傅里叶变换详细推导

2024年2月8日发(作者：)

傅里叶变换详细推导

傅里叶变换是一种在数学和信号处理领域广泛应用的工具，它可以将一个时域信号转换到频域，从而方便我们分析信号的频率成分。以下是傅里叶变换的详细推导：

设有一个实数函数f(t)，它定义在无限大的时间区间上。傅里叶变换的目标是将这个函数分解为一组正弦波的线性组合。这些正弦波的频率从0到无穷大，并且它们的振幅和相位是连续变化的。

傅里叶变换的定义如下：

F(w) = ∫f(t)e^(-jwt) dt

其中，w是角速度，j是虚数单位。这个积分是在整个时间轴上进行的，因此，傅里叶变换的结果是一个关于角速度w的函数。

为了推导傅里叶变换的结果，我们需要对f(t)进行一些假设。假设f(t)是一个周期函数，周期为T。这样，我们就可以将f(t)表示为一系列正弦波和余弦波的线性组合。

f(t) = a0 + Σ(an * cos(2πnft) + bn * sin(2πnft))

其中，f = 1/T 是函数的角频率，an和bn是傅里叶系数，它们可以通过以下公式计算得到：

an = 1/T * ∫f(t)cos(2πnft) dt

bn = 1/T * ∫f(t)sin(2πnft) dt

现在，我们将f(t)代入傅里叶变换的定义中，得到：

F(w) = ∫(a0 + Σ(an * cos(2πnft) + bn * sin(2πnft)))e^(-jwt) dt

对这个积分进行计算，我们得到：

F(w) = a0 * ∫e^(-jwt) dt + Σ(an * ∫cos(2πnft)e^(-jwt) dt + bn * ∫sin(2πnft)e^(-jwt)

dt)

对于积分中的cos和sin部分，我们可以使用三角函数的积分公式，得到：

∫cos(2πnft)e^(-jwt) dt = (wt - 2πn)^{-1} * (sin((2πnf)wt) - jcos((2πnf)wt))/(2πnf)^2

∫sin(2πnft)e^(-jwt) dt = (wt - 2πn)^{-1} * (cos((2πnf)wt) - jsin((2πnf)wt))/(2πnf)^2

将上述结果代入到F(w)中，得到：

F(w) = a0 / (wt - jw0) + Σ((an / (wt - 2πnjf)) * (sin((2πnf)wt) - jcos((2πnf)wt)) + (bn /

(wt - 2πnjf)) * (cos((2πnf)wt) - jsin((2πnf)wt)))]

这个公式就是傅里叶变换的结果。可以看出，傅里叶变换将一个时域函数分解为一系列正弦波和余弦波的线性组合，并且每个正弦波和余弦波的频率、振幅和相位都由傅里叶系数an和bn确定。