三角函数相关公式推导过程以及高中数学常用公式

2024年2月7日发(作者：)

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三角函数相关公式推导过程以及高中数学常用公式

三角函数相关公式推导过程 万能公式推导

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos (α)+sin (α))......*， 再把*分式上下同除cos (α)，可得sin2α=2tanα/(1+tan (α))

然后用α/2代替α即可。 同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。 三倍角公式推导 tan3α=sin3α/cos3α

=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα) =(2sinαcos (α)+cos (α)sinα－sin (α))/(cos (α)－cosαsin (α)－2sin (α)cosα) 上下同除以cos (α)，得： tan3α=(3tanα－tan (α))/(1-3tan (α))

sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

=2sinαcos (α)+(1－2sin (α))sinα

=2sinα－2sin (α)+sinα－2sin (α)

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=3sinα－4sin (α)

cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα－sin2αsinα

=(2cos (α)－1)cosα－2cosαsin (α)

=2cos (α)－cosα+(2cosα－2cos (α))

=4cos (α)－3cosα 即

sin3α=3sinα－4sin (α)

cos3α=4cos (α)－3cosα 和差化积公式推导 首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理,两式相减我们就得到~ 2 ~

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sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式. 我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

高中数学常用公式及结论 1

元素与集合的关系:x?A?x?CUA,x?CUA?x?A.??A?A?? 2

集合{a1,a2,?,an}的子集个数共有2n 个；真子集有2n?1个；非空子 集有2n?1--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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个；非空的真子集有2n?2个. 3 二次函数的解析式的三种形式： (1) 一般式f(x)?ax2?bx?c(a?0); (2) 顶点式f(x)?a(x?h)2?k(a?0); (3) 零点式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0)； 切线式：f(x)?a(x?x0)2?(kx?d),(a?0)。 4 真值表：

同真且真，同假或假 5 常见结论的否定形式; 原结论 反设词 是 不是 原结论

反设词 至少有一一个也没有 个 都是

不都是 至多有一至少有两个 个 大于

不大于 至少有n至多有个 个 小于 不小于 至多有n至少有个 个 对所有x，成存在某x，不成p或q ?p且?q 立 立 对任何x，不存在某x，成立 p且q ?p或?q

成立 6 四种命题的相互关系(下图):

原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ

若ｑ则ｐ 互 互 互 为

为 互 否 否 逆 逆

否 否 否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ 充要条件： (1)、p?q，则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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件； 、p?q，且q ≠> p，则P是q的充分不必要条件； (3)、p ≠> p ，且q?p，则P是q的必要不充分条件；

4、p ≠> p ，且q ≠> p，则P是q的既不充分 又不必要条件。 7 函数单调性:

增函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而增大。 、数学符号表述是：设f在x?D上有定义，若对任 意的x1,x2?D,且x1?x2，都有 f(x1)?f(x2)成立，则就叫f在x?D上是增函数。D

则就是f的递增区间。 减函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而减小。 、数学符号表述是：设f在x?D上有定义，若对 任意的x1,x2?D,且x1?x2，都有 f(x1)?f(x2)成立，则就叫f在x?D上是减函数。D 则就是f的递减区间。 单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；、减函数+减函数=减函数； (3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数= 减函数； 注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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个函数定义域的交集。 复合函数的单调性：

Sn?a1?a2???an ?na1?

Sn??a1(1?qn)?1?q?(q?1)(q?1) 常用性质：、若m+n=p+q ，则有

am?an?ap?aq ； 注：若am是an,ap的等比中项，则有 am2?an?ap?n、m、p成等比。 、若?an?、?bn?为等比数列，则?an?bn?为等比数 列。

ab(1?b)n18分期付款(按揭贷款) ：每次还款x?元(贷款a元,n次还 (1?b)n?1清,每期利率为b). 19三角不等式：

若x?(0,)，则sinx?x?tanx. 2?(2) 若x?(0,)，则1?sinx?cosx?2. 2(3)

|sinx|?|cosx|?1. ?20 同角三角函数的基本关系式 ：sin2??cos2??1，tan?=

sin?， cos?21 正弦、余弦的诱导公式 22

和角与差角公式

sin(???)?sin?cos??cos?sin?;cos(???)?cos?c--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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os??sin?sin?; tan(???)?tan??tan?.

1?tan?tan?baasin??bcos?=a2?b2sin(???)

(辅助角?所在象限点(a,b)的象限决定,tan?? ). 23 二倍角公式及降幂公式

sin2??sin?cos??22tan?.

1?tan2?2221?tan2?cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin??.

21?tan?2tan?sin2?1?cos2?tan???.

1?tan2?1?cos2?sin2?1?cos2?1?cos2?sin2??,cos2?? 22tan2??24 三角函数的周期公式 函数y?sin(?x??)，x?R及函数y?cos(?x??)，x?R(A,ω,?为常数，且A≠0)的周期T?2??；函数y?tan(?x??)，x?k??,k?Z(A, 2|?|ω,?为常数，且A≠0)的周期T?三角函数的图像： ?.

|?|y=sinx-π/2-2π-3π/2-πy1o-1π/2π3π/22πxy=cosx-2π-3π/2-π-π/2y1o-1π/2π3π/22πx25

正弦定理 ： abc???2R.

sinAsinBsinC?a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC?a:b:c?sinA:sinB:sinC

a2?b2?c2?2bccosA;b2?c2?a2?2cacosB;c2?a2?b2?2abcosC. 26余弦定理：

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27面积定理：

111222111S?absinC?bcsinA?casinB.

