另一个数学怪物——谢尔宾斯三角形

另一个数学怪物——谢尔宾斯三角形

形成过程

对于一个长度为1的等边三角形 E 0 E_0 E0​
1.连结三条边的中点，可以得到4个等边三角形，去掉中间的三角形，保留三个，可以得到 E 1 E_1 E1​；
2.对于剩下的三个三角形重复上述的步骤，得到 E 2 E_2 E2​，它包含9个三角形 ；
3.通过一直重复上述步骤，当 n n n趋于无穷大时，便得到了谢尔宾斯三角形。

特点：不可度量

长度
l e n g t h ( E ) = l i m n → ∞ 3 ∗ ( 3 2 ) n = ∞ length(E)=lim_{nrightarrowinfty}3*(frac{3}{2})^n=infty length(E)=limn→∞​3∗(23​)n=∞
面积
a r e a ( E ) = l i m n → ∞ 3 4 ∗ ( 3 4 ) n = 0 area(E)=lim_{nrightarrowinfty}frac{sqrt3}{4}* (frac{3}{4})^n=0 area(E)=limn→∞​43 ​​∗(43​)n=0

程序画图

下面使用一种三角混沌的方法来生成谢尔宾斯三角形，在平面上选取不在同一直线上的三点A、B、C。并在三角形ABC内随机选取一个初始点 P 0 P_0 P0​ ( x 0 ， y 0 ) (x_0，y_0) (x0​，y0​)。
第1次迭代：从 A B C ABC ABC三个点中随机选取一点（等概率），取该点与点 P 0 P_0 P0​的中点，记为 P 1 P_1 P1​;
第 n n n次迭代：从 A B C ABC ABC三个点中随机选取一点（等概率），去该点与点 P n − 1 P_{n-1} Pn−1​的中点，记为 P n P_n Pn​;
经过若干次迭代后，将所有的 P i P_i Pi​点都打印出来，即可得到近似的谢尔宾斯三角形。
具体的matlab代码如下：

先定义函数文件：

function sipeTriangle(time, A)
%time 迭代次数; A 原始三点，列向量表示
% time=10^5; A=[0 0.5 1; 0 1 0];
C = [0.58; 0.74];
U = zeros(2, time); K = floor(3*rand(1,time))+1;
for i=1:time for j=1:3if K(i)==jU(:, i) = (C+A(:,j))/2; break;endendC = U(:, i);
end
figure, plot(U(1,201:end),U(2,201:end),'k.');

运行：

time=10^5; A=[0 0.5 1; 0 1 0];
sipeTriangle(time, A);

运行结果