一次函数的定义图象特点和性质

2024年2月3日发(作者：)

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084. 一次函数的定义、图象特点和性质 班级 姓名

知识要点：

1.定义：一般地，形如 的函数，叫做正比例函数.

形如 的函数，叫做一次函数.

正比例函数是特殊的一次函数

2. 一次函数的图象：

一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，图象称为直线y=kx+b．

由于 确定一条直线，画一次函数的图象只需要找到适合关系式的两点，再连成直线，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点 ，直线与x轴的交点 .画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.

画函数y=2x+3的图像时取点 ，画函数y=-3x的图像时取点

3.一次函数y=kx+b（k≠0）的性质

（1）k的正、负决定直线的倾斜方向，也决定函数的增减性；

（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；

（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；

（4）由于k、b的符号不同，直线所经过的象限也不同；

k

k＞0

b

b＞0

经过的象限

y随x的变化

y随x的增大而

y随x的减小而

b=0

k＜0

b＞0

y随x的增大而

y随x的减小而

b=0

图象

b＜0

b＜0

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4.直线的平行、相交

（1）同一平面坐标系内，不重合的两直线 y=k1x+b1（k1≠0）与 y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：

当 时，两直线平行； 当 时，两直线相交。

5. 点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系

（1）如果点P（x0，y0）在函数y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；

（2）如果x0，y0是满足函数解析式y=kx+b的一对对应值，那么以P（x0，y0）为坐标的点必在函数y=kx+b的图象上．

训练题：

1.下列函数中是一次函数的是（ ）

A.y2x21 B.y1x1 C.y D.y3x2x21

x32．关于x的函数ym1x2n，当 时，此函数是一次函数，当 时，此函数为正比例函数．

3.对于函数y＝5x+6，y的值随x值的减小而_ _.

对于函数y12x, y的值随x值的_____而增大.

234.如果一次函数ykxb的图象经过第一象限，且与y轴负半轴相交，那么（ ）

A．k0，b0 B．k0，b0 C．k0，b0 D．k0，b0

5.已知函数y=(1-m)x+m-2,当m 时，y随x的增大而增大。

6.如果直线 y＝ax＋b 不经过第四象限，那么 ab＿＿＿0（填“≥”、“≤”或“＝”）.

7.若一次函数y=kx+(k-1)图象经过第一．三．四象限,则k的取值范围是

8.一次函数 y=(6-3m)x＋(2n－4)不经过第二象限，则m、n的范围是__________.

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9.已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限，那么直线y=-bx+k经过第_______象限.

10．若点P（m21,3m1）在第四象限内，则一次函数ym2xm经过第________象限．

11.无论m为何值，直线y=x+2m与直线y=-x+4的交点不可能在第______象限.

12.已知直线y=m+n,其中m,n是常数且满足：m+n=6,mn=8，那么该直线经过（ ）

A第二、三、四象限 B第一、二、三象限 C第一、三、四象限 D第一、二、四象限

13.当m分别为何值时,直线y=(1-3m)x+2m-1满足下列条件.

(1)经过原点；

(2)与y轴相交于点(0，-3)；

(3)与x轴相交于点(3，0)；

4(4)y随x的增大而减小；

(5)图象与y轴的交点在x轴下方.

14.根据下表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为（ ）

x

y

-2

3

0

p

1

0

A 1 B -1 C 3 D -3

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15.写出一个过点（0,3），且函数值y 随自变量x的增大而减小的一次函数关系式：

16.过点（2，-3）且平行于直线y=-3x+1的直线是_________ __.

