幂指函数的导数求法

2024年2月7日发(作者：)

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幂指函数的导数求法

作者：王志英

来源：《课程教育研究·中》2015年第05期

【摘要】求幂指函数导数对高职学生来说是一个难点，本文对幂指函数的导数求法做一总结。

【关键词】函数 ;导数 ;偏导数

【中图分类号】G71 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）05-0137-01

形如y=u（x）V（x）称为幂指函数。例如，y=xcosx、y=（1+x2）2x均为幂指函数。

幂指函数既不是幂函数，也不是指数函数，因此在求导时不能使用幂函数或指数函数的求导公式。下面举例说明其求导方法。

（一）用复合函数求导法则求幂指函数的导数

定理：若函数u=？准（x）在点x处可导，函数y=f（u）在相应的点u处可导，则复合函数y=f[？准（x）]在点x处可导，且■=■·■.

例1：求函数y=xcosx的导数。

解：由于y=xcosx=elnx■=ecosxlnx，于是它可以分解为y=eu，u=cosxlnx，所以■=■·■=eu·（-sinxlnx+■）=xcosx·（-sinxlnx+■）

说明：使用复合函数求导法则求幂指函数的关键在于正确分解复合函数，分解幂指函数是一个难点。

（二）用对数求导法求幂指函数的导数

对数求导法是先在y=f（x）两边求对数，然后使用隐函数求导法则求其导数。

例2：求函数y=（1+x2）2x的导数。

解：先在两边求对数得 ;lny=2xln（1+x2）

上式两边对x求导得