为什么信号都能够用正弦信号表示？

为什么信号都能够用正弦信号表示？

1 矢量分解

我们知道两个矢量 V 2 → a n d V 1 → 相互正交，夹角为 90 ° 我们知道两个矢量overrightarrow{V_2}andoverrightarrow{V_1}相互正交，夹角为90degree 我们知道两个矢量V2​ ​andV1​ ​相互正交，夹角为90°
即 V 2 → ⋅ V 1 → = ∣ V 1 ∣ ⋅ ∣ V 2 ∣ c o s 90 ° = 0 overrightarrow{V_2} cdotoverrightarrow{V_1}=left| V_1right|cdotleft|V_2right|cos90degree=0 V2​ ​⋅V1​ ​=∣V1​∣⋅∣V2​∣cos90°=0
在这个平面坐标上可以对任意方向的信号进行二维分解

如上图我们对V进行分解即使用V1和V2表示出来
V → = c 1 V → 2 + c 2 V → 2 overrightarrow V=c_1overrightarrow V_2+c_2overrightarrow V_2 V =c1​V 2​+c2​V 2​
其中 c 1 = ∣ V → ∣ c o s θ 1 ∣ V → 1 ∣ = V → ⋅ V → 1 V → 1 ⋅ V → 1 c_1=frac{left|overrightarrow Vright|costheta_1}{left|overrightarrow V_1right|}=frac{overrightarrow V cdot overrightarrow V_1}{overrightarrow V_1 cdot overrightarrow V_1} c1​= ​V 1​ ​ ​V ​cosθ1​​=V 1​⋅V 1​V ⋅V 1​​
c 2 = ∣ V → ∣ c o s θ 2 ∣ V → 2 ∣ = V → ⋅ V → 2 V → 2 ⋅ V → 2 c_2=frac{left|overrightarrow Vright|costheta_2}{left|overrightarrow V_2right|}=frac{overrightarrow V cdot overrightarrow V_2}{overrightarrow V_2 cdot overrightarrow V_2} c2​= ​V 2​ ​ ​V ​cosθ2​​=V 2​⋅V 2​V ⋅V 2​​
同理我们对于三维向量进行分解

V → = c 1 V → 2 + c 2 V → 2 + c 3 V → 3 overrightarrow V=c_1overrightarrow V_2+c_2overrightarrow V_2+c_3overrightarrow V_3 V =c1​V 2​+c2​V 2​+c3​V 3​
其中 c 1 = ∣ V → ∣ c o s θ 1 ∣ V → 1 ∣ = V → ⋅ V → 1 V → 1 ⋅ V → 1 c_1=frac{left|overrightarrow Vright|costheta_1}{left|overrightarrow V_1right|}=frac{overrightarrow V cdot overrightarrow V_1}{overrightarrow V_1 cdot overrightarrow V_1} c1​= ​V 1​ ​ ​V ​cosθ1​​=V 1​⋅V 1​V ⋅V 1​​
c 2 = ∣ V → ∣ c o s θ 2 ∣ V → 2 ∣ = V → ⋅ V → 2 V → 2 ⋅ V → 2 c_2=frac{left|overrightarrow Vright|costheta_2}{left|overrightarrow V_2right|}=frac{overrightarrow V cdot overrightarrow V_2}{overrightarrow V_2 cdot overrightarrow V_2} c2​= ​V 2​ ​ ​V ​cosθ2​​=V 2​⋅V 2​V ⋅V 2​​
c 3 = ∣ V → ∣ c o s θ 3 ∣ V → 3 ∣ = V → ⋅ V → 3 V → 3 ⋅ V → 3 c_3=frac{left|overrightarrow Vright|costheta_3}{left|overrightarrow V_3right|}=frac{overrightarrow V cdot overrightarrow V_3}{overrightarrow V_3 cdot overrightarrow V_3} c3​= ​V 3​ ​ ​V ​cosθ3​​=V 3​⋅V 3​V ⋅V 3​​
由低维推广至高维，我们可以知道n维空间的任意矢量V,可以准确表示为n个正交矢量的线性组合，即：
V → = c 1 V → 2 + c 2 V → 2 + ⋯ + c n V → n overrightarrow V=c_1overrightarrow V_2+c_2overrightarrow V_2+cdots+c_noverrightarrow V_n V =c1​V 2​+c2​V 2​+⋯+cn​V n​
其中任意 c r = V → ⋅ V → r V → r ⋅ V → r c_r=frac{overrightarrow V cdot overrightarrow V_r}{overrightarrow V_r cdot overrightarrow V_r} cr​=V r​⋅V r​V ⋅V r​​
V → i ⋅ V → j = 0 ( i ≠ j ) overrightarrow V_i cdot overrightarrow V_j=0(ine j) V i​⋅V j​=0(i=j)

