流体力学基础

流体力学基础

目录

1 前言

2 雷诺平均

2.1 基本思路

 2.2 雷诺平均法则

 3 紊流基本方程

4 雷诺应力

5 总结

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1 前言

由上一篇内容，我们从原始形式的适用于所有流体的NS方程引入本构关系，获得了不可压缩牛顿流体的控制方程如下，该方程表征水沙瞬时运动的精确解。这里是链接。

 但是在实际的计算中，该方程组在大多数情况下由于计算成本的限制不能直接求解。且在工程计算中，我们对湍流运动的细节并不关注，怎么描述求解湍流平均运动是具有重要实际意义的。

2 雷诺平均

2.1 基本思路

根据Reynolds的做法，瞬时物理量分为平均物理量mean quantity和脉动物理量fluctuating quantities，即

其中，上划线表示平均值，单撇表示脉动值。平均值为时间积分平均值，即

 T为考虑的时间段时均周期，T应当比湍流的脉动周期大得多，以便包含大量涨落，但应比宏观的流动特征时间小得多，以便充分描述时均值随时间t的变化。

 

脉动量满足如下关系

 

 2.2 雷诺平均法则

根据以上雷诺平均的定义，我们可以得到如下雷诺平均法则】

 

 

 3 紊流基本方程

应用以上雷诺平均的思想，对连续性方程，运动方程和泥沙方程进行时均化得到

 

 

 其中与xi和xj方向的脉动速度有关。从物理含义上来说，表征湍流引起的动量输运，称为雷诺应力或湍流应力。为湍流泥沙通量，表征湍流引起的泥沙输移。

对于含沙量较小的情况，即ρ不变时的方程如下

以上三个方程即为雷诺平均的水沙运动控制方程，其中前两个描述水流运动的方程称为雷诺时均方程（RANS方程）。然而，由于湍流应力的存在，该方程组并不封闭，需要引入格外的湍流模式对方程组进行封闭。

4 雷诺应力

根据雷诺平均的N-S方程，我们定义紊流平均场中的总应力张量δij为：

 其中p即为压应力；τij为平均切应力，在水动力学方程中主要为河床阻力，通过曼宁公式计算；τij'为雷诺应力，通过湍流封闭模式计算。

根据牛顿内摩擦定律的扩展形式，我们认为

表征分子粘性切应力，由于其和雷诺应力相比属于小量，因此在一般的水动力学模型计算中可以忽略。雷诺应力的矩阵形式为

 由前面N-S方程的平均化过程可见，雷诺应力是从非线形对流项的平均中产生的，可以说起源于流场在时间或者空间上的不均匀性。τij'是对称张量，有6个独立变量，对角线分量是紊流正应力，非对角线分量是湍流剪切应力。

紊流正应力是恒负的，紊流剪切应力基本上认为是正的。因为，

所以脉动速度乘积的平均值是负的，紊流剪切应力则是正的。 

5 总结

以上推导了雷诺平均的水沙控制方程，但是方程组并不封闭，其另外推导出的雷诺应力项，需要湍流模式进行计算，主要分为零方程模式，一方程模式，二方程模式，这将在后面的文章中进行介绍。