自动控制原理9.1：线性系统的状态空间描述(下)

自动控制原理9.1：线性系统的状态空间描述(下)

参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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1.线性系统的状态空间描述

1.6 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解

离散系统特点：系统中的各个变量被处理成为只在离散时刻取值，其状态空间描述只反映离散时刻的变量组间的因果关系和转换关系，因而这类系统通常称为离散时间系统，简称离散系统；

线性离散系统的动态方程可以利用系统的差分方程建立，可以利用线性连续动态方程的离散化得到；

1.6.1 由差分方程建立动态方程

经典控制理论中离散系统通常用差分方程或脉冲传递函数描述，单输入-单输出线性定常离散系统差分方程的一般形式为：
y ( k + n ) + a n − 1 y ( k + n − 1 ) + ⋯ + a 1 y ( k + 1 ) + a 0 y ( k ) = b n u ( k + n ) + b n − 1 u ( k + n − 1 ) + ⋯ + b 1 u ( k + 1 ) + b 0 u ( k ) begin{aligned} &y(k+n)+a_{n-1}y(k+n-1)+dots+a_1y(k+1)+a_0y(k)\\ =&b_nu(k+n)+b_{n-1}u(k+n-1)+dots+b_1u(k+1)+b_0u(k) end{aligned} =​y(k+n)+an−1​y(k+n−1)+⋯+a1​y(k+1)+a0​y(k)bn​u(k+n)+bn−1​u(k+n−1)+⋯+b1​u(k+1)+b0​u(k)​
其中： k k k表示 k T kT kT时刻， T T T为采样周期， y ( k ) , u ( k ) y(k),u(k) y(k),u(k)分别为 k T kT kT时刻的输出量和输入量； a i , b i ( i = 0 , 1 , 2 , … , n , 且 a n = 1 ) a_i,b_i(i=0,1,2,dots,n,且a_n=1) ai​,bi​(i=0,1,2,…,n,且an​=1)为表征系统特性的常系数；

考虑初始条件为零时的 z z z变换关系有：
Z [ y ( k ) ] = Y ( z ) , Z [ y ( k + i ) ] = z i Y ( z ) Z[y(k)]=Y(z),Z[y(k+i)]=z^iY(z) Z[y(k)]=Y(z),Z[y(k+i)]=ziY(z)
对差分方程取 z z z变换，可得：
G ( z ) = Y ( z ) U ( z ) = b n z n + b n − 1 z n − 1 + ⋯ + b 1 z + b 0 z n + a n − 1 z n − 1 + ⋯ + a 1 z + a 0 = b n + β n − 1 z n − 1 + ⋯ + β 1 z + β 0 z n + a n − 1 z n − 1 + ⋯ + a 1 z + a 0 = b n + N ( z ) D ( z ) begin{aligned} G(z)&=frac{Y(z)}{U(z)}=frac{b_nz^n+b_{n-1}z^{n-1}+dots+b_1z+b_0}{z^n+a_{n-1}z^{n-1}+dots+a_1z+a_0}\\ &=b_n+frac{beta_{n-1}z^{n-1}+dots+beta_1z+beta_0}{z^n+a_{n-1}z^{n-1}+dots+a_1z+a_0}=b_n+frac{N(z)}{D(z)} end{aligned} G(z)​=U(z)Y(z)​=zn+an−1​zn−1+⋯+a1​z+a0​bn​zn+bn−1​zn−1+⋯+b1​z+b0​​=bn​+zn+an−1​zn−1+⋯+a1​z+a0​βn−1​zn−1+⋯+β1​z+β0​​=bn​+D(z)N(z)​​
G ( z ) G(z) G(z)称为脉冲传递函数；