222????????2????????21(3)S?OAB?(|OA|?|OB|)?(OA?OB). 2a?b－c斜边2S?r?内切圆?,r直角?内切圆?

a?b?c2S?aha?bhb?chb、c边上的高）. ha、hb、hc分别表示a、c28三角形内角和定理 ： 在△ABC中，有A?B?C???C???(A?B) ?C?A?B???2C?2??2(A?B). 22229实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么： ??(1)

结合律：λ(μa)=(λμ) a; ???(2)第一分配律：(λ+μ) a=λa+μa; ????(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. ??????30a与b的数量积(或内积)：a2b=|a||b|cos?。

31平面向量的坐标运算： ????(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1?x2,y1?y2). ????(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1?x2,y1?y2). ????????????

(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1). ??(4)设--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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a=(x,y),??R，则?a=(?x,?y). ????(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a2b=(x1x2?y1y2). 32 两向量的夹角公式： ??a?bcos?????|a|?|b|x1x2?y1y222x12?y12?x2?y2??(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

33 平面两点间的距离公式： ????????????

dA,B=|AB|?AB?AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2(A(x1,y1)，B(x2,y2)). ????34 向量的平行与垂直 ：设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则： ????a||b?b=λa ?x1y2?x2y1?0.

??????a?b (a?0)?

a2b=0?x1x2?y1y2?0. 35 线段的定比分公式 ：设P12的分1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段PP?x1??x2????????x??????????????OP?1??1??OP2点,?是实数，且PP，则

OP???PP??12y??y1??2?y?1?1???????????????1t?. ?(1?t)OP?OP?tOP121??36三角形的重心坐标公式： △ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、 B(x2,y2)、--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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C(x3,y3),则△ABCx?x?xy?y2?y3G(123,1).

33的重心的坐标是 37三角形五“心”向量形式的充要条件： 设O为?ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则 ????2????2????2O为?ABC的外心?OA?OB?OC. ?????????????O?ABC为的重心?OA?OB?OC?0. ????????????????????????O为?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA. ?????????????O为?ABC的内心?aOA?bOB?cOC?0. ????????????O为?ABC的?A的旁心?aOA?bOB?cOC. 38常用不等式：

a,b?R?a2?b2?2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)． a?b?ab(当且仅当a＝b时取“=”号)． 2a3?b3?c3?3abc(a?0,b?0,c?0).

a,b?R??a?b?a?b?a?b.

2aba?ba2?b2(当且仅当a＝b时取“=”号)。 ?ab??a?b2239极值定理:已知x,y都是正数，则有 若积xy是定值p，--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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则当x?y时和x?y有最小值2p； 若和x?y是定值s，则当x?y时积xy有最大值s2. 已知a,b,x,y?R?，若ax?by?1则有

1111byax??(ax?by)(?)?a?b???a?b?2ab?(a?b)2。 xyxyxyab已知a,b,x,y?R?，若??1则有

xyabaybxx?y?(x?y)(?)?a?b???a?b?2ab?(a?b)2 xyxy1440 一元二次不等式ax2?bx?c?0(或?0)(a?0,??b2?4ac?0)，如果a与 ax2?bx?c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2?bx?c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.即：

x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2)； x?x1,或x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2). 41 含有绝对值的不等式 ：当a> 0时，有

x?a?x2?a2??a?x?a. x?a?x2?a2?x?a或x??a. 42 斜率公式 ：

k?y2?y1. x2?x143 直线的五种方程：

k点斜式 y?y1?k(x?x1) (直线l过点P

1(x1,y1)，且斜率为)． 斜截式

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y?kx?b(b为直线l在y轴上的截距).

两点式

y?y1x?x1(y1?y2)(P?1(x1,y1)、P2(x2,y2)

y2?y1x2?x1(x1?x2,y1?y2)). 两点式的推广：(x2?x1)(y?y1)?(y2?y1)(x?x1)?0

(4)截距式 a?0、b?0) xy??1(a、b分别为直线的横、纵截距，ab一般式

Ax?By?C?0(其中A、B不同时为0). ??直线Ax?By?C?0的法向量：l??(A,B)，方向向量：l?(B,?A) 44 夹角公式： k2?k1|. (l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2,k1k2??1)

1?k2k1AB?AB(2)tan??|1221|.(l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,

A1A2?B1B2(1)tan??|A1A2?B1B2?0).

直线l1?l2时，直线l1与l2的夹角是.

45 l1到l2的角公式：

k2?k1.(l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2,k1k2??1)

1?k2k1AB?AB(2)tan??1221.(l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,

A1A2?B1B2?2(1)tan??A1A2?B1B2?0).

直线l1?l2时，直线l1到l2的角是.

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46 点到直线的距离 ：d?Ax?By?C?0). ?2|Ax0?By0?C|A?B22(点P(x0,y0),直线l： 47 圆的四种方程： 圆的标准方程

(x?a)2?(y?b)2?r2. 圆的一般方程

x2?y2?Dx?Ey?F?0(D2?E2?4F＞0).

