无/有扰动超螺旋滑模观测器的有限时间收敛证明

无/有扰动超螺旋滑模观测器的有限时间收敛证明

文章目录

• 前言`
• 一、无扰动下的超螺旋滑模观测器
• • 变量变形
  • 定理
  • 证明
• 三、参考文献

前言`

本文将就超螺旋观测器的有限时间收敛性进行证明。读者可以认为是2012年文献[1]的英文翻译成中文，如果想看更原汁原味的文章可以直接看原文。

STA可以用以下公式进行描述：
x ˙ 1 = − k 1 ∣ x 1 ∣ 1 / 2 s i g n ( x 1 ) + x 2 + ρ 1 ( x , t ) x ˙ 2 = − k 2 s i g n ( x 1 ) + ρ 2 ( x , t ) begin{equation} begin{aligned} dot x_1 &= -k_1 |x_1|^{1/2}mathrm{sign}(x_1) + x_2 + rho_1(x,t) \ dot x_2 &= -k_2mathrm{sign}(x_1) + rho_2(x,t) end{aligned} end{equation} x˙1​x˙2​​=−k1​∣x1​∣1/2sign(x1​)+x2​+ρ1​(x,t)=−k2​sign(x1​)+ρ2​(x,t)​​​
其中， x i x_i xi​是状态变量， k i k_i ki​是要被设计的增益， ρ i rho_i ρi​是干扰项。

一、无扰动下的超螺旋滑模观测器

先考虑 ρ 1 ( x , t ) = 0 rho_1(x,t)=0 ρ1​(x,t)=0， ρ 2 ( x , t ) = 0 rho_2(x,t)=0 ρ2​(x,t)=0的情况，于是系统可以简化成以下形式。
x ˙ 1 = − k 1 ∣ x 1 ∣ 1 / 2 s i g n ( x 1 ) + x 2 x ˙ 2 = − k 2 s i g n ( x 1 ) begin{equation} begin{aligned} dot x_1 &= -k_1 |x_1|^{1/2}mathrm{sign}(x_1) + x_2 \ dot x_2 &= -k_2mathrm{sign}(x_1) end{aligned} end{equation} x˙1​x˙2​​=−k1​∣x1​∣1/2sign(x1​)+x2​=−k2​sign(x1​)​​​

变量变形

假设新的变量为 z T = [ z 1 , z 2 ] = [ ∣ x 1 ∣ 1 / 2 s i g n ( x 1 ) , x 2 ] z^mathrm T=[z_1, z_2]=left[ |x_1|^{1/2}mathrm{sign}(x_1),x_2right ] zT=[z1​,z2​]=[∣x1​∣1/2sign(x1​),x2​],于是
z ˙ = 1 ∣ z 1 ∣ A z ， A = [ − 1 2 k 1 1 2 − k 2 0 ] dot z=frac{1}{|z_1|}Az，A=begin{bmatrix} -frac{1}{2}k_1 & frac{1}{2} \ -k_2 & 0 \ end{bmatrix} z˙=∣z1​∣1​Az，A=[−21​k1​−k2​​21​0​]
其中， ∣ z 1 ∣ = ∣ x 1 ∣ 1 / 2 |z_1|=|x_1|^{1/2} ∣z1​∣=∣x1​∣1/2，考虑李雅普诺夫函数
V ( x ) = z T P z V(x)=z^TPz V(x)=zTPz
其中， P P P是一个常数、对称、正定的矩阵。对其求导得
V ˙ = − ∣ x 1 ∣ − 1 / 2 z T Q z begin{equation} dot V=-|x_1|^{-1/2}z^TQz end{equation} V˙=−∣x1​∣−1/2zTQz​​
其中， P P P， Q Q Q满足代数李亚普诺夫Algebraic Lyapunov Equation (ALE)方程
A T P + P A = − Q A^TP+PA=-Q ATP+PA=−Q
当 k 1 > 0 , k 2 > 0 k_1>0,k_2>0 k1​>0,k2​>0时， A A A是Hurwitz矩阵（所有特征值为负），则对于任意的矩阵 Q = Q T > 0 Q=Q^T>0 Q=QT>0,存在唯一矩阵 P = P T > 0 P=P^T>0 P=PT>0使其满足上式。接下来给出定理1。

