数学表达式学习

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数学表达式学习

第一天

原文链接：数学表达式: 从恐惧到单挑 (1. 概述)

描述你在学习、使用数学表达式时的困难, 可举例说明.

对于数学表达式用latex表达时，还不是太熟练，因此在表达某些式子时可能会产生一些细节上的错误，而这些错误往往是我们这种初次使用者难以发现的，比如今天所讲的圆括号的区别，我之前都是直接使用圆括号 ( ，并未使用过 left(，区别如下：
( ∭ E V d x d y d z ) (iiint_{E}^{V} , dx,dy,dz) (∭EVdxdydz)
( ∭ E V d x d y d z ) left(iiint_{E}^{V} , dx,dy,dzright) (∭EVdxdydz)
一些特殊符号的理解，有一些可能是数学界中已有的符号，但是由于知识面较窄，无法在第一时间了解该符号的含义，就比较尴尬了。

原文链接：数学表达式: 从恐惧到单挑 (2. 集合的表示与运算)

作业

令 A = { 3 , 5 } mathbf{A} = {3, 5} A={3,5}, 写出 2 A 2^{mathbf{A}} 2A.

2 A = { ∅ , { 3 } , { 5 } , { 3 , 5 } } 2^{mathbf{A}}={emptyset, {3}, {5}, {3, 5}} 2A={∅,{3},{5},{3,5}}.

展开 2 ∅ 2^{emptyset} 2∅

2 ∅ = { ∅ } 2^{emptyset}={emptyset} 2∅={∅}.

令 A = { 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } mathbf{A} = {5, 6, 7, 8, 9} A={5,6,7,8,9}, 写出 A mathbf{A} A 的其它两种表示法.

1) A = [ 5..9 ] mathbf{A}=[5..9] A=[5..9]
2) A = { x ∈ N + ∣ 5 ≤ x ≤ 9 } mathbf{A}={x in mathbf{N^+} vert 5 leq x leq 9 } A={x∈N+∣5≤x≤9}

使用 markdown 模式写 CSDN 贴子, 根据提供的源码将相应表达式写出来.
提示: markdown 模式写表达式的源码与 Latex 比较一致 (估计就是从后者学习的), 仅在少数地方不同. 这里抄会了, 就为以后写论文就扫除了重要障碍.

以下为原博文涉及相关数学式子的内容复现：

2.1 集合的表示

枚举法
A = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } mathbf{A} = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}是阿拉伯数字的集合.
N = { 0 , 1 , 2 , … } mathbf{N}={0,1,2, dots} N={0,1,2,…}是自然数的集合.
Ω = { a , b , … , z } mathbf{Omega}={textrm{a},textrm{b}, dots, textrm{z}} Ω={a,b,…,z}是英文字母表
向量、集合等，用粗体 mathbf{x} ( x mathbf{x} x), bm{x} ( x bm{x} x), boldsymbol{x} ( x boldsymbol{x} x). 全文统一即可.
枚举法的几种简记
- 如果是两个整数之间的枚举集合, 可以使用简记 [ 1..10 ] = { 1 , 2 , … , 10 } [1..10] = {1, 2, dots, 10} [1..10]={1,2,…,10}, 也可以使用变量如 [ i . . j ] [i..j] [i..j]. 注意这里是两个点, 而不是 3 个点的 dots.
- 开区间 (3, 5) 表示大于 3, 小于 5 的所有实数. 闭区间 [3, 5] 表示大于或等于 3, 小于或等于 5 的所有实数. 这是基础数学的内容, 不仅限于离散数学的范畴.
- X = { x i } i = 1 n = { x 1 , x 2 , … , x n } mathbf{X}={x_i}_{i=1}^n={x_1, x_2, dots, x_n} X={xi}i=1n={x1,x2,…,xn}表示集合有 n n n 个元素. 式子源码为 mathbf{X} = {x_i}_{i = 1}^n) = {x_1, x_2, dots, x_n}. 不写 x_2 其实也没有影响.
谓词法
奇数集合： O = { x ∣ x ∈ N , x m o d 2 = 1 } = { x ∈ N ∣ x m o d 2 = 1 } mathbf{O}={x vert xin mathbf{N},x mod 2 = 1}={xin mathbf{N} vert x mod 2=1} O={x∣x∈N,xmod2=1}={x∈N∣xmod2=1}.
常用集合
实数 R mathbb{R} R
有理数 Q mathbf{Q} Q
平凡子集
空集 ∅ emptyset ∅
全集 U mathbf{U} U

