[物理学与PDEs]第2章第4节 激波 4.1 间断连接条件

[物理学与PDEs]第2章第4节 激波 4.1 间断连接条件

1.  守恒律方程 $$bex cfrac{p f}{p t}+cfrac{p q}{p x}=0 eex$$ 在间断线上应满足 ``间断连接条件'': $$bex [f]cfrac{rd x}{rd t}=[q]. eex$$

2.  对一维理想流体力学方程组 $$beex bea cfrac{prho}{p t}+cfrac{p}{p x}(rho u)&=0,\ cfrac{p}{p t}(rho u) +cfrac{p}{p x}(rho u^2+p)&=rho F,\ cfrac{p}{p t}sex{rho e+cfrac{1}{2}rho u^2} +cfrac{p}{p x}sez{sex{ rho e+cfrac{1}{2}rho u^2+p }u}&=rho Fu, eea eeex$$ 其间断连接条件为 $$beex bea [rho]cfrac{rd x}{rd t}&=[rho u],\ [rho u]cfrac{rd x}{rd t}&=[rho u^2+p],\ sez{rho e+cfrac{1}{2}rho u^2}cfrac{rd x}{rd t} &=sez{sex{rho e+cfrac{1}{2}rho u^2}u}. eea eeex$$ 此称为 Rankine-Hugoniot (R.H.) 条件.

3.  设 $U=cfrac{rd x}{rd t}$ 为间断的传播速度, 记 $$bex v_pm=u_pm-U, eex$$ 则 R.H. 条件可化为 $$beex bea rho_-v_-&=rho_+v_+,\ rho_-v_-^2+p_-&= rho_+v_+^2+p_+,\ sex{rho_-e_-+cfrac{1}{2}rho_-v_-^2+p_-}v_-&=sex{rho_+e_++cfrac{1}{2}rho_+v_+^2+p_+}v_+. eea eeex$$

4.  记 $m=rho_-v_-=rho_+v_+$, 则

(1)  若 $m=0$, 则 $x=x(t)$ 为接触间断 (contact discontinuity), 此时, $$bex v_-=v_+=0ra u_+=u_-=U, eex$$ 该间断线随流体一以同一速度运动, 无流体越过间断线.

(2)  若 $mneq 0$, 则 $x=x(t)$ 为激波, 在越过激波时, 由 R.H. 条件可导出各热力学量应满足的方程. 比如 $$bex H(tau,p;tau_0,p_0)equiv e(tau,p)-e_0(tau,p) +cfrac{1}{2}(p_0+p)(tau-tau_0)=0.  eex$$ 此称为 Hugoniot 方程或热力学激波条件 (只依赖于热力学量 $tau$, $p$). 另外, $v_-$, $v_+$ 同号. 若同为负号, 则 $u_-,u_+<U$, 而流体自右向左越过激波, 而激波相对于流体来说向右运动, 称为右传播激波; 若同为负号, 则称为左传播激波 (书 P 134).