定理

定理1.考虑无干扰的STO，具有固定增益 k 1 k_1 k1​, k 2 k_2 k2​，具有以下性质：
1.原点 x = 0 x=0 x=0是有限时间稳定的。
2.矩阵 A A A是Hurwitz矩阵，其所有特征值具有负实部。
3.增益 k 1 > 0 , k 2 > 0 k_1>0,k_2>0 k1​>0,k2​>0。
4.对于任意的矩阵 Q = Q T > 0 Q=Q^T>0 Q=QT>0,存在唯一矩阵 P = P T > 0 P=P^T>0 P=PT>0满足ALE方程。

证明

定理中2、3、4的证明可以从线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性中得到。因此主要证明定理中的性质1。 V ( x ) = z T P z = p 11 ∣ x 1 ∣ + 2 p 12 x 2 ∣ x 1 ∣ 1 / 2 s i g n ( x 1 ) + p 22 x 2 2 V(x)=z^TPz=p_{11}|x_1|+2p_{12}x_2|x_1|^{1/2}mathrm{sign}(x_1)+p_{22}x_2^2 V(x)=zTPz=p11​∣x1​∣+2p12​x2​∣x1​∣1/2sign(x1​)+p22​x22​，其中 p i j p_{ij} pij​是矩阵 P P P的分量。于是 V V V是关于 x x x的完全连续(Absolute Continuous,AC)函数，它是正定的且径向无界的。可以得到
λ m i n ( P ) ∣ ∣ z ∣ ∣ 2 ≤ V ( x ) ≤ λ m a x ( P ) ∣ ∣ z ∣ ∣ 2 begin{equation} lambda_{min}(P)||z||^2leq V(x)leq lambda_{max}(P)||z||^2 end{equation} λmin​(P)∣∣z∣∣2≤V(x)≤λmax​(P)∣∣z∣∣2​​
其中， ∣ ∣ z ∣ ∣ 2 = ∣ x 1 ∣ + x 2 2 ||z||^2=|x_1|+x_2^2 ∣∣z∣∣2=∣x1​∣+x22​， λ ( P ) lambda(P) λ(P)为矩阵 P P P的特性值。为了保证收敛到0，有必要证明沿着系统(2)的轨迹 ϕ ( t , x 0 ) phi(t,x_0) ϕ(t,x0​), V ( ϕ ( t , x 0 ) ) V(phi(t,x_0)) V(ϕ(t,x0​))会单调减少。当李雅普诺夫函数连续可微，或者至少是局部Lipschitz连续，通常借助李雅普诺夫定理。然而， V ( x ) V(x) V(x)在 x 1 = 0 x_1=0 x1​=0处，其中的 ∣ x 1 ∣ 1 / 2 s i g n ( x 1 ) |x_1|^{1/2}mathrm{sign}(x_1) ∣x1​∣1/2sign(x1​)项导致了其不满足前面的两个条件。
说明：Lipschitz连续即存在L使得 ∣ f ( x ) − f ( y ) ∣ ≤ L ∣ x − y ∣ |f(x)-f(y)|leq L|x-y| ∣f(x)−f(y)∣≤L∣x−y∣。显然 ∣ ∣ x ∣ 1 / 2 s i g n ( x ) − 0 ∣ / ∣ x ∣ = x − 1 / 2 ≤ L left||x|^{1/2}mathrm{sign}(x)-0right|/|x|=x^{-1/2}leq L ​∣x∣1/2sign(x)−0 ​/∣x∣=x−1/2≤L，当 x x x趋于0时，这样的 L L L显然不存在。