2.2 元素与子集

x ∈ X x in mathbf{X} x∈X
A ⊆ B mathbf{A} subseteq mathbf{B} A⊆B

2.3 集合的运算

集合的基数
∣ X ∣ vert mathbf{X} vert ∣X∣, 指集合元素个数.
并
X ∪ Y mathbf{X} cup mathbf{Y} X∪Y
⋃ i = 1 n X i bigcup_{i=1}^n mathbf{X}_i ⋃i=1nXi表示 n n n 个集合的并.
∑ i = 1 n i = 1 + 2 + ⋯ + n = n ( n + 1 ) 2 sum_{i = 1}^n i = 1 + 2 + dots + n = frac{n (n + 1)}{2} ∑i=1ni=1+2+⋯+n=2n(n+1)
交
X ∩ Y mathbf{X} cap mathbf{Y} X∩Y
⋂ i = 1 n X i bigcap_{i=1}^n mathbf{X}_i ⋂i=1nXi表示 n n n 个集合的交.
差
X ∖ Y mathbf{X} setminus mathbf{Y} X∖Y表示两个集合的差.
补
X ‾ = U ∖ X overline{mathbf{X}} = mathbf{U} setminus mathbf{X} X=U∖X
¬ X neg mathbf{X} ¬X

2.4 幂集

2 A = { B ∣ B ⊆ A } 2^{mathbf{A}}={mathbf{B}vert mathbf{B}subseteq mathbf{A}} 2A={B∣B⊆A}
A = { 0 , 1 , 2 } , 2 A = { ∅ , { 0 } , { 1 } , { 2 } , { 0 , 1 } , { 0 , 2 } , { 1 , 3 } , { 0 , 1 , 2 } } mathbf{A} = {0,1,2},2^{mathbf{A}} = {emptyset, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 3}, {0, 1, 2}} A={0,1,2},2A={∅,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,3},{0,1,2}}

2.5 笛卡尔积

A × B = { ( a , b ) ∣ a ∈ A , b ∈ B } mathbf{A} times mathbf{B} = {(a, b) vert a in mathbf{A}, b in mathbf{B}} A×B={(a,b)∣a∈A,b∈B}.
( a , b ) ≠ ( b , a ) (a, b) neq (b, a) (a,b)=(b,a), 因此 A × B ≠ B × A mathbf{A} times mathbf{B} neq mathbf{B} times mathbf{A} A×B=B×A.
∅ × B = ∅ emptyset times mathbf{B} = emptyset ∅×B=∅
∣ A × B ∣ = ∣ A ∣ × ∣ B ∣ vert mathbf{A} times mathbf{B} vert = vert mathbf{A} vert times vert mathbf{B} vert ∣A×B∣=∣A∣×∣B∣
一维数据所在的空间为 R mathbb{R} R, 二维数据的空间为 R × R = R 2 mathbb{R} times mathbb{R} = mathbb{R}^2 R×R=R2, 三维数据的空间为 R 3 mathbb{R}^3 R3, n n n 维数据的 R n mathbb{R}^n Rn.

原文链接：数学表达式: 从恐惧到单挑 (3. 向量与矩阵)

自己出数据, 做一个 3 × 2 3 times 2 3×2 与 2 × 4 2 times 4 2×4的矩阵乘法.

A = [ 1 2 3 4 5 6 ] mathbf{A}=begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \ 5 & 6 end{bmatrix} A=⎣⎡135246⎦⎤,

B = [ 1 2 3 4 4 3 2 1 ] mathbf{B}=begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\ 4 & 3 & 2 & 1\ end{bmatrix} B=[14233241],

A × B = [ 9 6 9 6 19 14 21 16 29 22 33 26 ] mathbf{A} timesmathbf{B}=begin{bmatrix} 9 & 6 & 9 & 6\ 19 & 14 & 21 & 16\ 29 & 22 & 33 & 26\ end{bmatrix} A×B=⎣⎡91929614229213361626⎦⎤.

