关于阻尼振动

关于阻尼振动

  任何振动都不可避免地会受到阻力的作用，这时的振动叫做阻尼振动。一般而言，如果物体所受阻力 F f F_f Ff​与其速度 v v v成正比，也即有：
F f = − γ v = − γ d x d t (1) F_f=-gamma v=-gammacfrac{mathrm dx}{mathrm dt}tag{1} Ff​=−γv=−γdtdx​(1)

   γ gamma γ是阻力系数。那么，在弹力、阻力的共同作用下，弹簧振子的运动方程就是：
m d 2 x d t 2 = − k x − γ d x d t (2) mcfrac{mathrm d^2x}{mathrm dt^2}=-kx-gammacfrac{mathrm dx}{mathrm dt}tag{2} mdt2d2x​=−kx−γdtdx​(2)

  记 ω 0 = k m , β = γ 2 m omega_0=sqrt{cfrac{k}{m}},beta=cfrac{gamma}{2m} ω0​=mk​ ​,β=2mγ​.则式 ( 2 ) (2) (2)可化为：
d 2 x d t 2 + 2 β d x d t + ω 0 2 x = 0 (3) cfrac{mathrm d^2x}{mathrm dt^2}+2betacfrac{mathrm dx}{mathrm dt}+omega_0^2x=0tag{3} dt2d2x​+2βdtdx​+ω02​x=0(3)

  这个微分方程的特征方程是
λ 2 + 2 β λ + ω 0 2 = 0 (4) lambda^2+2betalambda+omega_0^2=0tag{4} λ2+2βλ+ω02​=0(4)

  是一个一元二次方程。根据判别式 Δ = 4 ( β 2 − ω 0 2 ) Delta=4(beta^2-omega_0^2) Δ=4(β2−ω02​)的不同，微分方程 ( 3 ) (3) (3)有三种形式的解。

弱阻尼 ( β < ω 0 ) (beta < omega _0) (β<ω0​)

  这种情况下， Δ < 0 Delta < 0 Δ<0，记 ω = ω 0 2 − β 2 omega=sqrt{omega _0^2-beta^2} ω=ω02​−β2 ​，式 ( 4 ) (4) (4)有共轭复根
λ 1 , 2 = − β ± ω i (5) lambda _{1,2}=-betapmomega mathrm{i}tag{5} λ1,2​=−β±ωi(5)

  从而得到 ( 3 ) (3) (3)的解为 x = e − β t ( C 1 cos ⁡ ω t + C 2 sin ⁡ ω t ) x=mathrm{e}^{-beta t}(C _1cosomega t+C _2sinomega t) x=e−βt(C1​cosωt+C2​sinωt).这一形式也可以写成式 ( 6 ) (6) (6)所示的形式：
x = A 0 e − β t cos ⁡ ( ω 0 2 − β 2 t + φ 0 ) (6) x=A _0mathrm{e}^{-beta t}cos(sqrt{omega _0^2-beta^2}t+varphi _0)tag{6} x=A0​e−βtcos(ω02​−β2 ​t+φ0​)(6)

  取 x 0 = 1 m , v 0 = − 1 m / s , ω 0 = 10 r a d / s , β = 0.5 s − 1 . x_0=1 mathrm m,v _0=-1mathrm{ m/s},omega _0=10mathrm{ rad/s},beta=0.5mathrm{ s^{-1}}. x0​=1 m,v0​=−1 m/s,ω0​=10 rad/s,β=0.5 s−1.画出的 x − t x-t x−t图象如下所示：

使用的画图方式为 GeoGebra .后面的图也是用它画的

  蓝色的包络线为 x = ± A 0 e − β t x=pm A_0mathrm e^{-beta t} x=±A0​e−βt，红色的是弹簧振子 x − t x-t x−t图象。

过阻尼 ( β > ω 0 ) (beta > omega _0) (β>ω0​)

  在这种情况下， Δ > 0 Delta > 0 Δ>0，记 ω ′ = β 2 − ω 0 2 omega'=sqrt{beta^2-omega _0^2} ω′=β2−ω02​ ​，式 ( 4 ) (4) (4)有两根
λ 1 , 2 = − β ± ω ′ (7) lambda _{1,2}=-betapmomega'tag{7} λ1,2​=−β±ω′(7)

  此时运动方程 ( 3 ) (3) (3)的解的形式为
x = e − β t ( A 1 e ω ′ t + A 2 e − ω ′ t ) (8) x=mathrm e^{-beta t}(A _1mathrm e^{omega' t}+A _2mathrm e^{-omega' t})tag{8} x=e−βt(A1​eω′t+A2​e−ω′t)(8)

  取 x 0 = 1 m , v 0 = − 1 m / s , ω 0 = 10 r a d / s , β = 12.5 s − 1 . x_0=1 mathrm m,v _0=-1mathrm{ m/s},omega _0=10mathrm{ rad/s},beta=12.5mathrm{ s^{-1}}. x0​=1 m,v0​=−1 m/s,ω0​=10 rad/s,β=12.5 s−1.画出的 x − t x-t x−t图象如下所示：

   x x x和 v v v都迅速衰减到 0 0 0.

临界阻尼 ( β = ω 0 ) (beta = omega _0) (β=ω0​)

  在这种情况下， Δ = 0 Delta =0 Δ=0，此时 ( 4 ) (4) (4)有重根
λ 1 , 2 = − β (9) lambda _{1,2}=-betatag{9} λ1,2​=−β(9)

  也可以由此得到运动方程 ( 3 ) (3) (3)的解为
x = e − β t ( A 0 + A 1 t ) (10) x=mathrm e^{-beta t}(A _0+A _1t)tag{10} x=e−βt(A0​+A1​t)(10)

  取 x 0 = 1 m , v 0 = − 1 m / s , β = ω 0 = 10 r a d / s . x_0=1 mathrm m,v _0=-1mathrm{ m/s},beta=omega _0=10mathrm{ rad/s}. x0​=1 m,v0​=−1 m/s,β=ω0​=10 rad/s.画出的 x − t x-t x−t图象如下所示：

   x x x和 v v v也是很快地衰减到 0 0 0.

总结

  把上面三张图画在一起可以得到下图：

  其中，蓝色的是包络线 x = ± A 0 e − β t x=pm A_0mathrm e^{-beta t} x=±A0​e−βt，红色的是欠阻尼情况下的 x − t x-t x−t图象，橙色的是过阻尼情况下的 x − t x-t x−t图象，紫色的是临界阻尼情况下的 x − t x-t x−t图象。在系统只改变 β beta β的情况下，发现临界阻尼情况下弹簧振子最快回到平衡状态。
  实际上，可以统一 ( 3 ) (3) (3)的解的形式为 x = e − β t f ( t ) x=mathrm e^{-beta t}f(t) x=e−βtf(t).临界阻尼情况下的 f ( t ) f(t) f(t)是多项式，过阻尼情况下的 f ( t ) ∼ e ∣ ω ′ ∣ t f(t)sim mathrm e^{|omega'|t} f(t)∼e∣ω′∣t 是指数阶，所以临界阻尼衰减得比过阻尼快。