圆的参数方程 ??x?a?rcos?. ?y?b?rsin?圆的直径式方程

(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0(圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)). 48点与圆的位置关系：点P(x0,y0)与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系有三种：

若d?(a?x0)2?(b?y0)2，则d?r?点P在圆外; d?r?点P在圆上; d?r?点P在圆内. 49直线与圆的位置关系：直线Ax?By?C?0与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的

位置关系有三种(d?Aa?Bb?CA?B22):

d?r?相离???0;d?r?相切???0;d?r?相交???0. 50 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O1，--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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O2，半径分别为r1，r2，O1O2?d，则：

d?r1?r2?外离?4条公切线; d?r1?r2?外切?3条公切线; r1?r2?d?r1?r2?相交?2条公切线; 内含内切相交外切相离d?r1?r2?内切?1条公切线;

0?d?r1?r2?内含?无公切线.

odr2-r1dr1+r2ddx2y251 椭圆2?2?1(a?b?0)的参数方程是

ab?x?acos?. 离心率??y?bsin?cb2e??1?2，

aab2a2准线到中心的距离为，焦点到对应准线的距离(焦准距)p?。 ccb2过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：2?. ax2y252 椭圆2?2?1(a?b?0)焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形 ab的面积:

a2PF1?e(x?)?a?ex，

c?FPFS?F1PF2?c|yP|?b2tan1。

2a2PF2?e(?x)?a?exc； 53椭圆的的内外部: 22x0y0x2y2点P(x0,y0)在椭圆2?2?1(a?b?0)的内部?2?2?1.

abab22x0y0x2y2点P(x0,y0)在椭圆2?2?1(a?b?0)的外部?2?2?1. abab54

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椭圆的切线方程: x2y2(1) 椭圆2?2?1(a?b?0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是 abx0xy0y?2?1. a2bx2y2 过椭圆2?2?1外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是 abx0xy0y?2?1.

a2bx2y2 椭圆2?2?1(a?b?0)与直线Ax?By?C?0相切的条件是

abA2a2?B2b2?c2. x2y2cb255 双曲线2?2?1(a?0,b?0)的离心率e??1?2，准线到中心的abaab2a2距离为，焦点到对应准线的距离(焦准距)p?。过焦点且垂

ccb2直于实轴的弦叫通经，其长度为：2?. aa2a2焦半径公式PF1?|e(x?)|?|a?ex|，PF2?|e(?x)|?|a?ex|，

cc?FPF两焦半径与焦距构成三角形的面积S?F1PF2?b2cot1。 2 56 双曲线的方程与渐近线方程的关系:

x2y2x2y2(1）若双曲线方程为2?2?1?渐近线方程：2?2?0?ababy??bx. ay?? (2)若渐近线方程为 x2y2???.

a2b2xyb??0?x?aba双曲线可设为

x2y2x2y2(3)若双曲线与2?2?1有公共渐--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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近线，可设为2?2?? abab. (4)

焦点到渐近线的距离总是b。 57双曲线的切线方程: x2y2 (1)双曲线2?2?1(a?0,b?0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是 abx0xy0y?2?1. 2abx2y2

(2)过双曲线2?2?1外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方 abxxyy程是02?02?1. abx2y2 双曲线2?2?1与直线Ax?By?C?0相切的条件是

abA2a2?B2b2?c2. 58抛物线y2?2px的焦半径公式: 抛物线y2?2px(p?0)焦半径CF?x0?过焦点弦长CD?x1?p.

2pp?x2??x1?x2?p. 22b24ac?b259二次函数y?ax?bx?c?a(x?)?(a?0)的图象是抛物线： 2a4ab4ac?b2)；顶点坐标为(?,焦点的坐标为 2a4ab4ac?b2?1(?,)；

2a4a4ac?b2?1准线方程是y?. 4a260

直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2 或

AB?(1?k2)[(x2?x1)2?4x2?x1]?|x1?x2|1?tan2??|y1?y2|1?cot2? 转化为直线与平面无公共点； 转化为线线平行； 转化为--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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面面平行. 62证明直线与平面垂直的思考途径: 转化为该直线与平面内任一直线垂直； 转化为该直线与平面内相交二直线垂直； 转化为该直线与平面的一条垂线平行； 转化为该直线垂直于另一个平行平面。 63证明平面与平面的垂直的思考途径： 转化为判断二面角是直二面角； 转化为线面垂直；

(3) 转化为两平面的法向量平行。 64 向量的直角坐标运算： ??设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)则： ??(1) a＋b＝(a1?b1,a2?b2,a3?b3)； ??(2) a－b＝(a1?b1,a2?b2,a3?b3)； ?(3)λa＝(?a1,?a2,?a3) (λ?R)； ??(4) a2b＝a1b1?a2b2?a3b3； 65 夹角公式： ??ab设＝，＝，则(a1,a2,a3)(b1,b2,b3)??cos?a,b??a1b1?a2b2?a3b3a?a?a212223b?b?b212223. 66

异面直线间的距离 ： ????????|CD?n|?(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D是l1,l2上任一d?|n|点，d为l1,l2间的距离). 67--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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点B到平面?的距离： ???????|AB?n|??. d?|n|468球的半径是R，则其体积V??R3,其表面积S?4?R2． 369球的组合体： (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3)球与正四面体的组合体:

棱长为a的正四面体的内切球的半径为

6a 12(正四面体高 36a的).

43166a的),外接球的半径为a(正四面体高 43470 分类计数原理：N?m1?m2???mn. 分步计数原理：N?m1?m2???mn. m71排列数公式 ：=n(n?1)?(n?m?1)=Ann！* .(n，且m?n)．规m?N，(n?m)！定0!?1. n！Anmn(n?1)?(n?m?1)72 组合数公式：C=m==(n?N*，m?N，

1?2???mm！?(n?m)！Ammn且m?n).

