常用傅里叶逆变换公式

2024年2月8日发(作者：)

常用傅里叶逆变换公式

傅里叶变换和逆变换是信号处理领域中非常基础的数学工具。在现代数字信号处理领域中，它们被广泛应用于信号滤波、数据压缩和频谱分析等方面。作为傅里叶变换的逆运算，傅里叶逆变换起着重要的作用。在这篇文章中，我们将详细介绍一些常用的傅里叶逆变换公式，并说明它们在实际应用中的作用。

傅里叶逆变换的定义

在深入讨论傅里叶逆变换公式之前，我们需要先了解一下傅里叶逆变换的定义。傅里叶逆变换是指将复频域信号转换成复时域信号的过程。与傅里叶变换不同的是，逆变换是不可逆的。即使我们进行完傅里叶逆变换之后，再进行傅里叶变换，也不能恢复原来的复频域信号。傅里叶逆变换的数学表达式如下：

$$x(t)=frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty}X(jomega)e^{jomega

t}domega$$

其中，$x(t)$是时域信号，$X(jomega)$是傅里叶变换后的频域信号，$j$是虚数单位，$omega$是频率，$t$是时间。这个公式的意思是，我们可以通过对傅里叶变换后的复频域信号做积分，得到复时域信号$x(t)$。

傅里叶逆变换的性质

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在实际应用中，我们常常需要使用傅里叶逆变换公式对信号进行处理。为了更好地利用傅里叶逆变换公式，我们需要了解一些它的性质。下面是一些常见的性质：

1. 线性性质：傅里叶逆变换具有线性性，即如果$x_1(t)$的傅里叶变换是$X_1(jomega)$，$x_2(t)$的傅里叶变换是$X_2(jomega)$，那么$ax_1(t)+bx_2(t)$的傅里叶逆变换就是$aX_1(jomega)+bX_2(jomega)$。

2. 时移性质：如果$x(t)$的傅里叶变换为$X(jomega)$，那么$x(t-t_0)$的傅里叶逆变换就是$e^{-jomega t_0}X(jomega)$，其中$t_0$是一个常数。

3. 频移性质：如果$x(t)$的傅里叶变换为$X(jomega)$，那么$x(t)e^{jomega_0t}$的傅里叶逆变换就是$X(j(omega-omega_0))$，其中$omega_0$是一个常数。

4. 对称性质：如果$x(t)$是实数序列，那么它的傅里叶变换$X(jomega)$是一个复共轭偶函数，即$X(jomega)=X^*(-jomega)$，其中$X^*$表示复共轭。

5. 平移性质：如果$x(t)$的傅里叶变换是$X(jomega)$，那么$x(t-nt_0)$的傅里叶逆变换等于$e^{-jomega nt_0}$与$X(jomega)$卷积$n$次。

常用的傅里叶逆变换公式

在实际应用中，我们常常需要使用一些常用的傅里叶逆变换公式。下面是一些常见的公式：

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1. 阶跃函数：当$f(jomega)=frac{1}{jomega}$时，其傅里叶逆变换为：

$$u(t)=mathcal{F}^{-1}{frac{1}{jomega}}=frac{1}{2}[delta(t)+frac{1}{pi t}]$$

其中，$delta(t)$表示狄拉克函数，$u(t)$表示单位阶跃函数。

2. 脉冲函数：当$f(jomega)=1$时，其傅里叶逆变换为：

$$delta(t)=mathcal{F}^{-1}{1}=frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty}e^{jomega t}domega$$

即狄拉克函数。

3. 正弦函数：当$f(jomega)=jomega-omega_0$时，其傅里叶逆变换为：

$$sin(omega_0 t)=mathcal{F}^{-1}{jomega-omega_0}=frac{1}{2j}[delta(t)-delta(t-frac{pi}{omega_0})]$$

其中，$sin(omega_0 t)$表示正弦函数。

4. 余弦函数：当$f(jomega)=jomega$时，其傅里叶逆变换为：

$$cos(omega_0 t)=mathcal{F}^{-1}{jomega}=frac{1}{2}[delta(t)+frac{1}{pi

t}]+frac{1}{2}delta(t-frac{pi}{omega_0})$$

其中，$cos(omega_0 t)$表示余弦函数。

总结

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在本文中，我们介绍了傅里叶逆变换的定义、性质和常用公式。这些知识对于理解和应用信号处理领域中的傅里叶变换非常重要。在实际应用中，我们可以根据具体需要，选用合适的傅里叶逆变换公式，对信号进行处理。同时，我们还可以通过傅里叶逆变换的性质，对信号进行更灵活的处理和分析。

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