正比例函数、一次函数和反比例函数知识点归纳

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2024年2月3日发(作者:)

正比例函数、一次函数和反比例函数知识点归纳

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正比例函数、一次函数和反比例函数知识点归纳

正比例函数:

解析式:y=kx(k为常数,k≠0) ,k叫做函数的比例系数;(注意:x的指数为1)

图像:过原点的直线;

必过点:(0,0)和(1,k);

走向:k>o,图像过一三象限,k<0,图像过二四象限;

K>0

y

k<0

O

x

O

x

y

倾斜度:|k|越大,倾斜度越大,也就是越靠近y轴,|k|越小,倾斜度越小,也就是越靠近x轴;如图: y

y=2x

y=x

O

x

增减性:k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x的增大而减小;

一次函数:

解析式:y=kx+b(k,b为常数,k≠0),k叫做函数的比例系数,(注意:x的指数为1,b为直线与y轴交点的纵坐标) ;

正比例函数是一次函数的特殊情况,即b=0时的一种情况;

图像:一条直线;

必过点:(0,b)(-b/k,0);

走向:k>o,b>0,图像过一二三象限,k>0,b<0,图像过一三四象限;

y y

k>0,b>0 k>0,b<0

b

O O

x x

--

--

k0,图像过一二四象限 k0,图像过二三四象限

y

y

x O

O x

倾斜度:|k|越大,倾斜度越大,也就是越靠近y轴,|k|越小,倾斜度越小,也就是越靠近x轴;如图: y

y=2x

y=x

O

x

增减性:k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x的增大而减小;

平移:y=kx+b,向上平移m个单位:y=kx+b+m;向下平移n个单位:y=kx+b-n;

向左平移m个单位:y=k(x+m)+b;向右平移n个单位:y=k(x-n)+b;

简称:上加下减,左加右减;(注:上加下减到代数式后面,左加右减到x后面,直接与x进行加减,与系数和指数都没关系);

反比例函数:

解析式:y=k/x(k为常数,k≠0)

图像:双曲线(图像无限靠近坐标轴,但永不相交。)

所在象限:k>0图像经过一三象限;k<0图像经过二四象限。

y y

k>0 k<0

O x O x

增减性:k>0,y随x的增大而减小;k<0,y随x的增大而增大;

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反比例函数知识点归纳

一、基础知识

(一)反比例函数的概念

1.数为()可以写成()的形式,注意自变量x的指这一限制条件; ,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 2.()也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k,从而得到反比例函数的解析式;

3.反比例函数的自变量,故函数图象与x轴、y轴无交点.

(二)反比例函数的图象

在用描点法画反比例函数的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,且x应对称取点(关于原点对称).

(三)反比例函数及其图象的性质

1.函数解析式:(

2.自变量的取值范围: 3.图象:

(1)图象的形状:双曲线.

越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直. 越小,图象的弯曲度越大.

(2)图象的位置和性质:

与坐标轴没有交点,称两条坐标轴是双曲线的渐近线.

当而减小;

时,图象的两支分别位于一、三象限;在每个象限内,y随x的增大--

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当而增大.

(3)对称性:图象关于原点对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则()在双曲线的另一支上.

图象关于直线和(,对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(,),时,图象的两支分别位于二、四象限;在每个象限内,y随x的增大)在双曲线的另一支上.

4.k的几何意义

如图1,设点P(a,b)是双曲线上任意一点,作PA⊥x轴于A点,PB⊥y轴于B点,则矩形PBOA的面积是(三角形PAO和三角形PBO的面积都是).

如图2,由双曲线的对称性可知,P关于原点的对称点Q也在双曲线上,作QC⊥PA的延长线于C,则有三角形PQC的面积为.

图1 图2

5.说明:

(1)双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个--

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分支分别讨论,不能一概而论.

(2)直线 当与双曲线的关系:

时,两图象必有两个交点,时,两图象没有交点;当且这两个交点关于原点成中心对称.

(3)反比例函数与一次函数的联系.

(四)实际问题与反比例函数

1.求函数解析式的方法:

(1)待定系数法;(2)根据实际意义列函数解析式.

2.注意学科间知识的综合,但重点放在对数学知识的研究上.

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正比例函数、一次函数和反比例函数知识点归纳

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