线性代数｜定义：矩阵

线性代数｜定义：矩阵

定义（矩阵）　由 m × n m times n m×n 个数 a i j a_{ij} aij​（ i = 1 , 2 , ⋯ , m ; j = 1 , 2 , ⋯ , n i=1,2,cdots,m;j=1,2,cdots,n i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n）排成的 m m m 行 n n n 列的数表
a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n begin{matrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \ vdots & vdots & & vdots \ a_{m1} & a_{m2} & cdots & a_{mn} end{matrix} a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮amn​​
称为 m m m 行 n n n 列矩阵，简称 m × n m times n m×n 矩阵。为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，记作
A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) boldsymbol{A} = begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \ vdots & vdots & & vdots \ a_{m1} & a_{m2} & cdots & a_{mn} end{pmatrix} A= ​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮amn​​ ​
这个 m × n m times n m×n 个数称为矩阵 A boldsymbol{A} A 的 元素，简称为 元，数 a i j a_{ij} aij​ 位于矩阵 A boldsymbol{A} A 的第 i i i 行第 j j j 列，称为矩阵 A boldsymbol{A} A 的 ( i , j ) (i,j) (i,j) 元。以数 a i j a_{ij} aij​ 为 ( i , j ) (i,j) (i,j) 元的矩阵可简记作 ( a i j ) (a_{ij}) (aij​) 或 ( a i j ) m × n (a_{ij})_{m times n} (aij​)m×n​。 m × n m times n m×n 矩阵 A boldsymbol{A} A 也记作 A m × n boldsymbol{A}_{m times n} Am×n​。

矩阵其他性质的定义：

• 实矩阵 和 复矩阵：元素是实数的矩阵称为 实矩阵，元素是复数的矩阵称为 复矩阵。

• 方阵：行数与列数都等于 n n n 的矩阵称为 n n n 阶矩阵 或 n n n 阶方阵。 n n n 阶矩阵 A boldsymbol{A} A 也记作 A n A_n An​。

• 行矩阵 和 行向量：只有一行的矩阵 A = ( a 1 a 2 ⋯ a n ) boldsymbol{A} = begin{pmatrix} a_1 & a_2 & cdots & a_n end{pmatrix} A=(a1​​a2​​⋯​an​​) 称为 行矩阵，又称 行向量。为避免元素间的混淆，行矩阵也记作 A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) boldsymbol{A} = (a_1,a_2,cdots,a_n) A=(a1​,a2​,⋯,an​)。

• 列矩阵 和 列向量：只有一列的矩阵

B = ( b 1 b 2 ⋮ b m ) boldsymbol{B} = begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \ vdots \ b_m end{pmatrix} B= ​b1​b2​⋮bm​​ ​

称为 列矩阵，又称 列向量。

• 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是 同型矩阵。

• 矩阵相等：如果 A = ( a i j ) boldsymbol{A} = (a_{ij}) A=(aij​) 与 B = ( b i j ) boldsymbol{B} = (b_{ij}) B=(bij​) 是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即

a i j = b i j ( i = 1 , 2 , ⋯ , m ; j = 1 , 2 , ⋯ , n ) a_{ij} = b_{ij} hspace{1em} (i=1,2,cdots,m;j=1,2,cdots,n) aij​=bij​(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n)

那么就称矩阵 A boldsymbol{A} A 与矩阵 B boldsymbol{B} B 相等，记作 A = B boldsymbol{A} = boldsymbol{B} A=B。

• 零矩阵：元素都是零的矩阵称为 零矩阵，记作 O boldsymbol{O} O。

需要注意的是，不同型的零矩阵是不同的。

• 对角矩阵：从左上角到右下角的直线（叫做对角线）以外的元素都是 0 0 0。这种方阵称为 对角矩阵，简称 对角阵。对角阵也记作 Λ = diag ⁡ ( λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n ) boldsymbol{Lambda} = operatorname{diag}(lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n) Λ=diag(λ1​,λ2​,⋯,λn​)。

• 单位矩阵：对于对角阵 Λ = diag ⁡ ( λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n ) boldsymbol{Lambda} = operatorname{diag}(lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n) Λ=diag(λ1​,λ2​,⋯,λn​)，特别当 λ 1 = λ 2 = ⋯ = λ n = 1 lambda_1 = lambda_2 = cdots = lambda_n = 1 λ1​=λ2​=⋯=λn​=1 时的线性变换叫做恒等变换，它对应的 n n n 阶方阵

E = ( 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ) boldsymbol{E} = begin{pmatrix} 1 & 0 & cdots & 0 \ 0 & 1 & cdots & 0 \ vdots & vdots & & vdots \ 0 & 0 & cdots & 1 end{pmatrix} E= ​10⋮0​01⋮0​⋯⋯⋯​00⋮1​ ​

叫做 n n n 阶 单位矩阵，简称 单位阵。这个方阵的特点是：对角线上的元素都是 1 1 1，其他元素都是 0 0 0。即单位阵 E boldsymbol{E} E 的 ( i , j ) (i,j) (i,j) 元 e i j e_{ij} eij​ 为
e i j = { 1 , 当 i = j 0 , 当 i ≠ j ( i , j = 1 , 2 , ⋯ , n ) e_{ij} = begin{cases} 1, 当 i = j \ 0, 当 i ne j end{cases} hspace{1em} (i,j=1,2,cdots,n) eij​={1, 当i=j0, 当i=j​(i,j=1,2,⋯,n)