概率论及数理统计（1）：基础知识

概率论及数理统计（1）：基础知识

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一、有关排列组合的一些基本公式及推导

分类计数原理：做一件事，有nn类办法，在第11类办法中有m1m1种不同的方法，在第22类办法中有m2m2种不同的方法，…，在第nn类办法中有mnmn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mnN=m1+m2+…+mn种不同的方法。

分步计数原理：完成一件事，需要分成nn个步骤，做第11步有m1m1种不同的方法，做第22步有m2m2种不同的方法，…，做第nn步有mnmn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×⋯×mnN=m1×m2×⋯×mn种不同的方法。

区别：分类计数原理是加法原理，不同的类加起来就是我要得到的总数；分步计数原理是乘法原理，是同一事件分成若干步骤，每个步骤的方法数相乘才是总数。

排列问题

排列数：

从n个不同元素种取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素种取出m个元素的排列数，用符号Amn表示。

排列数公式：

Amn=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)=n!(n−m)!,n,m∈N∗,并且m≤n

（规定0!=10!=1）

推导：把nn个不同的元素任选mm个排序，按计数原理分步进行：

取第一个：有nn种取法；
取第二个：有(n−1)(n−1)种取法；
取第三个：有(n−2)(n−2)种取法；
……
取第mm个：有(n−m+1)(n−m+1)种取法；

根据分步乘法原理，得出上述公式。

排列数性质：

Amn=nAm−1n−1可理解为“某特定位置”先安排，再安排其余位置。

Amn=mAm−1n−1+Amn−1 可理解为：含特定元素的排列有mAm−1n−1，不含特定元素的排列为Amn−1。