样本回归函数
Y i = β ^ 2 X i + μ ^ i Y_i=hat beta_2X_i+hatmu_i Yi=β^2Xi+μ^i
最小化
∑ ( Y i − β 2 X i ) 2 sum (Y_i-beta_2X_i)^2 ∑(Yi−β2Xi)2
求导并设为0得
2 ∑ ( Y i − β 2 X i ) ( − X i ) = 0 ∑ X i Y i = β 2 ∑ X i 2 2sum(Y_i-beta_2X_i)(-X_i)=0 \sum X_iY_i=beta_2sum X_i^2 2∑(Yi−β2Xi)(−Xi)=0∑XiYi=β2∑Xi2
则
β ^ 2 = ∑ X i Y i ∑ X i 2 hat beta_2=frac{sum X_iY_i}{sum X_i^2} β^2=∑Xi2∑XiYi
现在求方差
v a r ( β ^ 2 ) = E ( β ^ 2 − β 2 ) 2 = E [ ∑ X i ∑ X i 2 ( β 2 X i + μ i ) − β 2 ] 2 = E [ ∑ X i ∑ X i 2 μ i ] 2 var(hatbeta_2)=E(hatbeta_2-beta_2)^2\=E[sum frac{X_i}{sum X_i^2}(beta_2X_i+mu_i)-beta_2]^2=E[sum frac{X_i}{sum X_i^2}mu_i]^2 var(β^2)=E(β^2−β2)2=E[∑∑Xi2Xi(β2Xi+μi)−β2]2=E[∑∑Xi2Xiμi]2
E ( μ i 2 ) = σ 2 , E ( μ i , μ j ) = 0 E(mu_i^2)=sigma^2,E(mu_i,mu_j)=0 E(μi2)=σ2,E(μi,μj)=0.
则上式为
v a r ( β ^ 2 ) = σ 2 ∑ X i 2 var(hatbeta_2)=frac{sigma^2}{sum X_i^2} var(β^2)=∑Xi2σ2
本文发布于:2024-01-29 06:04:06，感谢您对本站的认可！
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