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组合数的两个性质:(1)Cnm=Cnn?m ;(2)

Cnm+Cnm?1=Cnm?1.规定0Cn?1.

73 二项式定理

0n1n?12n?22rn?rrnn(a?b)n?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb ; 二项展开式的通项公式Tr?1?Cnran?rbr(r?0，1，2?，n).

f(x)?(ax?b)n?a0?a1x?a2x2???anxn的展开式的系数关系：

a0?a1?a2???an?f(1)；

a0?a1?a2???(?1)nan?f(?1)；a0?f(0)。

74 互斥事件A，B分别发生的概率的和：P(A＋B)=P(A)＋P(B)． n个互斥事件分别发生的概率的和：P(A1＋A2＋?＋An)=P(A1)＋P(A2)＋?＋P(An)． 75 独立事件A，B同时发生的概率：P(A2B)= P(A)2P(B). n个独立事件同时发生的概率：P(A12

A22?2 An)=P(A1)2 P(A2)2?2

P(An)． 76 n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率： kkn?kP.

n(k)?CnP(1?P)77 数学期望：E??x1P1?x2P2???xnPn?? 数学期望~ 19 ~

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的性质 E(a??b)?aE(?)?b. 若?～B(n,p),则E??np. (3) 若?服从几何分布,且P(??k)?g(k,p)?qk?1p，则E??22278方差：D???x1?E???p1??x2?E???p2????xn?E???pn?? 1. p标准差：??=D?. 方差的性质： (1)D?a??b??a2D?； (2）若?～B(n,p)，则D??np(1?p). (3) 若?服从几何分布,且P(??k)?g(k,p)?qk?1p，则D??方差与期望的关系：D??E?2??E??.

79正态分布密度函数：f?x??1e2?6?2q.

p2?x???2262,x????,???， 式中的实数μ，?是参数，分别表示个体的平均数与标准差. 对于N(?,?2)，取值小于x的概率：F?x?????P?x1?x0?x2??P?x?x2??P?x?x1?

x????. ???80 f(x)在x0处的导数：

f(x0??x)?f(x0)?y?lim. ?x?0?x?x?0?x?ss(t??t)?s(t)lim?lim瞬时速度：??s?(t)??.

t?0?t?t?0?t?vv(t??t)?v(t)lim?lim瞬时加速度：a?v?(t)??. t?0?t?t?0?t81 函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义：

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f?(x0)?y?x?x0?lim

函数y?f(x)在点x0处的导数是曲线y?f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f?(x0)，相应的切线方程是y?y0?f?(x0)(x?x0). 82 几种常见函数的导数： (1) C??0.(2)

(x)??nxn?1(n?Q).(3) (sinx)??cosx.

n(4) (cosx)???sinx. (5) (lnx)??；(logax)??logae. (6) (ex)??ex; (ax)??axlna.

83 导数的运算法则：

u’u’v?uv’(v?0).

(u?v)?u?v.(uv)?uv?uv.()?vv284 判别f(x0)是极大值的方法： ’’’’’’1x1x当函数f(x)在点x0处连续时， 如果在x0附近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0，则f(x0)是极大值； 如果在x0附近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0，则f(x0)是极小值.

85 复数的相等：a?bi?c?di?a?c,b?d. 86 复数z?a?bi的模|z|=|a?bi|=a2?b2. 87 复平面上的两点间的距离公式：

d?|z1?z2|?(x2?x1)2?(y2?y1)2. 88实系数--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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一元二次方程的解 实系数一元二次方程ax2?bx?c?0， ?b?b2?4ac①若??b?4ac?0,则x1,2?; 2ab②若??b2?4ac?0,则x1?x2??; 2a③若??b2?4ac?0，它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有

2?b??(b2?4ac)i2且仅有两个共轭复数根x?(b?4ac?0). 2a 高中数学公式提升 一、集合、简易逻辑、函数 1．研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已

知集合A={x,xy,lgxy},集合B={0,｜x｜,y},且A=B,则x+y= 2．研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合M={y｜y=x2 ,x?R},N={y｜y=x2+1,x?R},求M∩N；与集合M={｜y=x2 ,x?R},N={(x,y)｜y=x2+1,x?R}求M∩N的区别。 A?B??时，A??或B??；3．集合 A、B，你是否注意到“极端”情况： 求集合的子集A?B时是否忘记?. 例如：?a?2?x2?2?a?2?x?1?0对一--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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切x?R恒成立，求a的取植范围，你讨论了a＝2的情况了吗？ 4．对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n?1， 2n?1， 2n?2.如满足条件{1}?M?{1,2,3,4}的集合M共有多少个 5． 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？

6． 两集合之间的关系。M?{xx?2k?1,k?Z},N?{xx?4k?1,k?Z}

7．(CUA)∩( CU B) = CU(A∪B) (CUA)∪( CUB) = CU(A∩B)；A?B?B?B?A；

8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. p、q形式的复合命题的真值表: p q P且q P或q 真 真 真 真 真 假 假 真 假