作业：Deep Multi-View 符号系统的矛盾

在 3.1 中的 B = { b i } i = 1 N mathbf{B}={b_i}_{i=1}^N B={bi}i=1N 中的 i = 1 i=1 i=1 是否应该修改为 i = 0 i=0 i=0 , 因为他说了 b i b_i bi 与 o i o_i oi 是由关联的二进制码, 而 O = { o i } i = 0 N mathbf{O}={o_i}_{i=0}^N O={oi}i=0N, 两者下标应该相一致.
φ ( X ) = [ φ 1 ( ε ( F ( X 1 , … , X N ) ) , X ( 1 ) ) , … , φ m ( ε ( F ( X 1 , … , X N ) ) , X ( m ) ) ] varphi(mathbf{X}) = [varphi_1(varepsilon(mathcal{F}(mathbf{X}_1,dots, mathbf{X}_N)), mathbf{X}^{(1)}), dots, varphi_m(varepsilon(mathcal{F}(mathbf{X}_1,dots, mathbf{X}_N)), mathbf{X}^{(m)})] φ(X)=[φ1(ε(F(X1,…,XN)),X(1)),…,φm(ε(F(X1,…,XN)),X(m))]
这里的 X 1 , … , X N mathbf{X_1},dots,mathbf{X_N} X1,…,XN 与 X ( m ) mathbf{X}^{(m)} X(m) 感觉有点矛盾，前文中只看到了 x N ( m ) x_N^{(m)} xN(m)，并未看到 X N mathbf{X_N} XN.
φ : X → B varphi:mathbf{X}tomathbf{B} φ:X→B, 这里的箭头用的to
φ : X → B varphi:mathbf{X}rightarrowmathbf{B} φ:X→B, 这里用的是rightarrow
φ : X ↦ B varphi:mathbf{X}mapstomathbf{B} φ:X↦B, 这里用的是mapsto
这里老板说在论文中应该用第三种，并不是很理解，需要通过再看回放理解，不过现在还看不了。

第二天

原文链接：数学表达式: 从恐惧到单挑 (4. 二元关系)

令 A = { 1 , 2 , 5 , 8 , 9 } mathbf{A} = {1, 2, 5, 8, 9} A={1,2,5,8,9}, 写出 A mathbf{A} A 上的 “模 2 同余” 关系及相应的划分.

R = { ( a , b ) ∈ A × A ∣ a m o d 2 = b m o d 2 } mathbf{R} = {(a, b) in mathbf{A} times mathbf{A} vert a mod 2 = b mod 2} R={(a,b)∈A×A∣amod2=bmod2}.
R = { ⟨ 1 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 5 ⟩ , ⟨ 1 , 9 ⟩ , ⟨ 2 , 2 ⟩ , ⟨ 2 , 8 ⟩ , ⟨ 5 , 1 ⟩ ⟨ 5 , 5 ⟩ , ⟨ 5 , 9 ⟩ , ⟨ 8 , 2 ⟩ , ⟨ 8 , 8 ⟩ , ⟨ 9 , 1 ⟩ , ⟨ 9 , 5 ⟩ , ⟨ 9 , 9 ⟩ } mathbf{R} = {langle1,1 rangle ,langle1,5 rangle , langle1,9 rangle ,langle2,2 rangle , langle2,8 rangle, langle5,1 rangle, langle5,5 rangle ,langle5,9 rangle, langle8,2 rangle,langle8,8 rangle ,langle9,1 rangle,langle9,5 rangle,langle9,9 rangle } R={⟨1,1⟩,⟨1,5⟩,⟨1,9⟩ ,⟨2,2⟩,⟨2,8⟩,⟨5,1⟩⟨5,5⟩,⟨5,9⟩,⟨8,2⟩,⟨8,8⟩,⟨9,1⟩,⟨9,5⟩,⟨9,9⟩}.

A = { 1 , 2 , 5 , 8 , 9 } mathbf{A} = {1, 2, 5, 8, 9} A={1,2,5,8,9}, 自己给定两个关系 R 1 mathbf{R}_1 R1 和 R 2 mathbf{R}_2 R2, 并计算 R 1 ∘ R 2 mathbf{R}_1 ∘mathbf{R}_2 R1∘R2, R 1 + mathbf{R}_1^+ R1+, R 1 ∗ mathbf{R}_1^* R1∗.

