如何理解极条件

如何理解极条件

在准备写附有参数的条件平差时，又遇到了当年没搞懂的老问题，怎么列极条件。所有的资料都是直接就列出来了，但是对我们这种渣渣一点也不友好，没有搞懂怎么列的。经过反复观察终于搞清楚了，特记录一下以免以后忘记
比如这个图形，我们连接了AB做辅助线，设 ∠ B A D angle BAD ∠BAD为 X X X，现在我们要列极条件

首先我们先看这个红色的三角形，根据正弦定理，我们可以知道有如下的公式
a s i n A = b s i n B = c s i n C = 2 R frac{a}{sinA}=frac{b}{sinB}=frac{c}{sinC}=2R sinAa​=sinBb​=sinCc​=2R
这里我们就可以得到
D B s i n X = A B s i n ( ∠ 3 + ∠ 5 ) frac{DB}{sinX}=frac{AB}{sin(angle3 + angle5)} sinXDB​=sin(∠3+∠5)AB​

现在我们再看这个红色的三角形，我们同理根据正弦定理，就可以得到
C B s i n ( ∠ 1 − X ) = A B s i n ( ∠ 2 + ∠ 4 ) frac{CB}{sin(angle1-X)}=frac{AB}{sin(angle2 + angle4)} sin(∠1−X)CB​=sin(∠2+∠4)AB​

然后再看到这一个红色的三角形，我们同理根据正弦定理，依然可以得到
D B s i n ( ∠ 4 ) = B C s i n ( ∠ 5 ) = C D s i n ( ∠ 6 ) frac{DB}{sin(angle4)}=frac{BC}{sin(angle5)}=frac{CD}{sin(angle6)} sin(∠4)DB​=sin(∠5)BC​=sin(∠6)CD​

好了，万事大吉，我们之所以要这三个三角形，是因为上下两个三角形 △ A B C triangle ABC △ABC和 △ A B D triangle ABD △ABD的正弦公式中都带有X，而 △ B C D triangle BCD △BCD可以将他们联系在一起。由三角形 △ A B C triangle ABC △ABC和 △ A B D triangle ABD △ABD的公式变形得到 A B AB AB的式子，并且相等
A B = B C s i n ( ∠ 2 + ∠ 4 ) s i n ( ∠ 1 − X ) = B D s i n ( ∠ 3 + ∠ 5 ) s i n X AB = frac{BCsin(angle2 + angle4)}{sin(angle1 - X)} = frac{BDsin(angle3 + angle5)}{sinX} AB=sin(∠1−X)BCsin(∠2+∠4)​=sinXBDsin(∠3+∠5)​
现在我们根据 △ B C D triangle BCD △BCD的公式，将 B C BC BC和 B D BD BD都表示为 C D CD CD，得到
s i n ( ∠ 5 ) s i n ( ∠ 2 + ∠ 4 ) s i n ( ∠ 1 − X ) s i n ( ∠ 6 ) C D = s i n ( ∠ 4 ) s i n ( ∠ 3 + ∠ 5 ) s i n X s i n ( ∠ 6 ) C D frac{sin(angle5)sin(angle2 + angle4)}{sin(angle1 - X)sin(angle6)}CD = frac{sin(angle4)sin(angle3 + angle5)}{sinXsin(angle6)}CD sin(∠1−X)sin(∠6)sin(∠5)sin(∠2+∠4)​CD=sinXsin(∠6)sin(∠4)sin(∠3+∠5)​CD
现在变形就可以得到
s i n ( ∠ 5 ) s i n ( ∠ 2 + ∠ 4 ) s i n ( ∠ 1 − X ) s i n ( ∠ 6 ) s i n X s i n ( ∠ 6 ) s i n ( ∠ 4 ) s i n ( ∠ 3 + ∠ 5 ) = 1 frac{sin(angle5)sin(angle2 + angle4)}{sin(angle1 - X)sin(angle6)} frac{sinXsin(angle6)}{sin(angle4)sin(angle3 + angle5)}=1 sin(∠1−X)sin(∠6)sin(∠5)sin(∠2+∠4)​sin(∠4)sin(∠3+∠5)sinXsin(∠6)​=1
现在化简，这就得到了一个极条件了，就是它
s i n ( ∠ 5 ) s i n ( ∠ 2 + ∠ 4 ) s i n X s i n ( ∠ 1 − X ) s i n ( ∠ 4 ) s i n ( ∠ 3 + ∠ 5 ) = 1 frac{sin(angle5)sin(angle2 + angle4)sinX}{sin(angle1 - X)sin(angle4)sin(angle3 + angle5)}=1 sin(∠1−X)sin(∠4)sin(∠3+∠5)sin(∠5)sin(∠2+∠4)sinX​=1