真 假 真 假 假 假 假 9、 命题的四种形式及其相互关系: 原命题

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互 逆命题 逆 若p则q 若q则p

互 互 互 为 互 否命题 逆否命题 若﹃ｐ则﹃ q

否 若﹃ｑ则﹃ｐ 逆 逆

否 否 否 否

否 否 互 逆 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假. 10、你对映射的概念了解了吗？映射f：A→B中，A中元素的任意性 和B中与它对应元素的唯一性，哪几种对应能够成映射？ 11、函数的几个重要性质： ①如果函数y?f?x?对于一切x?R，都有f?a?x??f?a?x?或f=f，那么函数y?f?x?的图象关于直线x?a对称. ②函数y?f?x?与函数y?f??x?的图象关于直线x?0对称； 函数y?f?x?与函数y??f?x?的图象关于直线y?0对称； 函数y?f?x?与函数y??f??x?的图象关于坐标原点对称. ③若奇函数y?f?x?在区间?0,???上是递增函数，则y?f?x?在区间 ???,0?上也是递增函数． ④若偶函数y?f?x?在区--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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间?0,???上是递增函数，则y?f?x?在区间???,0?上是递减函数． ⑤函数y?f?x?a?(a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿x轴向左平移a个单位得到的；函数y?f?x?a?((a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿x轴向右平移a个单位得到的； 函数y?f?x?+a(a?0)的图象是把函数y?f?x?助图象沿y轴向上平移a个单位得到的;函数y?f?x?+a(a?0)的图象是把函数y?f?x?助图象沿y轴向下平移a个单位得到的. 12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？ 13、求函数的定义域的常见类型记住了吗？函数y=

x(4?x)lg(x?3)2的定义域 是 ；

复合函数的定义域弄清了吗？函数f(x)的定义域是[0,1],求f()的定义域. 函数f(x)的定义域是[a,b],b??a?0, 求函数F(x)?f(x)?f(?x)的定义域 14、一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称 这个必要非充分条件了吗？ 在公共定义域内:两个奇函--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数; 15、据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判

正负.)可别忘了导数也是判定函数单调性的一种重要方法。 16、函数y?x?上单调递增；在??a,0? 和?0,a?上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！

17、函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？字母底数还需讨论呀.

18、换底公式及它的变形，你掌握了吗？

logca19、 你还记得对数恒等式吗？

20、 “实系数一元二次方程ax2?bx?c?0有实数解”转化为“??b2?4ac?0”，你是否注意到必须a?0；当a=0时，“方程有解”不能转化为??b2?4ac?0．若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？

二、三角、不等式 21、 三角公式记住了吗？两角和与差的公式________________； 二倍角公式:________________；解题时本着“三--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变

形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次, 22、 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？正切函数在整个定义域内是否为单调函数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？ 23、 在三角中，你知道1等于什么吗？ 24、 在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换． 2??2??25、 你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最 少、分母不含三角函数、且能求出值的式子，一定要算出值来） 26、

你还记得三角化简的通性通法吗？；你还记得降幂公式吗？cos2x=(1+cos2x)/2;sin2x=(1-cos2x)/2 27、

你还记得某些特殊角的三角函数值吗？ ,sin75??cos15??,sin18??44428、 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(l??r,S扇形?lr) 29、

辅助角公式：--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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asinx?bcosx?a2?b2sin?x???(其中?角所在的象限a, b 的符号确定，?角的值tan??确定)在求最值、化简时起着重要作用.

30、 三角函数图象的草图能迅速画出吗？能写出他们的单调区、对称轴，取最值时的x值的集合吗？ 三角函数性质要记牢。函数y=Asin(??x??)?k的图象及性质： 振幅|A|，周期T= 2?,

若x=x0为此函数的对称轴，则x0是使y取?ba到最值的点，反之亦然，使y取到最值的x的集合为 ， 当??0,A?0时函数的增区间为 ，减区间为 ；当??0时要利用诱导公式将?变为大于零后再用上面的结论。 五点作图法：令?x??依次为0,?,2?3?,2? 求出x与y，依点?x,y?2作图 31、

三角函数图像变换还记得吗？ ?平移公如果点 P按向量a??h,k? 平移至P′，则 ’??x?x?h, ?’??y?y?k.

曲线f=0沿向量a??h,k?平移后的方程为f =0 32、 有关斜三角形的几个结论：(1) 正弦定理: (2) 余弦定理: (3)--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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面积公式 33、 在用三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？ ①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值 ???范围依次是?0,??,[0,],[0,?]. ?2?2? ②直线的倾斜角、l1到l2的角、l1与l2的夹角的取值范围依次是 [0,?),[0,?),(0,?2]．

34、 不等式的解集的规范书写格式是什么？ 35、 分式不等式

f?x??a?a?0?的一般解题思路是什么？

36、 含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义分类讨论)

a?b?37、 利用重要不等式a?b?2ab 以及变式ab????等求函数的 ?2?最值时，你是否注意到a，b?R?，且“等号成立”

2时的条件，积ab或和a＋b其中之一应是定值？(一正二定三相等) 38、

a2?b2a?b2ab??ab? , (a , b?R? )(当且仅当a?b?c时，取22a?b等号）； a、b、--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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c?R，a2?b2?c2?ab?bc?ca； 39、 在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解集是??． 40、 解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”

41、 对于不等式恒成立问题，常用的处理方式？ 三、数列 42、 等差数列中的重要性质：若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；数列{a2n?1}, {a2n},

{kan?b}仍成等差数列；Sn , S2n?Sn ,

S3n?S2n仍成等差数列 若三数成等差数列，则可设为a-d、a、a+d；若为四数则可设3113为a-2d、a-d、a+d、a+d；

222在等差数列中,求Sn 的最大(小)值,其思路是找出某一项,使 这项及它前面的项皆取正(负)值或0,而它后面各项皆取负(正)值,则从第一项起到该项的各项的和为最大(小).即:当a1 >0,d0,解不等式组 an ≤0 an+1 ≥0 可得Sn 达最小值时的n的值;．若an ,bn 是等差数列,Sn ,Tn 分别为an ,bn 的前n项和,则--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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ambm?S2m?1T2m?1。..若{an}是等差数列，则{aa}是等比 n数列，若{an}是等比数列且an?0，则{logaa}是等差数列.

