关于对极几何的一些个人理解

关于对极几何的一些个人理解

对极几何其实就是将相机光心和特征点与空间点约束在一个平面上。

如图，相机光心在O1位置时观测到空间点P投影到成像平面的p1上，接着相机运动，相机运动到光心在Or位置的时候观测到空间点P投影到成像平面上的pr处，此时O1、p1、P、Or、pr在一个平面上。

根据相机模型，可以轻松的得到：s₁p₁=KP,s₂p_r=K(RP+t)===>归一化坐标：x₁=K^-1p₁,x₂=K^-1p_r==>x₂=Rx₁+t===>两边左乘t^得到：t^x₂=t^Rx₁===>左乘x₂^T得到：x₂^Tt^x₂=x₂^Tt^Rx₁

t^x₂的方向和x₂^T的方向垂直，即x₂^Tt^Rx₁=0。其中t^R被称为本质矩阵E。

换一种说法：我们将平面提取出来，即得到O₁p₁O_rp_r平面，可得到几何关系：

O₁p₁（O₁O₂ X O_rp_r）=0

O₁P₁是p₁在O₁相机坐标系下的坐标，O₁O₂为位移t，O_rp_r是p_r在O_r坐标系下的坐标。可将p_r转换为O₁坐标系下的坐标Rp_r，最后得到关系：

p₁（t X Rp_r）=0

t X R == t^R==E（本质矩阵）

即p₁^T(t^Rp_r)=0==p₁^TEp_r

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