原子的位形：卢瑟福模型

原子的位形：卢瑟福模型

原子的位形：卢瑟福模型

汤姆孙模型掠射时作用力为： F = 2 e ( Z e ) 4 π ε 0 R 2 F=frac{2 e(Z e)}{4 pi varepsilon_{0} R^{2}} F=4πε0​R22e(Ze)​，其中 ε 0 varepsilon_{0} ε0​ 为真空介电常量， Z Z Z为原子的正电荷数。为了估计 α alpha α 粒子由散射而引起的动量的变化，只要把作用力乘以粒子在原子附近度过的时间 ( ∼ 2 R / v ) (sim 2 R / v) (∼2R/v), 故
Δ p p = 2 F R / v m α v = 2 Z e 2 / ( 4 π ε 0 R ) 1 2 m α v 2 ≈ 2 Z × 1.44 f m ⋅ M e v / 0.1 n m E α ( M e V ) ≈ 3 × 1 0 − 5 Z E α rad ⁡ begin{aligned} frac{Delta p}{p}=frac{2 F R / v}{m_{alpha} v} &= frac{2 Z e^{2} /left(4 pi varepsilon_{0} Rright)}{frac{1}{2} m_{alpha} v^{2}}\ &approx frac{2 Z times 1.44 mathrm{fm}cdot mathrm{Mev} / 0.1 mathrm{~nm}}{E_{alpha}(mathrm{MeV})} \ &approx 3 times 10^{-5} frac{Z}{E_{alpha}} operatorname{rad} end{aligned} pΔp​=mα​v2FR/v​​=21​mα​v22Ze2/(4πε0​R)​≈Eα​(MeV)2Z×1.44fm⋅Mev/0.1 nm​≈3×10−5Eα​Z​rad​
电子电荷常数的一种有用表示法 e 2 4 π ε 0 = 1.44 f m ⋅ M e v frac{e^{2}}{4 pi varepsilon_{0}}=1.44 mathrm{fm}cdot mathrm{Mev} 4πε0​e2​=1.44fm⋅Mev， f m mathrm{fm} fm 代表费米, 是长度单位, 1 f m = 1 0 − 6 n m = 1 0 − 15 m 1 mathrm{fm}=10^{-6} mathrm{~nm}=10^{-15} mathrm{~m} 1fm=10−6 nm=10−15 m； E α E_{alpha} Eα​ 代表 α alpha α 粒子动能，以 M e V mathrm{MeV} MeV 为单位。

偏离角 θ = Δ p p theta = frac{Delta p}{p} θ=pΔp​

速度为 v v v的 α alpha α 粒子与静止电子碰撞：由能量、动量守恒，且 α alpha α 粒子质量远大于电子质量，近似碰撞后速度不变仍为 v v v，电子速度变为 2 v 2v 2v，动量变化为 2 m c v 2m_cv 2mc​v，因此， α alpha α粒子的动量变化为 θ ≈ Δ p p ≈ 2 m c v m α v ≈ 2 m c m α theta approx frac{Delta p}{p} approx frac{2 m_{c} v}{m_{alpha} v} approx frac{2m_c}{m_alpha} θ≈pΔp​≈mα​v2mc​v​≈mα​2mc​​。 保守估计得偏离角 θ < 1 0 − 4 Z E α theta<10^{-4}frac{Z}{E_{alpha}} θ<10−4Eα​Z​

下图描述了远离靶核时，入射能量为 E E E 、电荷为 Z 1 e Z_{1} e Z1​e 的带电粒子, 与电荷为 Z 2 e Z_{2} e Z2​e 的靶核发生散射的情况。库仑散射公式：

b = a 2 cot ⁡ θ 2 b=frac{a}{2}cotfrac{theta}{2} b=2a​cot2θ​，其中 a = e 2 4 π ε 0 Z 1 Z 2 E a=frac{e^2}{4pi varepsilon_0}frac{Z_1Z_2}{E} a=4πε0​e2​EZ1​Z2​​ 称为库仑散射因子。 b b b是瞄准距离，又称碰撞参数，即入射粒子与固体散射体无相互作用情况下的最小直线距离， θ theta θ为散射角。 e 2 4 π ϵ 0 = 1.44 f m ⋅ M e v frac{e^2}{4piepsilon_0}=1.44 mathrm{fm}cdot mathrm{Mev} 4πϵ0​e2​=1.44fm⋅Mev。

