树上问题基础与进阶

树上问题基础与进阶

树基础

• 一，树的有关概念
• 二，树的直径（树上最长
• • • 1，搜索框架
    • 2，树形DP框架
• 三，树的中心（这个用到了父节点信息更新子节点）
• • • 1，朴素想法：因为以不同的点为根树是动态的，对每个点求一下最远距离（上文d1），复杂度 O ( n ∗ m ) mathcal{O(n*m)} O(n∗m)
    • 2，树形DP
• 四，树的重心

一，树的有关概念

以下定义部分内容引用自 O I W i k i OI ~ Wiki OI Wiki
/

• 一个没有固定根结点的树称为 无根树（unrooted tree）。无根树有几种等价的形式化定义：

• 有 n 个结点，n - 1 条边的连通无向图

• 无向无环的连通图

• 任意两个结点之间有且仅有一条简单路径的无向图

• 任何边均为桥的连通图

• 没有圈，且在任意不同两点间添加一条边之后所得图含唯一的一个圈的图

特殊的树

• 链（chain/path graph）：满足与任一结点相连的边不超过 2 条的树称为链。

• 菊花/星星（star）：满足存在 u 使得所有除 u 以外结点均与 u 相连的树称为菊花。

• 有根二叉树（rooted binary tree）：每个结点最多只有两个儿子（子结点）的有根树称为二叉树。常常对两个子结点的顺序加以区分，分别称之为左子结点和右子结点。
  大多数情况下，二叉树 一词均指有根二叉树。

• 完整二叉树（full/proper binary tree）：每个结点的子结点数量均为 0 或者 2 的二叉树。换言之，每个结点或者是树叶，或者左右子树均非空。

• 完全二叉树（complete binary tree）：只有最下面两层结点的度数可以小于 2，且最下面一层的结点都集中在该层最左边的连续位置上。
  

• 完美二叉树（perfect binary tree）：所有叶结点的深度均相同的二叉树称为完美二叉树。
  

二，树的直径（树上最长

两点距离）

1，搜索框架

1，任取一个单点 v mathcal{v} v， b f s bfs bfs或者 d f s dfs dfs一个离它最远的点 u mathcal{u} u，记录距离 x mathcal{x} x
2，取 u mathcal{u} u点开始 d f s dfs dfs， b f s bfs bfs，再找一个和它最远的非 v mathcal{v} v的点，记录距离 y mathcal{y} y（如果很不巧，最远的就是 v mathcal{v} v，那么 y = 0 mathcal{y=0} y=0）
3，直径 = x + y mathcal{=x+y} =x+y
证明见：

• 优势：
  1，可以输出直径的路径
  2，可以修改直径的路径并对单独进行各种序列操作

• 解释：
  1，第一步 p p p 得到从 1 1 1 出发 d d d 最大的节点
  2， 从 p p p 出发得到最大的 d d d 最大的节点 p p p（其实是 p ′ p' p′）， p p p 是全局变量
  3，注意这里直径的长度是两次 b f s bfs bfs 最大的 d d d 的和， d d d 数组不清空，在 d d d 的基础上累加可谓是精妙之至

int bfs(int s)
{int y= 1;memset(d,0X3f,sizeof d);q.push(s);d[s]=pre[s]=0;while (q.size()){int x= q.front();q.pop();for(int i=h[x];~i;i=nxt[i]){int j=e[i];if(d[j]==inf)d[j]=d[x]+1,pre[j]=i,q.push(j);}}for(int x = 1;x <= n; x++){if(d[x]>d[y])y=x;}/// 返回了d最大的一个节点return y;
}int get()
{p= bfs(1);/// 得到d最大的节点p= bfs(p);/// 从d出发得到最大的d最大的节点，p是全局变量，稍后直径边权转化为负数时还有用/// 注意这里直径的长度是两次dfs最大的d的和/// 在d的基础上累加可谓是精妙之至return d[p];
}