我们可以将这种矢量分解的思想推广至信号分解中。

2 信号分解

信号正交：在( t 1 t_1 t1​, t 2 t_2 t2​)区间的两个函数 φ 1 （ t ） varphi_1（t） φ1​（t）和 φ 2 （ t ） varphi_2（t） φ2​（t）满足 ∫ t 1 t 2 φ 1 （ t ） φ 2 （ t ） ∗ d t = 0 int_{t_1}^{t_2}varphi_1（t）varphi_2（t）^*mathrm{d}t=0 ∫t1​t2​​φ1​（t）φ2​（t）∗dt=0（信号卷积为0），则称 φ 1 （ t ） varphi_1（t） φ1​（t）和 φ 2 （ t ） varphi_2（t） φ2​（t）在该区间内正交。
对于已知信号的分解我们需要先找到一个正交函数集（即映射的平面坐标轴，于多个函数而言在( t 1 t_1 t1​, t 2 t_2 t2​)区间的n个函数 φ 1 （ t ）， φ 2 （ t ）， ⋯ , φ n （ t ） varphi_1（t），varphi_2（t），cdots,varphi_n（t） φ1​（t），φ2​（t），⋯,φn​（t）满足 ∫ t 1 t 2 φ i （ t ） φ j （ t ） ∗ d t = 0 （ i ≠ j ） int_{t_1}^{t_2}varphi_i（t）varphi_j（t）^*mathrm{d}t=0（ine j） ∫t1​t2​​φi​（t）φj​（t）∗dt=0（i=j），则称该函数集在该区间内正交。

另外信号的分解更加苛刻一点，需要完备正交函数集即在正交函数集外，不存在任何函数 φ ( t ) varphi(t) φ(t)满足
∫ t 1 t 2 φ （ t ） φ j （ t ） ∗ d t = 0 （ φ j 取自正交函数集） int_{t_1}^{t_2}varphi（t）varphi_j（t）^*mathrm{d}t=0（ varphi_j取自正交函数集） ∫t1​t2​​φ（t）φj​（t）∗dt=0（φj​取自正交函数集）

则该正交函数集便升级为完备正交函数集

恰好有两个典型的完备正交函数集在区间 ( t 0 , t 0 + T ) (t_0,t_0+T) (t0​,t0​+T)
(1)三角函数集{ 1 ， c o s ( n Ω t ) , s i n ( n Ω t ) , n = 1 , 2 , ⋯ 1，cos(nOmega t),sin(nOmega t),n=1,2,cdots 1，cos(nΩt),sin(nΩt),n=1,2,⋯}
(2)虚指数函数集{ e j n Ω t , n = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ e^{jnOmega t},n=0,pm1,pm2,cdots ejnΩt,n=0,±1,±2,⋯}
可自行进行证明，傅里叶已证实
接下来我梦使用信号正交分解

为了求解 f ( t ) f(t) f(t)与我们近似函数之间误差最小，引入一个均方误差函数
ε 2 ‾ = 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 [ f ( t ) − ∑ j = 1 n C j φ j ( t ) ] 2 d t overline{ varepsilon^2}=frac{1}{t_2-t_1}int_{t_1} ^{t_2}[f(t)-sum_{j=1}^nC_jvarphi_j(t)]^2mathrm{d}t ε2=t2​−t1​1​∫t1​t2​​[f(t)−j=1∑n​Cj​φj​(t)]2dt
对其求 C i C_i Ci​偏导,并令其等于0
∂ ε 2 ‾ ∂ C i = ∂ ∫ t 1 t 2 [ f ( t ) − ∑ j = 1 n C j φ j ( t ) ] 2 d t ∂ C i frac { partial overline{ varepsilon^2}}{ partial C_i}=frac{partial{int_{t_1} ^{t_2}[f(t)-sum_{j=1}^nC_jvarphi_j(t)]^2mathrm{d}t}}{ partial C_i} ∂Ci​∂ε2​=∂Ci​∂∫t1​t2​​[f(t)−∑j=1n​Cj​φj​(t)]2dt​
对于求和项而言两两正交所以只留下 C i 2 φ i 2 C_i^2varphi_i^2 Ci2​φi2​，展开被积积分，并求导，只有两项不为0即
− 2 ∫ t 1 t 2 f ( t ) φ i ( t ) d t + 2 C i ∫ t 1 t 2 φ i 2 ( t ) d t = 0 -2int_{t_1} ^{t_2}f(t)varphi_i(t)mathrm{d}t+2C_iint_{t_1} ^{t_2}varphi_i^2(t)mathrm{d}t=0 −2∫t1​t2​​f(t)φi​(t)dt+2Ci​∫t1​t2​​φi2​(t)dt=0
即
C i = ∫ t 1 t 2 f ( t ) φ i ( t ) d t ∫ t 1 t 2 φ i 2 ( t ) d t = 1 K ∫ t 1 t 2 f ( t ) φ i ( t ) d t C_i=frac{int_{t_1} ^{t_2}f(t)varphi_i(t)mathrm{d}t}{int_{t_1} ^{t_2}varphi_i^2(t)mathrm{d}t}=frac{1}{K}int_{t_1} ^{t_2}f(t)varphi_i(t)mathrm{d}t Ci​=∫t1​t2​​φi2​(t)dt∫t1​t2​​f(t)φi​(t)dt​=K1​∫t1​t2​​f(t)φi​(t)dt
回代：

可知取得项数越多即n越大，均方误差越小。当 n → ∞ n to infty n→∞时，均方误差为0

3 结论

任意信号可以表示为无穷个正交函数之和即：
f ( t ) = C 1 φ 1 （ t ） + C 2 φ 2 （ t ） + ⋯ + C n φ n （ t ） = ∑ i = 1 ∞ C i φ ( t ) f(t)=C_1varphi_1（t）+C_2varphi_2（t）+cdots+C_nvarphi_n（t）=sum_{i=1}^infty C_ivarphi(t) f(t)=C1​φ1​（t）+C2​φ2​（t）+⋯+Cn​φn​（t）=i=1∑∞​Ci​φ(t)
也可称为正交展开式，或者广义傅里叶级数。
因此任意信号可以使用正弦完备正交函数集来表示

参考视频讲解：

郭宝龙信号系统讲解