数学分析高等代数难题选

数学分析高等代数难题选

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如果有好的题目或解答 (图片或 tex 代码均可), 愿意共享的话, 一可以回帖 (弄了个论坛 , 欢迎注册并发言), 二可以发邮件给 zhangzujin361@163. 之后在题后给出链接, 给您扬名 (注明您所写的东西). 我自己给出的话, 就放在  了, 因为我不要名, 只是兴趣.

带悬赏的问题你如果做出来了, 请发邮件至zhangzujin361@163, 确认无误后可支付宝给你. 只悬赏给第一个做正确的, 之后我就会删除该悬赏.

这些难题选不一定是难的, 是我一看到后没啥思路的那种. 放在这, 有时间看看, 因为不一定就能做出来了么. 你也可以试试. 有啥好题欢迎共享, 发邮件或者论坛发帖都好.

还真是, 有的自己解决了, 有的被网友解决了. 你也可以自己有空想想.

P0011. (悬赏5元) 设 $$bex F(s)=int_0^pi f{cos phird phi}{[2(1-cosphi)+s]^f{1}{2}} =int_0^f{pi}{2}f{cos(2phi)rd phi}{sex{sin^2phi+f{s}{4}}^f{1}{2}},quad s>0. eex$$ 试证: (1) $dps{F(s)=lnf{8}{sqrt{s}}-2+Osex{sln f{1}{s}}}$, $dps{F'(s)=-f{1}{2s}+Osex{lnf{1}{s}}}$, 当 $sto 0$; (2) $dps{F(s)=f{pi}{2s^f{3}{2}}+Osex{f{1}{s^f{5}{2}}}}$, $dps{F'(s)=-f{3pi}{4s^f{5}{2}}+Osex{f{1}{s^f{7}{2}}}}$, 当 $sto infty$; (3) 类似地给出 $F''(s)$ 在 $sto 0$, $stoinfty$ 时的渐近展式, 并加以证明.

P0010. [宁波大学2018数分] 设 $f(x)$ 在 $[a,+infty)$ 上一致连续, 且对任意的 $x_0>a, sed{f(nx_0)}_{n=1}^infty$ 极限存在. 证明: $dps{vlmp{x}f(x)}$ 存在. .php?tid=241. A solution can be found in 跟锦数学180901.

P0009. [中山大学2018高等代数] 设 $sigma$ 是 $n$ 维实向量空间 $V$ 上的线性变换, 并且有正整数 $m$ 使得 $sigma^m$ 是 $V$ 上的恒等变换. 证明 $V$ 中存在一个基使得 $sigma$ 在其上的矩阵为正交矩阵. .php?tid=109. A solution can be found in 跟锦数学180917.

P0008. 试求 $dps{int_0^f{pi}{2}f{xln (1-sin x)}{sin x}rd x}$. .php?tid=80

P0007. 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续可微, $f(0)=0$, $dps{int_0^1 f(x)rd x=f{1}{3}}$, $dps{max_{[0,1]}f'(x)=6}$. 试求 $dps{int_0^1 f^3(x)rd x}$ 的最大值. .php?tid=77

P0006. 设 $sed{x_n}$ 是正数列, 满足 $dps{vlm{n}x_n=0}$, $dps{vlm{n}f{ln x_n}{x_1+cdots+x_n}}$ 存在, 且为负数. 试证: $dps{vlm{n}f{ln x_n}{ln n}=-1}$. .php?tid=74

P0005. 设 $dps{g(s)=int_0^infty sex{1+f{x}{s}}^se^{-x}rd x-sqrt{f{spi}{2}}, s>0}$. 试证: $g$ 严格递减, 且值域为 $dps{sex{f{2}{3},1}}$. .php?tid=73

P0004. 设 $f: [0,1]tobbR$ 三阶可导, 且 $f'''(x)geq 0, forall xin [0,1]$, $dps{int_0^1 f(x)rd x=0}$. 试证: $dps{10int_0^1 x^3f(x)rd x+6int_0^1 xf(x)rd xgeq 15int_0^1 x^2f(x)rd x}$. .php?tid=57 A solution: .php?mod=viewthread&tid=732

P0003. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上二阶可导, $f(a)=f(b)=f'(a)=f'(b)=0$, 又存在常数 $M$, 使得在 $[a,b]$ 上恒有 $|f''(x)|leq M$, 试证: 在 $[a,b]$ 上恒有 $dps{|f(x)|leq f{M}{16}(b-a)^2}$. .php?tid=41 A solution: .php?mod=viewthread&tid=733

P0002. (悬赏3元已发至赵应) 设 $f(x)$ 在 $(0,+infty)$ 上连续可微, $lminbbR$. 试证: $f'(x)e^{lm x}$ 递增等价于 $f'(x)+lm f(x)$ 递增. .php?tid=3. A solution can be found in 跟锦数学180921.

P0001. (悬赏3元已撤销) 设 $D$ 是闭单位圆, 中心在原点. 函数 $f:DtobbR$ 是二阶连续可微的凸函数, 且 $fgeq 0$ 在 $p D$. 试证: $$bex f(0)geq-f{1}{sqrt{pi}}sez{iint_D (f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2)rd xrd y}^f{1}{2}. eex$$ .php?tid=2. A solution can be found in 跟锦数学180918.

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