43、 等比数列中的重要性质：若m?n?p?q，则am?an?ap?aq； nSk，S2k?Sk，S3k?S2k成等比数列 44、

你是否注意到在应用等比数列求前n项和时，需要分类讨 a1(1?qn)论． 1?q45、 等比数列的一个求和公式：设等比数列?an?的前n项和为Sn，公比为q, 则 Sm?n?Sm?qmSn． 46、

等差数列的一个性质：设Sn是数列?an?的前n项和，?an?为等差数列的充要条件是 Sn?an2?bn 其公差是2a. 47、

你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？ 48、 用an?Sn?Sn?1求数列的通项公式时，你注意到a1?S1了吗？

49、 你还记得裂项求和吗？ n(n?1)nn?1四、排列组合、二项式定理 50、 解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合． 51、

解排列组合问题的规律是：相邻问题捆--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法，还记得什么时候用隔板法？ 52、 排列数公式是： 组合数公式是： 排列数与组合数的关系是： m Pnm?m！?Cn组合数性质：C=Cmnn?mn

C+Cmnm?1n=C ?Cnr=2n

mn?1r?0nrr?1Crr?Crr?1?Crr?2???Cn?Cn?1 理：

0n1n?12n?22rn?rrnn(a?b)n?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb 二项展开式的通项公式：Tr?1?Cnran?rbr(r?0，1，2?，n) 五、立体几何 53、 有关平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线//线?线//面?面//面，线⊥线?线⊥面?面⊥面，垂直常用向量来证。 54、 作出二面角的平面角主要方法是什么？三垂线法：一定平面，二作垂线，三作斜线，射影可见. 55、 二面角的求法主要有：解直角三角形、余弦定理、射影面积法、法向--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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量 56、 求点到面的距离的常规方法是什么？ 57、 你记住三垂线定理及其逆定理了吗？ 58、 有关球面上两点的球面距离的求法主要是找球心角，常常与经度及纬度联系在一起，你还记得经度及纬度的含义吗？(经度是面面角；纬度是线面角) 59、 你还记得简单多面体的欧拉公式吗？(V+F-E=2，其中V为顶点数，E是棱数，F为面数)，棱的两种算法，你还记得吗？(①多面体每面为n边形，则E=则E=

mV) 2nF；②多面体每个顶点出发有m条棱，2六、解析几何 60、 设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，你是否注意到直线垂直于x轴时，斜率k不存在的情况？ 61、 定比分点的坐标公式是什么？ 线段的定比分点坐标公式 设P ，P1 ，P2 ，且P1P??PP2 ，则

x1??x2x1?x2??x?x?????1??2 中点坐标公式 ??

y??yy?y22?y?1?y?1 ??1??2??62、 若--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则△ABC的重心G的坐标是 ???x1?x2?x3y1?y2?y3?你注意到???1了，??在利用定比分点解题时，

33??吗？ 63、 在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合.

64、 直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式．以及各种形式的局限性. 65、 对不重合的两条直线l1:A1x?B1y?C1?0，l2:A2x?B2y?C2?0，有： ?A1B2?A2B1；

l1?l2?A1A2?B1B2?0． l1//l2??AC?AC21?1266、 直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. 67、 直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以理解为?xay?1，b但不要忘记当 a=0时，直线y=kx在两条坐标轴上的截距都是0，也是截距相等． 68、 两直线Ax?By?C1?0和Ax?By?C2?0的距离公式--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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d=—————————— 69、 直线的方向向量还记得吗？直线的方向向量与直线的斜率有何关系？当直线L的方向向量为m=时，直线斜率k=———————；当直线斜率为k时，直线的方向向量m=—————

70、 到角公式及夹角公式———————，何时用？ 71、 处理直线与圆的位置关系有两种方法：点到直线的距离；直线方程与圆的方程联立，判别式. 一般来说，前者更简捷． 72、 处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系.

73、 在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形并且要更多联想到圆的几何性质. 74、 在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？两个定义常常结伴而用，有时对我们解题有很大的帮助，有关过焦点弦问题用第二定义可能更为方便。；抛物线：|PF|=|x0|+

p） 275、 在用圆锥曲线与直线联立求--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式??0的限制．. 76、 椭圆中，a，b，c的关系为————；离心率e=————；准线方程为————；焦点到相应准线距离为———— 双曲线中，a，b，c的关系为————；离心率e=————；准线方程为————；焦点到相应准线距离为———— 77、 通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦. 78、

