54张扑克牌，3人轮抽，求单人同时抽到大小王的概率

54张扑克牌，3人轮抽，求单人同时抽到大小王的概率

【每日一问】

一副扑克54张，三个人轮流抓牌，一个人18张。大王小王被同一个人拿到的概率是多大？

解题思路：

将扑克牌分成三堆，再分给三个人。
古典概型问题。
分子：
因为大小王两张扑克必须在一起，还剩52张扑克牌，分成16,18,18三堆扑克牌，再分给三个人。
注意：有两个相同的18。

C 52 16 × C 36 18 × C 18 18 A 3 3 A 2 2 C_{52}^{16} times C_{36}^{18} times C_{18}^{18} frac{A_3^3}{A_2^2} C5216​×C3618​×C1818​A22​A33​​

分母:
直接将54张扑克牌分成18,18,18三堆扑克牌，再分给三个人。
注意：有三个相同的18。

C 54 18 × C 36 18 × C 18 18 A 3 3 A 3 3 C_{54}^{18} times C_{36}^{18} times C_{18}^{18} frac{A_3^3}{A_3^3} C5418​×C3618​×C1818​A33​A33​​

C 52 16 × C 36 18 × C 18 18 A 3 3 A 2 2 C 54 18 × C 36 18 × C 18 18 A 3 3 A 3 3 = 18 × 17 × 3 54 × 53 = 17 53 frac{C_{52}^{16} times C_{36}^{18} times C_{18}^{18} frac{A_3^3}{A_2^2}}{C_{54}^{18} times C_{36}^{18} times C_{18}^{18} frac{A_3^3}{A_3^3}} = frac{18 times 17 times 3}{54 times 53} = frac{17}{53} C5418​×C3618​×C1818​A33​A33​​C5216​×C3618​×C1818​A22​A33​​​=54×5318×17×3​=5317​

结论解释

单张扑克牌被三人之中的某个人抽中的概率为 1 3 frac{1}{3} 31​。
大王一定会被某个人抽中（假设叫小明），在此基础上小明抽到小王的概率（即同时抽到大小王的概率）是 17 53 frac{17}{53} 5317​< 1 3 frac{1}{3} 31​
之所以抽两张扑克牌的概率减少了的原因是
小明这轮抽到了大王，就无法抽到小王，导致抽小王的概率低于 1 3 frac{1}{3} 31​。 也就是说抽大王和抽小王是相关事件，会互相影响。

另一种解题思路

说了这么多，不仅是想解释概率偏小的原因，而且还想引入另一种思路解决这个问题。
54张牌，3个人轮流抽，一共18轮。
还是以某人（小明）抽到大王为基准，小明还得抽到小王。大王可以出现在 3 × 18 3times18 3×18的任意位置，小王也必须出现在相同的人手中，但不能出现在大王出现的那一轮（共17轮）。
即 3 × 18 × 17 3times18times17 3×18×17
总共有 3 × 18 × 53 3times18times53 3×18×53种情况，即小王不与大王相同位置。

3 × 18 × 17 54 × 53 = 17 53 frac{3times18times17}{54times53}=frac{17}{53} 54×533×18×17​=5317​

致谢
2019-04-06每日一问是我参与"学习9群-Datawhale"学习总结所撰写的博客。
以下都是给予我帮助的朋友（群昵称）

• Muse-南京大学-计算机
• CJ_中山大学_研究生 | Datawhale
• 栾 应统

十分感谢！