N ( z ) / D ( z ) N(z)/D(z) N(z)/D(z)串联分解，引入中间变量 Q ( z ) Q(z) Q(z)，有：
z n Q ( z ) + a n − 1 z n − 1 Q ( z ) + ⋯ + a 1 z Q ( z ) + a 0 Q ( z ) = U ( z ) Y ( z ) = β n − 1 z n − 1 Q ( z ) + ⋯ + β 1 z Q ( z ) + β 0 Q ( z ) begin{aligned} &z^nQ(z)+a_{n-1}z^{n-1}Q(z)+dots+a_1zQ(z)+a_0Q(z)=U(z)\\ &Y(z)=beta_{n-1}z^{n-1}Q(z)+dots+beta_1zQ(z)+beta_0Q(z) end{aligned} ​znQ(z)+an−1​zn−1Q(z)+⋯+a1​zQ(z)+a0​Q(z)=U(z)Y(z)=βn−1​zn−1Q(z)+⋯+β1​zQ(z)+β0​Q(z)​
最后向量-矩阵形式为：
[ x 1 ( k + 1 ) x 2 ( k + 1 ) ⋮ x n − 1 ( k + 1 ) x n ( k + 1 ) ] = [ 0 1 0 ⋯ 0 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 − a 0 − a 1 − a 2 ⋯ − a n − 1 ] [ x 1 ( k ) x 2 ( k ) ⋮ x n − 1 ( k ) x n ( k ) ] + [ 0 0 ⋮ 0 1 ] u ( k ) begin{bmatrix} x_1(k+1)\ x_2(k+1)\ vdots\ x_{n-1}(k+1)\ x_n(k+1) end{bmatrix}= begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & cdots & 0\ 0 & 0 & 1 & cdots & 0\ vdots & vdots & vdots & & vdots\ 0 & 0 & 0 & cdots & 1\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & cdots & -a_{n-1} end{bmatrix} begin{bmatrix} x_1(k)\ x_2(k)\ vdots\ x_{n-1}(k)\ x_n(k) end{bmatrix}+ begin{bmatrix} 0\ 0\ vdots\ 0\ 1 end{bmatrix}u(k) ​x1​(k+1)x2​(k+1)⋮xn−1​(k+1)xn​(k+1)​ ​= ​00⋮0−a0​​10⋮0−a1​​01⋮0−a2​​⋯⋯⋯⋯​00⋮1−an−1​​ ​ ​x1​(k)x2​(k)⋮xn−1​(k)xn​(k)​ ​+ ​00⋮01​ ​u(k)

y ( k ) = [ β 0 β 1 ⋯ β n − 1 ] x ( k ) + b n u ( k ) y(k)=begin{bmatrix}beta_0 & beta_1 & cdots & beta_{n-1}end{bmatrix}x(k)+b_nu(k) y(k)=[β0​​β1​​⋯​βn−1​​]x(k)+bn​u(k)

简记：
x ( k + 1 ) = G x ( k ) + h u ( k ) y ( k ) = c x ( k ) + d u ( k ) begin{aligned} &x(k+1)=Gx(k)+hu(k)\\ &y(k)=cx(k)+du(k) end{aligned} ​x(k+1)=Gx(k)+hu(k)y(k)=cx(k)+du(k)​
其中： G G G为友矩阵， G , h G,h G,h为可控标准型；

离散系统状态方程描述了 ( k + 1 ) T (k+1)T (k+1)T时刻的状态与 k T kT kT时刻的状态及输入量之间的关系，其输出方程描述了 k T kT kT时刻输出量与 k T kT kT时刻的状态及输入量之间的关系；

线性定常多输入-多输出离散系统的动态方程为：
x ( k + 1 ) = G x ( k ) + H u ( k ) y ( k ) = C x ( k ) + D u ( k ) begin{aligned} &x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)\\ &y(k)=Cx(k)+Du(k) end{aligned} ​x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)y(k)=Cx(k)+Du(k)​ 