R 1 = = { ( a , b ) ∈ A × A ∣ a m o d 2 = b m o d 2 } mathbf{R}_1 = = {(a, b) in mathbf{A} times mathbf{A} vert a mod 2 = b mod 2} R1=={(a,b)∈A×A∣amod2=bmod2}
R 2 = = { ( a , b ) ∈ A × A ∣ a m o d 3 = b m o d 3 } mathbf{R}_2 = = {(a, b) in mathbf{A} times mathbf{A} vert a mod 3 = b mod 3} R2=={(a,b)∈A×A∣amod3=bmod3}
R 1 = { ⟨ 1 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 5 ⟩ , ⟨ 1 , 9 ⟩ , ⟨ 2 , 2 ⟩ , ⟨ 2 , 8 ⟩ , ⟨ 5 , 1 ⟩ ⟨ 5 , 5 ⟩ , ⟨ 5 , 9 ⟩ , ⟨ 8 , 2 ⟩ , ⟨ 8 , 8 ⟩ , ⟨ 9 , 1 ⟩ , ⟨ 9 , 5 ⟩ , ⟨ 9 , 9 ⟩ } mathbf{R}_1 = {langle1,1 rangle ,langle1,5 rangle , langle1,9 rangle ,langle2,2 rangle , langle2,8 rangle, langle5,1 rangle, langle5,5 rangle ,langle5,9 rangle, langle8,2 rangle,langle8,8 rangle ,langle9,1 rangle,langle9,5 rangle,langle9,9 rangle } R1={⟨1,1⟩,⟨1,5⟩,⟨1,9⟩ ,⟨2,2⟩,⟨2,8⟩,⟨5,1⟩⟨5,5⟩,⟨5,9⟩,⟨8,2⟩,⟨8,8⟩,⟨9,1⟩,⟨9,5⟩,⟨9,9⟩}.
R 2 = { ⟨ 1 , 1 ⟩ , ⟨ 2 , 2 ⟩ , ⟨ 2 , 5 ⟩ , ⟨ 2 , 8 ⟩ , ⟨ 5 , 2 ⟩ , ⟨ 5 , 5 ⟩ , ⟨ 5 , 8 ⟩ , ⟨ 8 , 2 ⟩ , ⟨ 8 , 8 ⟩ , ⟨ 9 , 9 ⟩ } mathbf{R}_2 = {langle 1, 1 rangle ,langle 2, 2 rangle ,langle 2, 5 rangle , langle2,8 rangle , langle5,2 rangle, langle 5, 5 rangle , langle5,8 rangle,langle8,2 rangle, langle 8, 8 rangle ,langle 9, 9 rangle } R2={⟨1,1⟩,⟨2,2⟩,⟨2,5⟩ ,⟨2,8⟩ ,⟨5,2⟩,⟨5,5⟩,⟨5,8⟩,⟨8,2⟩,⟨8,8⟩,⟨9,9⟩}.
R 1 ∘ R 2 = { ⟨ 1 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 2 ⟩ , ⟨ 1 , 5 ⟩ , ⟨ 1 , 8 ⟩ , ⟨ 1 , 9 ⟩ , ⟨ 2 , 2 ⟩ , ⟨ 2 , 5 ⟩ , ⟨ 2 , 8 ⟩ , ⟨ 5 , 1 ⟩ , ⟨ 5 , 2 ⟩ , ⟨ 5 , 5 ⟩ , ⟨ 5 , 9 ⟩ , ⟨ 8 , 2 ⟩ , ⟨ 8 , 5 ⟩ , ⟨ 8 , 8 ⟩ , ⟨ 9 , 1 ⟩ , ⟨ 9 , 2 ⟩ , ⟨ 9 , 5 ⟩ , ⟨ 9 , 8 ⟩ ， ⟨ 9 , 9 ⟩ } mathbf{R}_1∘mathbf{R}_2={langle 1, 1 rangle ,langle 1, 2 rangle,langle 1, 5 rangle ,langle 1, 8 rangle,langle 1, 9 rangle , langle 2, 2 rangle,langle 2, 5 rangle , langle2,8 rangle ,langle 5, 1 rangle,langle5,2 rangle, langle 5, 5 rangle ,langle5,9 rangle,langle 8, 2 rangle,langle 8, 5 rangle,langle 8, 8 rangle,langle 9, 1 rangle,langle 9, 2 rangle,langle 9, 5 rangle,langle 9, 8 rangle，langle 9, 9 rangle} R1∘R2={⟨1,1⟩,⟨1,2⟩,⟨1,5⟩,⟨1,8⟩,⟨1,9⟩,⟨2,2⟩,⟨2,5⟩ ,⟨2,8⟩ ,⟨5,1⟩,⟨5,2⟩,⟨5,5⟩,⟨5,9⟩,⟨8,2⟩,⟨8,5⟩,⟨8,8⟩,⟨9,1⟩,⟨9,2⟩,⟨9,5⟩,⟨9,8⟩，⟨9,9⟩}.