库仑力是中心力，满足角动量守恒 m r 2 d φ d t = L mr^2frac{dvarphi}{dt}=L mr2dtdφ​=L，入射能量 E E E应当理解为质心系能量， E c = 1 2 m μ v 2 E_c=frac{1}{2}m_mu v^2 Ec​=21​mμ​v2， m μ m_mu mμ​为折合适量 m μ = m m ′ m + m ′ m_mu=frac{mm'}{m+m'} mμ​=m+m′mm′​， E c = m ′ m + m ′ E E_c=frac{m'}{m+m'}E Ec​=m+m′m′​E。

设一薄箔的面积为 A A A，厚度为 t t t，则体积元 A t At At内共有 n A t nAt nAt个原子核，立体角 d Ω = 2 π sin ⁡ θ d θ dOmega=2pi sin{theta}dtheta dΩ=2πsinθdθ。

n n n为原子核的数密度， n = N A V m = N A ρ M n=frac{N_A}{V_m}=frac{N_Arho}{M} n=Vm​NA​​=MNA​ρ​。

对于单个原子核，瞄准距离在 b b b到 b + d b b+db b+db的 α alpha α粒子(即散射到 θ theta θ到 θ − d θ theta -dtheta θ−dθ 即 d Ω dOmega dΩ方向)的概率： 2 π b ∣ d b ∣ A = a 2 d Ω 16 A sin ⁡ 4 θ 2 frac{2 pi b|mathrm{~d} b|}{A}=frac{a^{2} mathrm{~d} Omega}{16 A sin ^{4} frac{theta}{2}} A2πb∣ db∣​=16Asin42θ​a2 dΩ​，对于整个金属箔则概率为： d p ( θ ) = a 2 d Ω 16 A sin ⁡ 4 θ 2 n A t = a 2 d Ω 16 sin ⁡ 4 θ 2 n t mathrm{d}p(theta)= frac{a^{2} mathrm{~d} Omega}{16 A sin ^{4} frac{theta}{2}} n A t=frac{a^{2} mathrm{~d} Omega}{16 sin ^{4} frac{theta}{2}}nt dp(θ)=16Asin42θ​a2 dΩ​nAt=16sin42θ​a2 dΩ​nt，若有 N N N个粒子打在薄膜上，则在 d Ω dOmega dΩ方向的粒子数： d N ′ = N p ( θ ) = n t N ( e 2 4 π ε 0 Z 1 Z 2 E ) 2 d Ω 16 sin ⁡ 4 θ 2 mathrm{d} N^{prime}=N p(theta)=n t Nleft(frac{e^{2}}{4 pi varepsilon_{0}} frac{Z_{1} Z_{2} }{E}right)^{2} frac{mathrm{d} Omega}{16sin ^{4} frac{theta}{2}} dN′=Np(θ)=ntN(4πε0​e2​EZ1​Z2​​)216sin42θ​dΩ​

定义微分截面： σ C ( θ ) ≡ d σ ( θ ) d Ω ≡ d N ′ N n t d Ω sigma_{mathrm{C}}(theta) equiv frac{mathrm{d} sigma(theta)}{mathrm{d} Omega} equiv frac{mathrm{d} N^{prime}}{N n t mathrm{~d} Omega} σC​(θ)≡dΩdσ(θ)​≡Nnt dΩdN′​， σ C ( θ ) sigma_{mathrm{C}}(theta) σC​(θ) 具有面积的量纲 m 2 / s r mathrm{m}^{2} / mathrm{sr} m2/sr (米²/球面度)它代表对于单位面积内每个靶核，单位入射粒子、单位立体角内的粒子数。由此我们可以得到卢瑟福公式：
σ C ( θ ) = a 2 16 sin ⁡ 4 θ 2 = ( e 2 4 π ε 0 Z 1 Z 2 E ) 2 1 16 sin ⁡ 4 θ 2 sigma_{C}(theta)=frac{a^2}{16sin ^{4} frac{theta}{2}}=left(frac{e^{2}}{4 pi varepsilon_{0}} frac{Z_{1} Z_{2} }{ E}right)^{2} frac{1}{16sin ^{4} frac{theta}{2}} σC​(θ)=16sin42θ​a2​=(4πε0​e2​EZ1​Z2​​)216sin42θ​1​

