1,arctan(x)arctanx,xR。

（3）cos(arccosx)x,x1,1,tan(arctanx)x,xR

4、对反正弦函数的理解

（1）对反正弦函数定义的理解

函数ysinx当x[,]时的反函数，叫做反正弦函数，记为22yarcsinx,x1,1(y,)，正弦函数ysinx(xR)不存在反函数，22但它在每一个单调递增或递减区间上都存在反函数，除上面的反函数外，其他的反函数不能直接用arcsinx来表示，但可以借助arcsinx来表示，例如ysinx在x[35,]上的反函数可以表示为y2arcsinx。

22（2）函数ysinx，x[,]与它的反函数yarcsinx,x1,1(y,)的2222

有关性质的比较。

函数ysinx，x[互为反函数

,]

22

yarcsinx,x1,1(y,)22定义域：[,]

22

互换

定义域：[1,1]

值域：[值域：[1,1]

,]

22互逆对应法则：xysinx

对应法则：xyarcsinx

[ysinx，的,]的图像

yarcsinxx,1,y1(,)2222关于yx对称

图像。

二、典型例题精讲与规律、方法、技巧总结

1、定义域、值域问题

例1、求下列函数的定义域

x（1）y2arcsin

33（2）yarcsin(x23x3）

2、单调性问题

例2、求yarcsin(x23x3)的单调区间并指出相应的单调性。

例3、解不等式arccos(x2)

5。

6

3、奇偶性问题

例4、判断下列函数的奇偶性

（1）ysin(2arccosx)

（2）ytan(arccosx)

4、最大（小）值问题

1例5、求函数y(arccosx)25arccosx,x,1的最大值和最小值，以及相应2的x的值。

5、反函数问题

例6、求下列函数的反函数

（1）yarcsinx(x1,1)的反函数。

23)的反函数。 （2）ysinx(x22