于是，可以通过Zubov的理论[2,Theorem 20.2,p. 568.]，这个理论只需要李雅普诺夫函数的连续性来证明收敛性。
如果我们可以证明 V ( ϕ ( t , x 0 ) ) V(phi(t,x_0)) V(ϕ(t,x0​))时间的AC函数，则当且仅当 V ˙ dot V V˙几乎处处负定 V ( ϕ ( t , x 0 ) ) V(phi(t,x_0)) V(ϕ(t,x0​))是单调递减函数[3,p.207]。注意到 V ( ϕ ( t , x 0 ) ) = V ∘ ϕ ( t , x 0 ) V(phi(t, x_0)) = V circ phi(t, x_0) V(ϕ(t,x0​))=V∘ϕ(t,x0​) 是函数 V ( x ) V(x) V(x) 和 ϕ ( t , x 0 ) phi(t, x_0) ϕ(t,x0​) 的组合，其中 V ( x ) V(x) V(x) 是关于 x x x 的 AC 函数，而 ϕ ( t , x 0 ) phi(t, x_0) ϕ(t,x0​) 根据微分方程(1)包含的解的定义是关于时间的 AC 函数。然而两个AC函数的组合通常不是一个AC函数[4,p. 391]。两个AC函数的加发和乘法总是一个AC函数，但是两个（标量）AC函数 h ∘ g hcirc g h∘g可以是AC函数，如果它们满足 h h h是利普西茨或者 g g g是单调的[4,p. 391]。在
V ( ϕ ( t , x 0 ) ) = p 11 ∣ ϕ 1 ( t , x 0 ) ∣ + 2 p 12 ϕ 2 ( t , x 0 ) ∣ ϕ 1 ( t , x 0 ) ∣ 1 / 2 s i g n ( ϕ 1 ( t , x 0 ) ) + p 22 x 2 2 V(phi(t,x_0))=p_{11}|phi_1(t,x_0)|+2p_{12}phi_2(t,x_0)|phi_1(t,x_0)|^{1/2}mathrm{sign}(phi_1(t,x_0))+p_{22}x_2^2 V(ϕ(t,x0​))=p11​∣ϕ1​(t,x0​)∣+2p12​ϕ2​(t,x0​)∣ϕ1​(t,x0​)∣1/2sign(ϕ1​(t,x0​))+p22​x22​
中，确定 V ( ϕ ( t , x 0 ) ) V(phi(t,x_0)) V(ϕ(t,x0​))是AC函数的问题项是这一项， ∣ x 1 ∣ 1 / 2 s i g n ( x 1 ) ∘ ϕ 1 ( t , x 0 ) = ϕ 1 ( t , x 0 ) ∣ 1 / 2 s i g n ( ϕ 1 ( t , x 0 ) ) |x_1|^{1/2}mathrm{sign}(x_1)circ phi_1(t,x_0)=phi_1(t,x_0)|^{1/2}mathrm{sign}(phi_1(t,x_0)) ∣x1​∣1/2sign(x1​)∘ϕ1​(t,x0​)=ϕ1​(t,x0​)∣1/2sign(ϕ1​(t,x0​))，并且 ∣ x 1 ∣ 1 / 2 s i g n ( x 1 ) |x_1|^{1/2}mathrm{sign}(x_1) ∣x1​∣1/2sign(x1​)在 x 1 = 0 x_1=0 x1​=0处是非利普西茨的。接下来，我们将说明当 ϕ 1 ( t , x 0 ) phi_1(t,x_0) ϕ1​(t,x0​)经过 ϕ 1 ( t , x 0 ) = 0 phi_1(t,x_0)=0 ϕ1​(t,x0​)=0，它是单调的，这也就证明了 V ( ϕ ( t , x 0 ) ) V(phi(t,x_0)) V(ϕ(t,x0​))是 t t t的AC函数，因此它的导数几乎处处都有定义。