通常以靶恩 (简称靶，符号 b) 作为截面单位， 1 b = 1 0 − 28 m 2 1 mathrm{~b}=10^{-28} mathrm{~m}^{2} 1 b=10−28 m2，[相应散射截面 σ C ( θ ) sigma_{mathrm{C}}(theta) σC​(θ)的单位是 b / s r b/sr b/sr]

散射角度大于 θ 0 theta_0 θ0​的粒子占比为： N ′ N = ∫ n t σ c d Ω = ∫ θ 0 π n t a 2 2 π sin ⁡ θ 16 sin ⁡ 4 θ 2 d θ = N A ρ t π a 2 4 M ∫ θ 0 π 2 d ( s i n θ 2 ) sin ⁡ 3 θ 2 = N A ρ t π a 2 4 M ( 1 sin ⁡ 2 θ 0 2 − 1 sin ⁡ 2 π 2 ) = N A ρ M t π ( a 2 cot ⁡ θ 2 ) 2 frac{N'}{N}=int ntsigma_c dOmega = int_{theta_0}^pi nt a^2frac{2pi sin{theta}}{16sin ^{4} frac{theta}{2}}dtheta=frac{N_A rho t pi a^2}{4M}int_{theta_0}^{pi} frac{2d(sinfrac{theta}{2})}{sin^3frac{theta}{2}}=frac{N_A rho t pi a^2}{4M} (frac{1}{sin^2{frac{theta_0}{2}}}-frac{1}{sin^2{frac{pi}{2}}})=frac{N_Arho}{M}tpi (frac{a}{2}cot{frac{theta}{2}})^2 NN′​=∫ntσc​dΩ=∫θ0​π​nta216sin42θ​2πsinθ​dθ=4MNA​ρtπa2​∫θ0​π​sin32θ​2d(sin2θ​)​=4MNA​ρtπa2​(sin22θ0​​1​−sin22π​1​)=MNA​ρ​tπ(2a​cot2θ​)2

也可根据瞄准距离与散射角的关系去推导，散射角度大于 θ 0 theta_0 θ0​的粒子占比： N ′ N = n t π b 2 ( θ ) = N A ρ M t π ( a 2 cot ⁡ θ 2 ) 2 frac{N'}{N}=ntpi b^2(theta)=frac{N_Arho}{M}tpi (frac{a}{2}cot{frac{theta}{2}})^2 NN′​=ntπb2(θ)=MNA​ρ​tπ(2a​cot2θ​)2

原子核大小的估算

粒子和原子核对头碰撞时的最小距离为： r m = 1 4 π ε 0 Z 1 Z 2 e 2 E c r_{mathrm{m}}=frac{1}{4 pi varepsilon_{0}} frac{Z_{1} Z_{2} e^{2}}{E_{mathrm{c}}} rm​=4πε0​1​Ec​Z1​Z2​e2​，当原子核与粒子质量相差不大时，质心系能量为 E c = 1 2 m μ v 2 = m ′ m + m ′ E k E_c=frac{1}{2}m_{mu}v^2=frac{m'}{m+m'}E_k Ec​=21​mμ​v2=m+m′m′​Ek​，则粒子与金属核对头碰撞的最小距离
r m = e 2 4 π ε 0 Z 1 Z 2 E c = e 2 4 π ε 0 Z 1 Z 2 E k ( 1 + m m ′ ) r_{mathrm{m}}=frac{e^{2}}{4 pi varepsilon_{0}} frac{Z_{1} Z_{2} }{E_{mathrm{c}}}=frac{e^{2}}{4 pi varepsilon_{0}} frac{Z_{1} Z_{2} }{E_{mathrm{k}}}(1+frac{m}{m'}) rm​=4πε0​e2​Ec​Z1​Z2​​=4πε0​e2​Ek​Z1​Z2​​(1+m′m​)
入射粒子所需要的能量为
E k = e 2 4 π ε 0 Z 1 Z 2 r m ( 1 + m m ′ ) E_{k}=frac{e^{2}}{4 pi varepsilon_{0}} frac{Z_{1} Z_{2} }{r_{mathrm{m}}}(1+frac{m}{m'}) Ek​=4πε0​e2​rm​Z1​Z2​​(1+m′m​)

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