17.已知函数ykxb的图象如图，则y2kxb的图象可能是（ ）

18.在函数 y＝kx（k＜0）图象上有A（1，y1）、B（－1，y2）、C（－2，y2）三个点，则下列正确的是（ ）

A、y1＜y2＜y3

B、y1＜y3＜y2 C、y3＜y2＜y1 D、y2＜y3＜y1

19．将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内，•下列为正确的一个是（ ）

20．已知直线y1k1xb1，y2k2xb2，且b1b2，k1k20，则两直线的图象可能是（ ）

y

y1

y

y1

x

y

y2

x

0

B

y2

y1

0

y2

x

y

0

y2

x

0

A

C

D

085. 一次函数图象与坐标轴的的交点以及待定系数法

班级 姓名

【知识要点】：

y1

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1. 求直线y=kx+b（k≠0）与坐标轴的交点：

把x=0代入，y= ，把y=0代入，x= 。

直线y=kx+b与y轴的交点为 ，与x轴的交点为 。

例1：求直线y=

2. 求两直线交点坐标：就是联立两直线解析式求方程组的解；

例2：已知函数y2x1与y3x2的图象交于点P，则点P的坐标为 ．

3.待定系数法求一次函数的解析式：

例3：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的解析式．

小结：用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤：（1）设函数表达式为 ；（2）将 代入函数表达式；（3）解方程（组）求出 的值；（4）将 的值代入 ，得到函数表达式.

【课堂练习】：

1.过点P（-1，3）作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，•这样的直线可以作 条.

3x2与两坐标轴围成的三角形面积。

2

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2一次函数y=

2x与y=-2x+3的图象交点坐标为_________.

33.已知直线y=x+1与y=-2x+a的交点在第一象限，则a的取值范围为 .

4若函数y=3x+b经过点（2，-6），则函数的解析式为 .

5．如图，过点Q(0,3.5)的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点P，则这个一次函数的解析式是

6．已知直线ykxb与x轴，y轴分别交于点（－2，0），（0，－3），求其函数解析式。

7. 已知一次函数的图象过点3，5与4，9，求该函数的图象与y轴交点的坐标．

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8.已知直线y=-2x+b与两坐标轴的围成的三角形的面积是8，求这条直线的解析式.

【课堂小结】：

本节课我学会的知识点有：

我的疑惑还有

【课后作业】

1.已知直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），则其解析式为 .

2．写出满足条件“图象与两坐标轴围成的三角形面积为6”的一个函数表达式 .

3.如图一次函数图象经过点A，且与正比例函数y＝－x的图象交于点B，则该一次函数的表达式为 .

4.已知直线经过（1,2）、（-3,4）两点，求此直线与坐标轴围成的图形的面积.

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5.已知直线l与直线y2x1的交点的横坐标为2，与直线yx2的纵坐标为1，求直线l的函数解析式．

6一个正比例函数的图象和一个一次函数的图象交于点 A（－1，2），且一次函数的图象与x轴交于点B，且△ABO 的面积为 5，求这两个函数的解析式.

086. 一次函数与方程不等式（组）的关系 班级 姓名

知识要点：

1. 一次方程与一次函数的关系

求直线y=ax+b与x轴的交点坐标就是求一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解；•

2. 一次函数与二元一次方程组的关系

求两直线交点坐标，就是联立两直线解析式求方程组的解；

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3. 一元一次不等式与一次函数的关系

（1）直线y=ax+b在x轴的上方，也就是函数的值大于零，x的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x轴的下方也就是函数的值小于零，x的值是不等式ax+b<0（a≠0）的解．

（2）两直线交点坐标与不等式的关系（举例）

训练题：

1.如图，一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是 .

ykxb2.如图所示的是函数ykxb与ymxn的图象，求方程组的解ymxn是 ．

3.如图，直线ykxb(k0)与x轴交于点(3，0)，关于x的不等式kxb0的解集是 .

4.直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x＋c在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x＋b＜k2x＋c的解集为

5．如图，直线ykxb经过点A(1，2)和点B(2，0)，直线y2x过点A，则不等式2xkxb0的解集为

0

y

4

y

O

3

x

3

x

6．如图，直线l1：yx1与直线l2：ymxn相交于点P(1 ,b)．

（1）求b的值；

（2）不解关于x,y的方程组

7作出函数y=y

b

O

P

1

l1

yx1，请你直接写出它的解；

ymxn，l2

x

12x4的图象，并根据图象回答问题：

⑴当x取何值时，y>0?