为了证明 ϕ 1 ( t , x 0 ) phi_1(t,x_0) ϕ1​(t,x0​)经过0的时候是单调的，假设在 t = τ t=tau t=τ时刻， ϕ 1 ( τ , x 0 ) = 0 phi_1(tau,x_0)=0 ϕ1​(τ,x0​)=0, ϕ 2 ( t , x 0 ) ≠ 0 phi_2(t,x_0)neq0 ϕ2​(t,x0​)=0。从微分方程可以得到 x ˙ 1 ∈ − k 1 ∣ x 1 ∣ 1 / 2 s i g n ( x 1 ) + x 2 dot x_1in-k_1|x_1|^{1/2}mathrm{sign}(x_1)+x_2 x˙1​∈−k1​∣x1​∣1/2sign(x1​)+x2​。则 ϕ 1 ( t , x 0 ) phi_1(t,x_0) ϕ1​(t,x0​)在包含 τ tau τ的某个区间内单调递增或者递减。如果在 t = τ t=tau t=τ时刻， ϕ 1 ( τ , x 0 ) = 0 phi_1(tau,x_0)=0 ϕ1​(τ,x0​)=0, ϕ 2 ( t , x 0 ) = 0 phi_2(t,x_0)=0 ϕ2​(t,x0​)=0， ϕ 1 ( τ , x 0 ) phi_1(tau,x_0) ϕ1​(τ,x0​)将已知保持在0处。在上述两种情况下 V ( ϕ ( t , x 0 ) ) V(phi(t,x_0)) V(ϕ(t,x0​))均是AC函数。

由于 V ( ϕ ( t , x 0 ) ) V(phi(t,x_0)) V(ϕ(t,x0​))并且 V ˙ dot V V˙(3)几乎处处不可微(n.d)，它遵循 V ( ϕ ( t , x 0 ) ) V(phi(t,x_0)) V(ϕ(t,x0​))是单调递减函数[3,p.207]。
此处为原文原话：Since V ( ϕ ( t , x 0 ) ) V(phi(t,x_0)) V(ϕ(t,x0​)) is AC and V ˙ dot V V˙(3) is n.d. almost everywhere, it follows that V ( ϕ ( t , x 0 ) ) V(phi(t,x_0)) V(ϕ(t,x0​)) is a monotonically decreasing function [3, p. 207].

此外，从(4)式可知 ∣ x 1 ∣ 1 / 2 ≤ ∣ ∣ z ∣ ∣ ≤ λ m i n − 1 / 2 ( P ) V 1 / 2 |x_1|^{1/2}leq ||z||leq lambda_{min}^{-1/2}(P)V^{1/2} ∣x1​∣1/2≤∣∣z∣∣≤λmin−1/2​(P)V1/2，于是 ∣ x 1 ∣ − 1 / 2 ≥ λ m i n 1 / 2 ( P ) V − 1 / 2 |x_1|^{-1/2}ge lambda_{min}^{1/2}(P)V^{-1/2} ∣x1​∣−1/2≥λmin1/2​(P)V−1/2。同理可以得到 z T Q z ≥ λ m i n ( Q ) ∣ ∣ z ∣ 2 ≥ λ m i n ( Q ) λ m a x − 1 ( P ) V z^TQzge lambda_{min}(Q)||z|^2ge lambda_{min}(Q)lambda_{max}^{-1}(P)V zTQz≥λmin​(Q)∣∣z∣2≥λmin​(Q)λmax−1​(P)V，于是可以得到：
V ˙ = − ∣ x 1 ∣ − 1 / 2 z T Q z ≤ − σ V 1 / 2 begin{equation} dot V=-|x_1|^{-1/2}z^TQzleq -sigma V^{1/2} end{equation} V˙=−∣x1​∣−1/2zTQz≤−σV1/2​​
其中 ， σ = λ m i n 1 / 2 ( P ) λ m i n ( Q ) λ m a x ( P ) sigma=frac{lambda_{min}^{1/2}(P)lambda_{min}(Q)}{lambda_{max}(P)} σ=λmax​(P)λmin1/2​(P)λmin​(Q)​。因为AC函数是它导数的积分，可以得到：
V ( ϕ ( t , x 0 ) ) − V ( ϕ ( 0 , x 0 ) ) = ∫ 0 t V ˙ ( ϕ ( τ , x 0 ) ) d τ ≤ − σ ∫ 0 t V 1 / 2 ( ϕ ( τ , x 0 ) ) d τ V(phi(t,x_0))-V(phi(0,x_0))= int_0^tdot V(phi(tau,x_0))dtau\ leq-sigmaint_0^t V^{1/2}(phi(tau,x_0))dtau V(ϕ(t,x0​))−V(ϕ(0,x0​))=∫0t​V˙(ϕ(τ,x0​))dτ≤−σ∫0t​V1/2(ϕ(τ,x0​))dτ
根据Bihari不等式[2, p.509]可以推出 V ( ϕ ( t , x 0 ) ) ≤ ( V 1 / 2 ( x 0 ) − ( σ / 2 ) t ) 2 V(phi(t,x_0))leq (V^{1/2}(x_0)-(sigma/2)t)^2 V(ϕ(t,x0​))≤(V1/2(x0​)−(σ/2)t)2，所以将在 T （ x 0 ） = 2 σ V 1 / 2 ( x 0 ) T_（x_0）=frac{2}{sigma}V^{1/2}(x_0) T（​x0​）=σ2​V1/2(x0​)内收敛到0。