R 1 1 = { ⟨ 1 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 5 ⟩ , ⟨ 1 , 9 ⟩ , ⟨ 2 , 2 ⟩ , ⟨ 2 , 8 ⟩ , ⟨ 5 , 1 ⟩ ⟨ 5 , 5 ⟩ , ⟨ 5 , 9 ⟩ , ⟨ 8 , 2 ⟩ , ⟨ 8 , 8 ⟩ , ⟨ 9 , 1 ⟩ , ⟨ 9 , 5 ⟩ , ⟨ 9 , 9 ⟩ } mathbf{R}_1^1 = {langle1,1 rangle ,langle1,5 rangle , langle1,9 rangle ,langle2,2 rangle , langle2,8 rangle, langle5,1 rangle, langle5,5 rangle ,langle5,9 rangle, langle8,2 rangle,langle8,8 rangle ,langle9,1 rangle,langle9,5 rangle,langle9,9 rangle } R11={⟨1,1⟩,⟨1,5⟩,⟨1,9⟩ ,⟨2,2⟩,⟨2,8⟩,⟨5,1⟩⟨5,5⟩,⟨5,9⟩,⟨8,2⟩,⟨8,8⟩,⟨9,1⟩,⟨9,5⟩,⟨9,9⟩}
R 1 2 = { ⟨ 1 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 5 ⟩ , ⟨ 1 , 9 ⟩ , ⟨ 2 , 2 ⟩ , ⟨ 2 , 8 ⟩ , ⟨ 5 , 1 ⟩ ⟨ 5 , 5 ⟩ , ⟨ 5 , 9 ⟩ , ⟨ 8 , 2 ⟩ , ⟨ 8 , 8 ⟩ , ⟨ 9 , 1 ⟩ , ⟨ 9 , 5 ⟩ , ⟨ 9 , 9 ⟩ } mathbf{R}_1^2 = {langle1,1 rangle ,langle1,5 rangle , langle1,9 rangle ,langle2,2 rangle , langle2,8 rangle, langle5,1 rangle, langle5,5 rangle ,langle5,9 rangle, langle8,2 rangle,langle8,8 rangle ,langle9,1 rangle,langle9,5 rangle,langle9,9 rangle } R12={⟨1,1⟩,⟨1,5⟩,⟨1,9⟩ ,⟨2,2⟩,⟨2,8⟩,⟨5,1⟩⟨5,5⟩,⟨5,9⟩,⟨8,2⟩,⟨8,8⟩,⟨9,1⟩,⟨9,5⟩,⟨9,9⟩}
R 1 3 = { ⟨ 1 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 5 ⟩ , ⟨ 1 , 9 ⟩ , ⟨ 2 , 2 ⟩ , ⟨ 2 , 8 ⟩ , ⟨ 5 , 1 ⟩ ⟨ 5 , 5 ⟩ , ⟨ 5 , 9 ⟩ , ⟨ 8 , 2 ⟩ , ⟨ 8 , 8 ⟩ , ⟨ 9 , 1 ⟩ , ⟨ 9 , 5 ⟩ , ⟨ 9 , 9 ⟩ } mathbf{R}_1^3 = {langle1,1 rangle ,langle1,5 rangle , langle1,9 rangle ,langle2,2 rangle , langle2,8 rangle, langle5,1 rangle, langle5,5 rangle ,langle5,9 rangle, langle8,2 rangle,langle8,8 rangle ,langle9,1 rangle,langle9,5 rangle,langle9,9 rangle } R13={⟨1,1⟩,⟨1,5⟩,⟨1,9⟩ ,⟨2,2⟩,⟨2,8⟩,⟨5,1⟩⟨5,5⟩,⟨5,9⟩,⟨8,2⟩,⟨8,8⟩,⟨9,1⟩,⟨9,5⟩,⟨9,9⟩}