你知道吗？解析几何中解题关键就是把题目中的几何条件代数化，特别是一些很不起眼的条件，有时起着关键的作用：如： 点在曲线上、相交、共线、以某线段为直径的圆经过某点、夹角、垂直、平行、中点、角平分线、中点弦问题等。圆和椭圆参数方程不要忘，有时在解决问题时很方便。数形结合是解决解几问题的重要思想方法，要记得画图分析哟！ 79、 你注意到了吗？求轨迹与求轨迹方程有区别的。求轨迹方程可别忘了寻求范围呀! 80、 在解--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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决有关线性规划应用问题时，有以下几个步骤：先找约束条件，作出可行域，明确目标函数，其中关键就是要搞清目标函数的几何意义，找可行域时要注意把直线方程中的y的系数变为正值。如：求2 81、 两向量平行或共线的条件，它们两种形式表示，你还记得吗？注意a??b是向量平行的充分不必要条件。(定义及坐标表示) 82、 向量可以解决有关夹角、距离、平行和垂直等问题，要记住以下公式：|a|2=a2a，

cosθ=a?b|a||b|?x1x2?y1y2

x12?y12x22?y2283、 利用向量平行或垂直来解决解析几何中的平行和垂直问题可以不用讨论斜率不存在的情况，要注意a?b?0是向量a和向量b夹角为钝角的必要而非充分条件。 84、 向量的运算要和实数运算有区别：如两边不能约去一个向量，向量的乘法不满足结合律，即a(b?c)?(a?b)c，切记两向量不能相除。 85、 你还记得向量基本定理的几何意义吗？它的实质就是平面内的--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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任何向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，它的系数的含义与求法你清楚吗？ 86、 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，这是题目中的天然条件，要注意运用，对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以 一个向量，但不能两边同除以一个向量。 87、 向量的直角坐标运算 设a??a1,a2,a3?,b??b1,b2,b3?,则a?b??a1?b1,a2?b2,a3?b3? ?????a?b??a1?b1,a2?b2,a3?b3? ?a??a1,?a2,?a3???R? ?????????22?a3a?b?a1b1?a2b2?a3b3 a?a?a?a12?a2

cos?a,b??????a1b1?a2b2?a3b3a?a?a212223b?b?b212223 ??a//b?a1??b1,a2??b2,a3??b3,???R?,

a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0 ???设A=?x1,y1,z1?, B=?x2,y2,z2?, 则--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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AB?OB?OA??x2,y2,z2?- ?x1,y1,z1?=?x2?x1,y2?y1,z2?z1?

AB?AB?AB??x2?x1?2??y2?y1?2??z2?z1?2 八、导数 88、 导数的几何意义即曲线在该点处的切线的斜率，学会定义的多种变形。 ’89、 几个重要函数的导数：①C’?0,②?xn??nxn?1?n?Q? 导数的四运算法则?????’??’??’ 90、 利用导数可以证明或判断函数的单调性，注意当f ’(x)≥0或f ’(x)≤0，带上等号。 91、

f?(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的非充分非必要条件，f(x)在x0处取得极值的充分要条件是什么？ 92、 利用导数求最值的步骤：求导数f’?x?求方程f’?x?=0的根x1,x2,?,xn 计算极值及端点函数值的大小 根据上述值的大小,确定最大值与最小值. 93、 求函数极值的方法：先找定义域，再求导，找出定义域的分界点，根据单调性求出极值。告诉函数的极值这一条件，相当于给出了两个条件：①函数在此点导数--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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值为零，②函数在此点的值为定值。

九、概率统计 94、 有关某一事件概率的求法：把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)，转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率，利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率，看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率，但要注意公式的使用条件。

若事件A、B为互斥事件,则P=P+P 若事件A、B为相互独立事件,则P=P2P 若事件A、B为对立事件,则P+P=1一般地,p?A??1?P?A? 如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事恰好发生K次的概率：

Pn?K??Cnkpk?1?p?n?k 95、 抽样方法主要有：简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常 ???用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常常用于总体个数较多时，它的主要特征就是均衡成若干部分，每一部分只取一个；分层抽样，主要特征分--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异。它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等。 96、 用总体估计样本的方法就是把样本的频率作为总体的概率。 十、解题方法和技巧

97、 总体应试策略：先易后难，一般先作选择题，再作填空题，最后作大题，选择题力保速度和准确度为后面大题节约出时间，但准确度是前提，对于填空题，看上去没有思路或计算太复杂可以放弃，对于大题，尽可能不留空白，把题目中的条件转化代数都有可能得分，在考试中学会放弃，摆脱一个题目无休止的纠缠，给自己营造一个良好的心理环境，这是考试成功的重要保证。 98、

解答选择题的特殊方法是什么？

(顺推法，估算法，特例法，特征分析法，直观选择法，逆推验证法、数形结合法等等) 99、 答填空题时应注意什么？ 100、 解答应用型问题时，最基本要求是什么？ 101、 审题、找准题目中的关键词，设未知数、列出函数关--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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系式、代入初始条件、注明单位、作答学会跳步得分技巧，第一问不会，第二问也可以作，用到第一问就直接用第一问的结论即可，要学会用“已知得”“题意得”“平面几何知识得”等语言来连接，一旦你想来了，可在后面写上“补证”即可。

数学高考应试技巧 数学考试时，有许多地方都要考生特别注意．在考试中掌握好各种做题技巧，可以帮助各位在最后关头鲤鱼跃龙门。 考试注意：

１．考前５分钟很重要 在考试中，要充分利用考前５分钟的时间。考卷发下后，可浏览题目。当准备工作完成后，可以翻到后面的解答题，通读一遍，做到心中有数。 ２．区别对待各档题目

考试题目分为易、中、难三种，它们的分值比约为３：５：２。考试 中大家要根据自身状况分别对待。 ⑴做容易题时，要争取一次做完，不要中间拉空。这类题要１００％的拿分。