有关这里，可以使用换元法直接分析证明。针对（5）式进行变形。令 y = V 1 / 2 > 0 y=V^{1/2}>0 y=V1/2>0,则可以得到 y ˙ = 1 2 V ˙ V − 1 / 2 dot y=frac 1 2dot V V^{-1/2} y˙​=21​V˙V−1/2，于是 V ˙ = 2 y y ˙ dot V=2ydot y V˙=2yy˙​，带入(5)得， 2 y y ˙ ≤ − σ y 2ydot yleq -sigma y 2yy˙​≤−σy，于是 y ˙ ≤ − σ 2 dot yleq -frac sigma 2 y˙​≤−2σ​，于是 y ≤ y ( 0 ) − σ 2 t yleq y(0)-frac sigma 2 t y≤y(0)−2σ​t，于是 V ≤ ( V ( 0 ) − σ 2 t ) 2 Vleq (V(0)-frac sigma 2 t)^2 V≤(V(0)−2σ​t)2。

接下来，为了更深刻地说明定理1的性质1和性质2是等价的，我们假设矩阵A不是赫尔维兹(Hurwitz)矩阵,我们将证明 x = 0 x=0 x=0对系统（2）来说不是渐近稳定的。接下来将讨论一下几种情况。假设矩阵A的特征值为 λ 1 , 2 = k 1 / 4 ± k 1 2 / 16 − k 2 / 2 lambda_{1,2}=k_1/4pmsqrt{k_1^2/16-k_2/2} λ1,2​=k1​/4±k12​/16−k2​/2 ​
(1) λ 1 , 2 lambda_{1,2} λ1,2​是虚数, k 1 = 0 , k 2 > 0 k_1=0,k_2>0 k1​=0,k2​>0。于是，对于ALE方程 Q = 0 Q=0 Q=0, P = diag { k 2 , 1 } P=text{diag}{k_2,1} P=diag{k2​,1}。所以 V ( x ) V(x) V(x)是局部利普西茨，以及正定(p.d.)的。并且 V ˙ = 0 dot V=0 V˙=0，即 V ( x ) V(x) V(x)为常数且无法收敛到0。
(2) λ 1 , 2 = 0 lambda_{1,2}=0 λ1,2​=0, k 1 = 0 , k 2 = 0 k_1=0,k_2=0 k1​=0,k2​=0，在这种情况下系统(2)是线性的，显然关于原点是不稳定的。
(3) λ 1 , 2 lambda_{1,2} λ1,2​是不同符号的实数， k 1 2 ≥ 8 k 2 , k 2 < 0 k_1^2ge 8k_2,k_2<0 k12​≥8k2​,k2​<0，于是可以得到
P c = [ − k 1 1 1 0 ] , Q c = [ 2 k 2 − k 1 2 k 1 k 1 − 1 ] < 0 P_c=left[begin{array}{ll}-k_1 & 1 \ 1 & 0end{array}right], Q_c=left[begin{array}{ll}2 k_2-k_1^2 & k_1 \ k_1 & -1end{array}right]<0 Pc​=[−k1​1​10​],Qc​=[2k2​−k12​k1​​k1​−1​]<0是ALE方程的解。 Chetaev的不稳定关系推广将在这里用来证明[5, Theorem 4.3]。对于函数 V c ( x ) = z T P c z V_c(x)=z^TP_cz Vc​(x)=zTPc​z，在集合 U = { z ∈ R 2 ∣ z 1 ( 2 z 2 − k 1 z 1 ) > 0 } U=left{z in mathbb{R}^2 mid z_1left(2 z_2-k_1 z_1right)>0right} U={z∈R2∣z1​(2z2​−k1​z1​)>0}中是正定的。 U U U包含了原点附近的任意点，并且在 V c ( x ) = 0 V_c(x)=0 Vc​(x)=0处有边界 { z 1 = 0 } {z_1=0} {z1​=0}和 { 2 z 2 = k 1 z 1 } {2 z_2=k_1 z_1} {2z2​=k1​z1​}。