2，树形DP框架

思路：
1，我们先任取一个点，因为是无根的（有根的就选根就行了）开始做
2， f [ i ] mathcal{f[i]} f[i]表示从 i mathcal{ i} i 点挂起的最长路径
3，对于搜到的每个点，只有挂起的才是最长的，挂起的直径其实就是向下走的最长路+次长路（dfs一次所有的儿子就能出了）
4，函数要返回单向仅向下的最长路，挂的直径存起就行

t i p s ： mathcal{ tips：} tips：挂点

int  dfs(int u,int fa)
{int d1,d2,d;       d1=0;d2=0;                   最大距和次大距for(int i=h[u]; ~i ;i=nxt[i]){int s=to[i];if(s==fa)continue;  d=dfs(s,u)+w[i];  if(d>=d1)d2=d1,d1=d;       d>d1是不对的（d=d1最大值不变，次大值变了）else if(d>d2)d2=d;         用个数组记下来也行，不过这道题没这个必要（后面就有了）}ans=max(ans,d1+d2);return d1;
}

三，树的中心（这个用到了父节点信息更新子节点）

题面：树中找到一个点，使得该点到树中其他结点的最远距离最近（好费劲啊~）

1，朴素想法：因为以不同的点为根树是动态的，对每个点求一下最远距离（上文d1），复杂度 O ( n ∗ m ) mathcal{O(n*m)} O(n∗m)

2，树形DP

• 每一个点在树上其实向上（父节点）和向下（子节点）走

我们用d1[u] , d2[u] , up[u] , p1[u] , p2[u] 分别存一下需要的信息，这些数据存的是：
d1[u]：存下u节点向下走的最长路径的长度
d2[u]：存下u节点向下走的第二长的路径的长度
p1[u]：存下u节点向下走的最长路径是从哪一个节点下去的
p2[u]：存下u节点向下走的第二长的路径是从哪一个节点走下去的（基本上用不到）
up[u]：存下u节点向上走的最长路径的长度

向下走实现：见上文求直径
其实向上走就是求一个点的父节点的不走该节点的最长路径

一个子节点 j 的向上最长路径就是 ：
它的父节点 u 的最长向上路径和最长向下路径取最大值
如果向下最长路径经过了 j 就改为第二长的向下路径
对应代码：

if(p1[u]==j)up[j]=max(up[u],d2[u])+w[i];
else up[j]=max(up[u],d1[u])+w[i];

int dfs(int u,int fa)
{for (int i = h[u]; ~i ; i =nxt[i] ){int s=to[i];if(s==fa)continue;int d=dfs(s,u)+w[i];if(d>=d1[u])d2[u]=d1[u],d1[u]=d,p2[u]=p1[u],p1[u]=s;else if(d>d2[u])d2[u]=d,p2[u]=s;}return d1[u];
}int dfs_up(int u,int fa)
{for (int i = h[u]; ~i ; i =nxt[i] ){int s=to[i];if(s==fa)continue;if(p1[u]==s)up[s]=max(up[u],d2[u])+w[i];else up[s]=max(d1[u],up[u])+w[i];dfs_up(s,u);}
}int main()
{dfs(1,-1);dfs_up(1,-1);.ans=1e9;for (int i = 1; i <= n; i ++ )ans=min(ans,max(d1[i],up[i]));cout << ans;
}

四，树的重心

概念：指树中的一个结点，如果将这个点删除后，剩余各个连通块中点数的最大值最小，那么这个节点被称为树的重心。
手段：对于树上的每一个点，计算其所有子树中最大的子树节点数，这个值最小的点就是这棵树的重心。

性质：

• 1，以重心根，所有的子树大小 < = <= <=树的大小的 1 / 2 1/2 1/2
• 2，树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的；如果有两个重心，那么到它们的距离和一样。
• 3，把两棵树通过一条边相连得到一棵新的树，那么新的树的重心在连接原来两棵树的重心的路径上。
• 4，在一棵树上添加或删除一个叶子，那么它的重心最多只移动一条边的距离。

int size[M],maxson[M];
vector<int>vec;
int barysize;  void dfs_barycenter(int u,int fa)
{size[u]++;maxson[u]=0;for(int i=h[u];~i;i=nxt[i]){int v=to[i];if(v!=fa)dfs_barycentor(v,u);size[u]+=size[v];maxson[u]=max(maxson[u],size[v]);}maxson[u]=max(maxson[u],n-size[u]); // 向上的子树大小if(maxson[u]>n/2)return ;if(maxson[u]<barysize)vec.clear(),vec.push_back(u);else if(maxson[u]==barysize)vec.push_back(u);
}