基本初等函数的导数公式推导过程

2024年9月21日发(作者：)

基本初等函数的导数公式推导过程

初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和

反三角函数等。下面我们将推导这些函数的导数公式。

1.常数函数的导数：

设f(x)=c，其中c为常数，则f'(x)=0。因为常数函数是一条平行于

x轴的直线，斜率为0。

2.幂函数的导数：

设f(x) = x^n，其中n为正整数，则f'(x) = nx^(n-1)。

为了推导导数公式，我们可以使用导数的定义：f'(x) = lim[h→0]

[(f(x+h)-f(x))/h]。

对于幂函数，我们可以利用二项式定理展开f(x+h)：f(x+h) =

(x+h)^n = x^n + nx^(n-1)h + ... + h^n，并且只有第二项包含h。

因此，(f(x+h)-f(x))/h = (nx^(n-1)h + ... + h^n) / h = nx^(n-

1) + ... + h^(n-1)。

当h趋近于0时，除了第一项nx^(n-1)其余所有的项都会变为0，所

以f'(x) = nx^(n-1)。

3.指数函数的导数：

设f(x) = a^x，其中a为大于0且不等于1的常数，则f'(x) = a^x

* ln(a)。

要推导指数函数的导数公式，可以采用自然对数的定义：ln(x) =

∫[1,x] (1/t) dt。

首先将指数函数写为幂函数的形式：f(x) = exp(x*ln(a))，其中

exp(x)表示e的x次方。

然后使用复合函数的求导法则，即f'(x) =

(d/exp(x*ln(a)))/(dx*ln(x))。

再对(exp(x*ln(a)))的导数应用链式法则，得到f'(x) = ln(a) *

a^(x*ln(a)) = a^x * ln(a)。

4.对数函数的导数：

设f(x) = log_a(x)，其中a为大于0且不等于1的常数，则f'(x)

= 1 / (x * ln(a))。

首先将对数函数写为指数函数的形式：f(x) = ln(x) / ln(a)。

然后使用商法则，即f'(x) = (1/ln(a) * d[ln(x)]/dx -

ln(x)/ln(a)^2 * d[ln(a)]/dx)。

对ln(x)和ln(a)分别求导，并代入导数公式ln'(x) = 1/x，ln'(a)

= 1/a，得到f'(x) = 1 / (x * ln(a))。

5.三角函数的导数：

五个基本三角函数的导数公式如下：

sin'(x) = cos(x)

cos'(x) = -sin(x)

tan'(x) = sec^2(x) = 1/cos^2(x)

cot'(x) = -csc^2(x) = -1/sin^2(x)

sec'(x) = sec(x) * tan(x) = 1/cos(x) * sin(x)

csc'(x) = -csc(x) * cot(x) = -1/sin(x) * cos(x)

要推导这些导数公式，可以使用三角函数的定义和极限的性质，或者

从关系sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i)开始推导。

6.反三角函数的导数：

六个基本反三角函数的导数公式如下：

arcsin'(x) = 1 / sqrt(1 - x^2)

arccos'(x) = -1 / sqrt(1 - x^2)

arctan'(x) = 1 / (1 + x^2)

arccot'(x) = -1 / (1 + x^2)

arcsec'(x) = 1 / (x * sqrt(x^2 - 1))

arccsc'(x) = -1 / (x * sqrt(x^2 - 1))

要推导这些导数公式，可以使用反函数的导数公式和链式法则，或者

通过将反三角函数表示为三角函数的反函数。

综上所述，我们推导了基本初等函数的导数公式。这些导数公式是微

积分中的基础知识，可用于求解函数的导数和解析表达式的导数。