对于任意的初始点 x 0 ∈ U ∩ B r x_0 in Ucap B_r x0​∈U∩Br​, B r = { z ∈ R 2 ∣ ∣ z ∣ ∣ ∣ ≤ r B_r={zin mathbb{R}^2 ||z||mid leq r Br​={z∈R2∣∣z∣∣∣≤r， V c ( x 0 ) > 0 V_c(x_0)>0 Vc​(x0​)>0，既然 V ˙ c ( x ) = − ∣ x 1 ∣ − 1 / 2 z T Q c z > 0 dot V_c(x)=-|x_1|^{-1/2}z^TQ_cz>0 V˙c​(x)=−∣x1​∣−1/2zTQc​z>0在 U U U内，轨迹 V ( ϕ ( t , x 0 ) ) V(phi(t,x_0)) V(ϕ(t,x0​))必然会穿过 B r B_r Br​的边界离开 U ∩ B r Ucap B_r U∩Br​。因此原点是不稳定的。
注：此处和原文不一致。原文为For any initial point x 0 ∈ U ∩ B r x_0 in Ucap B_r x0​∈U∩Br​, with B r = { z ∈ R 2 ∣ ∣ z ∣ ∣ ∣ ≤ r B_r={zin mathbb{R}^2 ||z||mid leq r Br​={z∈R2∣∣z∣∣∣≤r, V c ( x 0 ) > 0 V_c(x_0)>0 Vc​(x0​)>0 , and,since V ˙ c ( x ) = z T Q c z > 0 dot V_c(x)=z^TQ_cz>0 V˙c​(x)=zTQc​z>0 in U U U, the trajectory V ( ϕ ( t , x 0 ) ) V(phi(t,x_0)) V(ϕ(t,x0​)) has to leave U ∩ B r Ucap B_r U∩Br​ through the boundary of B r B_r Br​. This implies that the origin is unstable.
(4) λ 1 , 2 lambda_{1,2} λ1,2​其中一个数是负数， k 1 ≠ 0 , k 2 = 0 k_1neq 0,k_2=0 k1​=0,k2​=0。则 z 2 ( t ) z_2(t) z2​(t)恒等于 z 2 ( 0 ) z_2(0) z2​(0)，所以不可能有渐进稳定性。
(5) λ 1 , 2 lambda_{1,2} λ1,2​的实部均为正数。所以矩阵A是Anti-Hurwitz。解ALE得对每一个负定的矩阵Q，均有一个正定解P。因此系统是不稳定的。

目前有关带干扰的有限时间滑模观测器还未完成。文章中标黄的位置是笔者不理解的地方或者是自己思考后的心得，文章难免有疏漏之处，希望读者可以指出，谢谢。12.10日

三、参考文献

[1].J. A. Moreno and M. Osorio, “Strict Lyapunov Functions for the Super-Twisting Algorithm,” in IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 57, no. 4, pp. 1035-1040, April 2012, doi: 10.1109/TAC.2012.2186179.
[2].A. S. Poznyak, Advanced Mathematical Tools for Automatic Control Engineers. Amsterdam, The Netherlands: Elsevier, 2008, vol. 1, Deterministic Techniques, p. 774.
[3].A. Baccioti and L. Rosier, Liapunov Functions and Stability in Control Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 2005.
[4].V. I. Bogachev, Measure Theory. Berlin, Germany: Springer-Verlag,2007, vol. I, p. 491.
[5]. H. K. Khalil, Nonlinear Systems, Third ed. Upsaddle River, NJ: Prentice–Hall, 2002, p. 750.