快速傅里叶变换原理介绍

2024年2月8日发(作者：)

快速傅里叶变换原理介绍

快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种计算效率高且广泛应用于信号处理和频谱分析等领域中的算法。它通过将一个离散时间序列（离散采样的信号）变换为一个表示频率分量的值的复数序列，从而可以方便地进行频率分析和滤波等操作。

FFT算法的基本原理是利用傅里叶级数展开的性质，将一个长度为N的离散时间序列转换为长度为N的复数序列。根据离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）的定义，对于一个离散时间序列x(n)，其变换结果X(k)可以表示为如下公式：

X(k) = Σx(n) * exp(-j * 2π * kn / N)，其中n = 0, 1, ...,

N-1，k = 0, 1, ..., N-1

其中，k表示频率分量的索引，N表示离散时间序列的长度，exp表示自然指数的复数形式。根据上述公式，可以看出，计算一个长度为N的离散时间序列的DFT需要进行N次乘法运算，并且每次乘法运算都需要计算复数的实部和虚部，因此该算法的时间复杂度为O(N^2)。

然而，通过巧妙地利用信号的对称性质以及复数运算的性质，可以将计算DFT的时间复杂度降低到O(NlogN)，这就是FFT算法的核心思想。FFT算法的基本思路是将长度为N的DFT分解为两个长度为N/2的DFT，再将两个子问题分别分解为更小规模的子问题，直到问题规模缩小到长度为2的DFT，这时可以直接计算得到结果。

具体来说，FFT算法采用了分治的思想，将频域上的点分为偶数点和奇数点两组。假设长度为N的序列x(n)分为偶数点序列x_e(n)和奇数点序列x_o(n)，则有：

x(n) = x_e(n) + exp(-j * 2π * n / N) * x_o(n)，其中n = 0,

1, ..., N-1

对上述公式两边同时进行DFT，可以得到：

X(k) = X_e(k) + exp(-j * 2π * kn / N) * X_o(k)，其中k = 0,

1, ..., N-1

从上述公式可以看出，计算X(k)时需要计算X_e(k)和X_o(k)，而X_e(k)和X_o(k)分别是长度为N/2的子序列的DFT。因此，可以利用递归的方式将原问题划分为更小规模的子问题，直到问题规模缩小到长度为2的序列，然后再将结果合并得到最终的结果。

FFT算法的时间复杂度为O(NlogN)，空间复杂度为O(N)，相比于朴素的DFT算法，FFT算法在大规模数据处理时具有明显的优势。它被广泛应用于信号处理、图像处理、音频处理、通信系统等领域中，例如频谱分析、信号滤波、信号合成等。通过FFT算法，可以方便地从时域转换到频域，从而进行频域上的各种操作和分析。