傅里叶变换常用公式

2024年2月8日发(作者：)

傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。

简介

Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。

傅立叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。

傅里叶变换定义

f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅立叶变换，

②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的象函数，f(t)叫做

F(ω)的象原函数。F(ω)是f(t)的象。f(t)是F(ω)原象。

①傅立叶变换

②傅立叶逆变换

傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小）。

傅里叶变换相关

* 傅里叶变换属于谐波分析。

* 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似;

* 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；

*卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；

* 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT)).

傅里叶变换性质

傅里叶变换对称性质

若，则。

傅里叶变换奇偶性质

若部， 表示，且的虚部，则，其中表示的实的模是关于的奇函数，是关于的奇函数。 是关于的偶函数，辐角傅里叶变换线性性质

若，

其中α和β为常数。

，则傅里叶变换时移性质

若，则。

傅里叶变换频移性质

若，则。

傅里叶变换尺度变换性质

若，则。

傅里叶变换卷积定理

时域卷积定理：若；

频域卷积定理：若。

，，则，，则傅里叶变换时域微、积分

微分性质：若

积分性质：若，则。

，则，傅里叶变换频域微、积分

微分性质：若积分性质：若，则，则。

；

傅里叶变换特殊变换

傅里叶变换连续傅里叶变换

一般情况下，若“傅里叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。“连续傅里叶变换”将平方可积的函数

表示成复指数函数的积分形式：

上式其实表示的是连续傅里叶变换的逆变换，即将时间域的函数表示为频率域的函数域的函数的积分。反过来，其正变换恰好是将频率的积分形式。一般可称函数表示为时间域的函数为原函数，而称函数为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。

当为奇函数（或偶函数）时，其余弦（或正弦）分量为零，而可以称这时的变换为余弦变换（或正弦变换）。

傅里叶变换傅里叶级数

主条目：傅里叶级数

连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，它的傅里叶级数（Fourier series）表示被定义为：

其中为函数的周期，为傅里叶展开系数，它们等于对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：其中和是实频率分量的振幅。

傅里叶变换离散时间傅里叶变换

主条目：离散时间傅里叶变换

离散时间傅里叶变换（discrete-time Fourier transform,

DTFT）针对的是定义域为Z的数列。设DTFT被定义为相应的逆变换为为某一数列，则其DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的，它一般用来对离散时间信号进行频谱分析。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆。

离散傅里叶变换

为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数定义在离散点上而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下，序列的离散傅里叶变换

（discrete Fourier transform, DFT）为为其逆变换直接使用DFT的定义计算的计算复杂度为，而快速傅里叶变换（fast Fourier transform, FFT）可以将复杂度改进为。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。

在阿贝尔群上的统一描述

以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。这一问题属于调和分析的范畴。在调和分析中，一个变换从一个群变换到它的对偶群（dual group）。此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。

傅里叶变换家族

下表列出了傅里叶变换家族的成员。容易发现，函数在时（频）域的离散对应于其像函数在频（时）域的周期性，反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性。