R 1 4 = { ⟨ 1 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 5 ⟩ , ⟨ 1 , 9 ⟩ , ⟨ 2 , 2 ⟩ , ⟨ 2 , 8 ⟩ , ⟨ 5 , 1 ⟩ ⟨ 5 , 5 ⟩ , ⟨ 5 , 9 ⟩ , ⟨ 8 , 2 ⟩ , ⟨ 8 , 8 ⟩ , ⟨ 9 , 1 ⟩ , ⟨ 9 , 5 ⟩ , ⟨ 9 , 9 ⟩ } mathbf{R}_1^4 ={langle1,1 rangle ,langle1,5 rangle , langle1,9 rangle ,langle2,2 rangle , langle2,8 rangle, langle5,1 rangle, langle5,5 rangle ,langle5,9 rangle, langle8,2 rangle,langle8,8 rangle ,langle9,1 rangle,langle9,5 rangle,langle9,9 rangle } R14={⟨1,1⟩,⟨1,5⟩,⟨1,9⟩ ,⟨2,2⟩,⟨2,8⟩,⟨5,1⟩⟨5,5⟩,⟨5,9⟩,⟨8,2⟩,⟨8,8⟩,⟨9,1⟩,⟨9,5⟩,⟨9,9⟩}
R 1 5 = { ⟨ 1 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 5 ⟩ , ⟨ 1 , 9 ⟩ , ⟨ 2 , 2 ⟩ , ⟨ 2 , 8 ⟩ , ⟨ 5 , 1 ⟩ ⟨ 5 , 5 ⟩ , ⟨ 5 , 9 ⟩ , ⟨ 8 , 2 ⟩ , ⟨ 8 , 8 ⟩ , ⟨ 9 , 1 ⟩ , ⟨ 9 , 5 ⟩ , ⟨ 9 , 9 ⟩ } mathbf{R}_1^5 = {langle1,1 rangle ,langle1,5 rangle , langle1,9 rangle ,langle2,2 rangle , langle2,8 rangle, langle5,1 rangle, langle5,5 rangle ,langle5,9 rangle, langle8,2 rangle,langle8,8 rangle ,langle9,1 rangle,langle9,5 rangle,langle9,9 rangle } R15={⟨1,1⟩,⟨1,5⟩,⟨1,9⟩ ,⟨2,2⟩,⟨2,8⟩,⟨5,1⟩⟨5,5⟩,⟨5,9⟩,⟨8,2⟩,⟨8,8⟩,⟨9,1⟩,⟨9,5⟩,⟨9,9⟩}
R 1 + = ⋃ i = 1 ∣ A ∣ R 1 i = { ⟨ 1 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 5 ⟩ , ⟨ 1 , 9 ⟩ , ⟨ 2 , 2 ⟩ , ⟨ 2 , 8 ⟩ , ⟨ 5 , 1 ⟩ ⟨ 5 , 5 ⟩ , ⟨ 5 , 9 ⟩ , ⟨ 8 , 2 ⟩ , ⟨ 8 , 8 ⟩ , ⟨ 9 , 1 ⟩ , ⟨ 9 , 5 ⟩ , ⟨ 9 , 9 ⟩ } mathbf{R}_1^+ = bigcup_{i=1}^{|mathbf{A}|}mathbf{R}_1^i={langle1,1 rangle ,langle1,5 rangle , langle1,9 rangle ,langle2,2 rangle , langle2,8 rangle, langle5,1 rangle, langle5,5 rangle ,langle5,9 rangle, langle8,2 rangle,langle8,8 rangle ,langle9,1 rangle,langle9,5 rangle,langle9,9 rangle } R1+=⋃i=1∣A∣R1i={⟨1,1⟩,⟨1,5⟩,⟨1,9⟩ ,⟨2,2⟩,⟨2,8⟩,⟨5,1⟩⟨5,5⟩,⟨5,9⟩,⟨8,2⟩,⟨8,8⟩,⟨9,1⟩,⟨9,5⟩,⟨9,9⟩}
R 1 ∗ = R 1 + ∪ A 0 = { ⟨ 1 , 1 ⟩ , ⟨ 1 , 5 ⟩ , ⟨ 1 , 9 ⟩ , ⟨ 2 , 2 ⟩ , ⟨ 2 , 8 ⟩ , ⟨ 5 , 1 ⟩ ⟨ 5 , 5 ⟩ , ⟨ 5 , 9 ⟩ , ⟨ 8 , 2 ⟩ , ⟨ 8 , 8 ⟩ , ⟨ 9 , 1 ⟩ , ⟨ 9 , 5 ⟩ , ⟨ 9 , 9 ⟩ } mathbf{R}_1^* = mathbf{R}_1^+ cup mathbf{A}^0={langle1,1 rangle ,langle1,5 rangle , langle1,9 rangle ,langle2,2 rangle , langle2,8 rangle, langle5,1 rangle, langle5,5 rangle ,langle5,9 rangle, langle8,2 rangle,langle8,8 rangle ,langle9,1 rangle,langle9,5 rangle,langle9,9 rangle } R1∗=R1+∪A0={⟨1,1⟩,⟨1,5⟩,⟨1,9⟩ ,⟨2,2⟩,⟨2,8⟩,⟨5,1⟩⟨5,5⟩,⟨5,9⟩,⟨8,2⟩,⟨8,8⟩,⟨9,1⟩,⟨9,5⟩,⟨9,9⟩}

