从极大似然的角度理解逻辑回归

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从极大似然的角度理解逻辑回归

什么是极大似然估计

最大似然估计就是通过已知结果去反推最大概率导致该结果的参数。

极大似然估计是概率论在统计学中的应用。它提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法，即：“模型已定，参数未知”。通过若干次试验，观察其结果，利用试验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大，则称为极大似然估计。
举个栗子，已知你面前站着一个非洲兄弟，你判断他是黑皮肤，而不是黄皮肤，因为非洲人是黑皮肤的概率最高。这就是一种最大似然估计的思想。这里面，非洲人，就是已知的结果；黑皮肤，就是要推导的参数；而你根据黑皮肤的人中非洲人出现的概率最大去反推面前这个非洲人应该是黑皮肤，就是最大似然估计。
可是它跟机器学习有什么关系？因为，逻辑回归是一种监督式学习，是有标签y_train的，按上面的意思来说，就是有已知结果的，那么我们就可以从这个已知结果入手，去推导能最大概率导致该结果的参数 θ theta θ，只要我们得出了这个优秀的 θ theta θ，那我们的模型自然可以很准确的预测未知的数据了。 P ( X ∣ Θ ) = L ( Θ ∣ X ) P(X|Theta ) = L(Theta |X) P(X∣Θ)=L(Θ∣X)

逻辑回归虽然名字中有回归，但其实区别于线性回归，是一种分类算法。当我们想要通过连续的x得到离散的y值的时候，一种方法是使用阶跃函数，但阶跃函数并不连续，会影响到微分的计算。所以我们用一个数学特性更优秀的函数，sigmoid函数来处理分类问题。
主要的原理是在线性回归z的基础上加上了一层sigmoid函数 g ( z ) = 1 1 + e − z g(z)= frac{1}{1+e^{-z}} g(z)=1+e−z1 ( z = θ T X z=theta ^{T} X z=θTX)，将负无穷到正无穷的y值映射到从0到1的区间，从而表示一个事情发生的概率，当 g ( z ) g(z) g(z)>0.5时，我们就认为这是预测结果为正向，反之为反向。

损失函数是机器学习中绕不开的一个概念，何为损失函数呢，放我们把所有y的预测值与真实值之间的偏离程度，伴随着参数 θ theta θ变化，画出来一条曲线，这条曲线所对应的数学公式就是损失函数。损失函数的最小值所对应的 θ theta θ，就是我们想求的那个最优秀的 θ theta θ。所以搞清楚我们的模型原理，很大程度上就是搞清楚我们的损失函数。
在线性回归中，我们采取了一种计算方式叫做最小二乘法，但是这个方法并不适用于逻辑回归。sigmoid的加入让我们的损失函数变成一种非凸函数，中间有非常多的局部最小值，简单来说，就是不能像坐滑梯一样顺利的滑到全局最低点，而是会中途掉进某个坑里。
~~J ( θ ) = ∑ 1 2 ( g ( z ) ( i ) − y ( i ) ) 2 J(theta ) = sum frac{1}{2}(g(z)^{(i)}- y^{(i)})^{2} J(θ)=∑21(g(z)(i)−y(i))2~~

既然最小二乘法行不通，那我们尝试一下回到开头提到的极大似然估计，看看能不能从这个角度解决我们当前的问题。提醒：前方高能，开始推公式啦！！
首先，在逻辑回归中从0-1的 g ( z ) g(z) g(z)代表了我们的预测值，这个值越趋近于1，则是正向样本的预测确信度就越高。所以我们就把 g ( z ) g(z) g(z)视为正类的后验概率，自然 1 − g ( z ) 1-g(z) 1−g(z)就是负类的后验概率。 P ( y = 1 ∣ x ; θ ) = g ( z ) = g ( θ T x ) = 1 1 + e − θ

本文发布于:2024-01-30 17:41:06，感谢您对本站的认可！