⑵做中等题时，要静下心来，尽量保证拿分，起码有８０％的完成度。 ⑶做难--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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题时，大家通常会感觉无从下手。这时要做到： ①多读题目，仔细审题。 ②在草稿上简单感觉一下。 ③不要轻易放弃。许多同学一看是难题、大题，不多做考虑，就彻底投降。解答题多为小步设问，许多小问题同学们都是可以解决的，因此，每一个题、每一个问，考生都要认真对待。 ３．时间分配要合理 ⑴考试时主要是在选择题上抢时间。 ⑵做题时要边做边检查，充分保证每一题的正确性。不要抱着“等做完后再重新检查”的念头而在后面浪费太多的时间用于检查。 ⑶在交卷前３０分钟要回头再检查一下自己的进度。注意及时填机读卡。 〇一〇年一月 椭圆与双曲线的对偶性质--

高三数学备课组 椭 圆 1.

点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角. 2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ为直径的--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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圆必与对应准线相离. 二

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. x2y25. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1上，则过P0的椭圆的切线方程是 abx0xy0y?2?1.

a2bx2y26. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为

abxxyyP1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是02?02?1. abx2y27. 椭圆2?2?1

(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆 ab上任意一点?F1PF2??，则椭圆的焦点角形的面积为 ?S?F1PF2?b2tan. 2x2y28. 椭圆2?2?1的焦半径公式：

ab|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) ,

F2(c,0)M(x0,y0)). 9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF. 10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,

A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF. 是椭圆2?2?1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，

abb2则kOM?kAB??2， ab2x0即KAB??2。 ay0x2y212.若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则被Po所平分的中点弦的方程是 abx0xy0yx02y02?2?2?2.

2ababx2y213.若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

abx2y2x0xy0y??2?2. a2b2ab双曲线

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角. 2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切. x2y25. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1上，则过P0的双曲 abxxyy线的切线方程是02?02?1. abx2y26.

若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1外 ，则过Po作双 ab曲线的两条切线切点为--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是

x0xy0y?2?1. a2bx2y27. 双曲线2?2?1的左右焦点分别为F1，F 2，点 abP为双曲线上任意一点?F1PF2??，则双曲线的焦点角形的面积 为S?FPF?b2cot.

12?2x2y28. 双曲线2?2?1的焦半径公式：(F1(?c,0) , abF2(c,0) 当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a. 当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|??ex0?a,|MF2|??ex0?a 9.

设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交

P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2

为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF. 是双曲线2?2?1的不平行于对称轴的弦， abb2x0b2x0M(x0,y0)为AB的中点，则KOM?KAB?2，即--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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KAB?2。 ay0ay0x2y212.若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1内，则被Po所平

abx0xy0yx02y02分的中点弦的方程是2?2?2?2. ababx2y213.若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1内，则过Po的弦

abx2y2x0xy0y中点的轨迹方程是2?2?2?2. abab椭圆与双曲线的对偶性质-- 高三数学备课组 椭

圆 x2y21. 椭圆2?2?1的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y ab轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是 x2y2?2?1.

2abx2y22. 过椭圆2?2?1 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾 ab斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且 kBCb2x0?2.

ay0x2y23. 若P为椭圆2?2?1上异于长轴端点的任一点,F1, abF 2是焦点, ?PF1F2??, ?PF2F1??，则

a?c???tancot. a?c22x2y24. 设椭圆2?2?1的两个焦点为F1、F2,P为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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记?F1PF2??, ?PF1F2??,?F1F2P??，则有 sin?c??e. sin??sin?ax2y25.

若椭圆2?2?1的左、右焦点分别为F1、F2，左 ab准线为L，则当0＜e≤2?1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y26. P为椭圆2?2?1上任一点,F1,F2为二焦点，A为 ab椭圆内一定点，则2a?|AF2|?|PA|?|PF1|?2a?|AF1|,当且仅当

A,F2,P三点共线时，等号成立.

(x?x0)2(y?y0)2??1与直线Ax?By?C?0有公共点的充要7. 椭圆a2b2条件是A2a2?B2b2?(Ax0?By0?C)2. x2y28. 已知椭圆2?2?1，O为坐标原点，P、Q为椭圆上 ab111122 ???两动点，且OP?OQ.;|OP|+|OQ||OP|2|OQ|2a2b24a2b2a2b2的最大值为22;S?OPQ的最小值是22.

a?ba?bx2y29. 过椭圆2?2?1的右焦点F作直线交该椭圆右支 ab|PF|e?. 于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则 |MN|2x2y210.已知椭圆2?2?1 ,A、B、是椭圆上的两点， ab--------------------精选公文范文，管理类，工作总结类，工作计划类文档，感谢阅读下载---------------------

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线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则 a2?b2a2?b2??x0?.

aax2y211.设P点是椭圆2?2?1上异于长轴端点的任一 ab2b2点,F1、F2为其焦点记?F1PF2??，则(1)|PF1||PF2|?.(2)

1?cos?S?PF1F2?b2tan?2. x2y212.设A、B是椭圆2?2?1的长轴两端点，P是椭 ab圆上的一点，?PAB??, ?PBA??,?BPA??，c、e分别是椭 2ab2|cos?|圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|?222.(2)

a?ccos?2a2b22cot?. tan?tan??1?e.(3)

S?PAB?2b?a2x2y213.已知椭圆2?2?1的右准线l与x轴相交于点E， ab过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线 l上，且BC?x轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线~ 49 ~

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