1.6.2 定常连续动态方程的离散化

已知定常连续系统状态方程： x ˙ = A x + B u dot{x}=Ax+Bu x˙=Ax+Bu在 x ( t 0 ) x(t_0) x(t0​)及 u ( t ) u(t) u(t)作用下的解为：
x ( t ) = Φ ( t − t 0 ) x ( t 0 ) + ∫ t 0 T Φ ( t − τ ) B u ( τ ) d τ x(t)=Phi(t-t_0)x(t_0)+int_{t_0}^TPhi(t-tau)Bu(tau){rm d}tau x(t)=Φ(t−t0​)x(t0​)+∫t0​T​Φ(t−τ)Bu(τ)dτ
离散化状态方程为：
x ( k + 1 ) = Φ ( T ) x ( k ) + G ( T ) u ( k ) x(k+1)=Phi(T)x(k)+G(T)u(k) x(k+1)=Φ(T)x(k)+G(T)u(k)
其中：
G ( T ) = ∫ 0 T Φ ( τ ′ ) B d τ ′ 和 Φ ( T ) = Φ ( t ) ∣ t = T G(T)=int_0^TPhi(tau')B{rm d}tau'和 Phi(T)=Phi(t)|_{t=T} G(T)=∫0T​Φ(τ′)Bdτ′和Φ(T)=Φ(t)∣t=T​
离散化系统的输出方程：
y ( k ) = C x ( k ) + D u ( k ) y(k)=Cx(k)+Du(k) y(k)=Cx(k)+Du(k)

1.6.3 定常离散动态方程的解

离散化状态方程的解，亦称离散化状态转移方程：
x ( k ) = Φ k ( T ) x ( 0 ) + ∑ i = 0 k − 1 Φ k − 1 − i ( T ) G ( T ) u ( i ) x(k)=Phi^k(T)x(0)+sum_{i=0}^{k-1}Phi^{k-1-i}(T)G(T)u(i) x(k)=Φk(T)x(0)+i=0∑k−1​Φk−1−i(T)G(T)u(i)
当 u ( i ) = 0 ( i = 0 , 1 , ⋯ , k − 1 ) u(i)=0(i=0,1,cdots,k-1) u(i)=0(i=0,1,⋯,k−1)时，有：
x ( k ) = Φ k ( T ) x ( 0 ) = Φ ( k T ) x ( 0 ) = Φ ( k ) x ( 0 ) x(k)=Phi^k(T)x(0)=Phi(kT)x(0)=Phi(k)x(0) x(k)=Φk(T)x(0)=Φ(kT)x(0)=Φ(k)x(0)
其中： Φ ( k ) Phi(k) Φ(k)称为离散化系统动态转移矩阵；

输出方程为：
y ( k ) = C x ( k ) + D u ( k ) = C Φ k ( T ) x ( 0 ) + C ∑ i = 0 k − 1 Φ k − 1 − i ( T ) G ( T ) u ( i ) + D u ( k ) y(k)=Cx(k)+Du(k)=CPhi^k(T)x(0)+Csum_{i=0}^{k-1}Phi^{k-1-i}(T)G(T)u(i)+Du(k) y(k)=Cx(k)+Du(k)=CΦk(T)x(0)+Ci=0∑k−1​Φk−1−i(T)G(T)u(i)+Du(k)
使用递推法可得离散动态方程的解：
x ( k ) = G k x ( 0 ) + ∑ i = 0 k − 1 G k − 1 − i H u ( i ) y ( k ) = C G k x ( 0 ) + C ∑ i = 0 k − 1 G k − 1 − i H u ( i ) + D u ( k ) begin{aligned} &x(k)=G^kx(0)+sum_{i=0}^{k-1}G^{k-1-i}Hu(i)\ &y(k)=CG^kx(0)+Csum_{i=0}^{k-1}G^{k-1-i}Hu(i)+Du(k) end{aligned} ​x(k)=Gkx(0)+i=0∑k−1​Gk−1−iHu(i)y(k)=CGkx(0)+Ci=0∑k−1​Gk−1−iHu(i)+Du(k)​
式中： G k G^k Gk表示 k k k个 G G G相乘；

实例分析：

E x a m p l e 8 ： {rm Example8：} Example8： 已知连续时间系统的状态方程为：
x ˙ = [ 0 1 − 2 − 3 ] x + [ 0 1 ] u dot{x}= begin{bmatrix} 0 & 1\ -2 & -3 end{bmatrix}x+ begin{bmatrix} 0\ 1 end{bmatrix}u x˙=[0−2​1−3​]x+[01​]u
设 T = 1 T=1 T=1，求相应离散时间状态方程.