⑵当－1≤x≤2时，求y的取值范围.

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8．若一次函数y=kx+b，当-3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，•求一次函数的解析式．

9.已知一次函数y=ax+b的图象经过点A（2，0）与B（0，4）．

（1）求一次函数的解析式，并在直角坐标系内画出这个函数的图象；

（2）如果（1）中所求的函数y的值在-4≤y≤4范围内，求相应的x的值在什么范围内．

10．已知：如图一次函数y=1x-3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，过2点C（4，0）作AB的垂线交AB于点E，交y轴于点D，求点D、E的坐标．

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11.完成以下3道题的分析，总结发现的规律.

（1）已知直线y=kx+b与直线y=-3x+6关于y轴对称，求k、b的值.

（2）已知直线y=kx+b与直线y=-3x+6关于x轴对称，求k、b的值.

（3）已知直线y=kx+b与直线y=-3x+6关于原点对称，求k、b的值.

发现：已知直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2

（1）关于y轴对称，则

（2）关于x轴对称，则

（3）关于原点对称，则

087.一次函数的解答题 班级 姓名

训练题：

1.已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A（3,4），且OA=OB.

(1)求两个函数的解析式；(2)求△AOB的面积；

2.点A，B，C，D的坐标如图所示，求直线AB与直线CD的交点坐标．

3.如图，在平面直角坐标系中，直线l:y=-2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，

将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△AOB.

（1）求直线AB的解析式；

（2）若直线AB与直线l相交于点C，求△ABC的面积.

4A32101234ByB

OACBxAl

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4.已知直线l1:yk1xb1经过点（－1，6）和（1，2），它和x轴、y轴分别交于B和A；直线l2:yk1xb2经过点（2，－4）和（0，－3），它和x轴、y轴的交点分别是D和C.

（1）求直线l1和l2的解析式；（2）求四边形ABCD的面积；（3）设直线l1与l2交于点P，求△PBC面积.

5.已知直线m经过两点（1,6）、（-3，-2），它和x轴、y轴的交点式B、A，直线n过点（2，-2），且与y轴交点的纵坐标是-3，它和x轴、y轴的交点是D、C；

(1)分别写出两条直线解析式，并画草图；

(2)计算四边形ABCD的面积；

(3)若直线AB与DC交于点E，求△BCE的面积.

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6.如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点P（2，p）在第一象限，直线PA交yy轴于点C（0,2），直线PB交y轴于点D，△AOP的面积为6；

（1）求△COP的面积；（2）求点A的坐标及p的值；

DEP(2,p)（3）若△BOP与△DOP的面积相等，求直线BD的函数解析式.

C

AOFBx

088. 一次函数的解答题 班级 姓名

1．一次函数的图象过点（0，2），且函数y的值随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的函数解析式 ．

2．若直线y=3x-1与y=x-k的交点在第四象限，则k的取值范围是（ ）．

111 （B）1 （D）k>1或k<

33313．已知一次函数ykxb的图象与正比例函数yx的图象交于点A，并且与y轴交于点3 （A）k

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4．已知一次函数的图象，交x轴于A（-6，0），交正比例函数的图象于点B，且点B•在第三象限，它的横坐标为-2，△AOB的面积为6平方单位，•求正比例函数和一次函数的解析式．

5.如图，已知点A（2，4），B（-2，2），C（4，0），求△ABC的面积.

6．如图，一束光线从y轴上的点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），求光线从A点到B点经过的路线的长．

7.已知：直线点D.

（1）求直线（2）若直线与

的解析式；

交于点P，求

的值.

经过点（-3，-2），它与x轴，y轴分别交于点B、A，直线经过点（2，-2），且与y轴交于点C（0，-3），它与x轴交于

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8．如图，直线AB：y=1x+1分别与x轴、y轴交于点A.点B,直线CD：y=x+b分别与x轴、y2轴交于点C.点D．直线AB与CD相交于点P，已知SABD=4，求点P的坐标.

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