解：
s I − A = [ s 0 0 s ] − [ 0 1 − 2 − 3 ] = [ s − 1 2 s + 3 ] sI-A= begin{bmatrix} s & 0\ 0 & s end{bmatrix}- begin{bmatrix} 0 & 1 \ -2 & -3 end{bmatrix}= begin{bmatrix} s & -1 \ 2 & s+3 end{bmatrix} sI−A=[s0​0s​]−[0−2​1−3​]=[s2​−1s+3​]

( s I − A ) − 1 = a d j ( s I − A ) ∣ s I − A ∣ = 1 ( s + 1 ) ( s + 2 ) [ s + 3 1 − 2 s ] = [ 2 s + 1 − 1 s + 2 1 s + 1 − 1 s + 2 − 2 s + 1 + 2 s + 2 − 1 s + 1 + 2 s + 2 ] begin{aligned} (sI-A)^{-1}&=frac{{rm adj}(sI-A)}{|sI-A|}=frac{1}{(s+1)(s+2)} begin{bmatrix} s+3 & 1 \ -2 & s end{bmatrix}= begin{bmatrix} displaystylefrac{2}{s+1}-displaystylefrac{1}{s+2} & displaystylefrac{1}{s+1}-displaystylefrac{1}{s+2}\\ displaystylefrac{-2}{s+1}+displaystylefrac{2}{s+2} & displaystylefrac{-1}{s+1}+displaystylefrac{2}{s+2} end{bmatrix} end{aligned} (sI−A)−1​=∣sI−A∣adj(sI−A)​=(s+1)(s+2)1​[s+3−2​1s​]= ​s+12​−s+21​s+1−2​+s+22​​s+11​−s+21​s+1−1​+s+22​​ ​​

Φ ( t ) = L − 1 [ ( s I − A ) − 1 ] = [ 2 e − t − e − 2 t e − t − e − 2 t − 2 e − t + 2 e − 2 t − e − t + 2 e − 2 t ] Φ ( T ) = Φ ( t ) ∣ t = T = 1 = [ 0.6004 0.2325 − 0.4651 − 0.0972 ] begin{aligned} &Phi(t)=L^{-1}left[(sI-A)^{-1}right]= begin{bmatrix} 2{rm e}^{-t}-{rm e}^{-2t} & {rm e}^{-t}-{rm e}^{-2t}\ -2{rm e}^{-t}+2{rm e}^{-2t} & -{rm e}^{-t}+2{rm e}^{-2t} end{bmatrix}\\ &Phi(T)=Phi(t)|_{t=T=1}= begin{bmatrix} 0.6004 & 0.2325\ -0.4651 & -0.0972 end{bmatrix} end{aligned} ​Φ(t)=L−1[(sI−A)−1]=[2e−t−e−2t−2e−t+2e−2t​e−t−e−2t−e−t+2e−2t​]Φ(T)=Φ(t)∣t=T=1​=[0.6004−0.4651​0.2325−0.0972​]​

G ( t ) = ∫ 0 T Φ ( τ ) B d τ = ∫ 0 T [ e − τ − e − 2 τ − e − τ + 2 e − 2 τ ] d τ = [ 1 2 − e − T + 1 2 e − 2 T e − T − e − 2 T ] ⇒ G ( T ) ∣ T = 1 = [ 0.1998 0.2325 ] G(t)=int_0^TPhi(tau)B{rm d}tau=int_0^Tbegin{bmatrix}{rm e}^{-tau}-{rm e}^{-2tau}\-{rm e}^{-tau}+2{rm e}^{-2tau}end{bmatrix}{rm d}tau= begin{bmatrix} displaystylefrac{1}{2}-{rm e}^{-T}+frac{1}{2}{rm e}^{-2T}\ {rm e}^{-T}-{rm e}^{-2T} end{bmatrix}Rightarrow{G(T)|_{T=1}=begin{bmatrix}0.1998\0.2325end{bmatrix}} G(t)=∫0T​Φ(τ)Bdτ=∫0T​[e−τ−e−2τ−e−τ+2e−2τ​]dτ=[21​−e−T+21​e−2Te−T−e−2T​]⇒G(T)∣T=1​=[0.19980.2325​]