查阅粗糙集上下近似的定义并大致描述
根据百度百科，可以理解：
A mathbf{A} A 有八个元素， A = { x 1 , x 2 , … , x 8 } mathbf{A} = {x_1, x_2, dots, x_8} A={x1,x2,…,x8}, 表示八个积木，每个积木块有颜色关系，大小关系，形状关系。
R 1 = { 红 , 黑 , 蓝 } = { { x 1 , x 2 , x 6 } , { x 3 , x 4 } , { x 5 , x 7 , x 8 } } mathbf{R}_1 = {红, 黑, 蓝}={{x_1,x_2,x_6}, {x_3,x_4},{x_5,x_7,x_8}} R1={红,黑,蓝}={{x1,x2,x6},{x3,x4},{x5,x7,x8}}
R 2 = { 三角 , 方块 , 圆形 } = { { x 1 , x 2 } , { x 5 , x 8 } , { x 3 , x 4 , x 6 , x 7 } } mathbf{R}_2 = {三角, 方块, 圆形} = {{x_1,x_2}, {x_5, x_8},{x_3,x_4,x_6,x_7}} R2={三角,方块,圆形}={{x1,x2},{x5,x8},{x3,x4,x6,x7}}
R 3 = { 大 , 中 , 小 } = { { x 1 , x 2 , x 5 } , { x 6 , x 8 } , { x 3 , x 4 , x 7 } } mathbf{R}_3 = {大, 中, 小} = {{x_1,x_2,x_5}, {x_6,x_8},{x_3,x_4,x_7}} R3={大,中,小}={{x1,x2,x5},{x6,x8},{x3,x4,x7}}
通过这里的关系进行交集或者并集可以得到很多的概念，但是若出现了一个无法用前面的运算得出的集合，就涉及到了上近似和下近似的概念。比如 X = { x 2 , x 5 , x 7 } mathbf{X}={x_2, x_5, x_7} X={x2,x5,x7}, 它的上近似和下近似分别为 { x 5 , x 7 } {x_5, x_7} {x5,x7}和 { x 1 , x 2 , x 5 , x 7 } {x_1, x_2, x_5, x_7} {x1,x2,x5,x7}，我理解的下近似集就是X的子集，同时这个子集与上面的集合有相应关系，比如被包含，而上近似则是X被这个集合包含，该集合也可以由上述的集合通过运算得到。

原文链接：数学表达式: 从恐惧到单挑 (5. 函数)

举例说明你对函数的认识.

一元函数也就是只有一种自变量，然后与因变量产生了一种关系，构成一个函数。
二元函数则意味着有两种自变量，道理同上。
多元函数的概念也可以同上，值得一提的是多元函数也可以当成一元函数，此时把自变量的集合可以当作向量，此时就把向量当作了一种自变量，从而转化成了一元函数。

原文链接：数学表达式: 从恐惧到单挑 (6. 向量/矩阵的范数)

给定一个矩阵并计算其各种范数.

给定矩阵为：
X = [ 1 2 3 4 ] mathbf{X}= begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{bmatrix} X=[1324]
l 0 l_0 l0 范数(非零项个数)：
∥ X ∥ 0 = ∣ { ( i , j ) ∣ x i j ≠ 0 } ∣ = 4 (1) |mathbf{X}|_0 = vert {(i,j)vert x_{ij} neq 0} vert =4 tag{1} ∥X∥0=∣{(i,j)∣xij=0}∣=4(1)

l 1 l_1 l1 范数(绝对值之和)：
∥ X ∥ 1 = ∑ i , j ∣ x i j ∣ = 10 (2) |mathbf{X}|_1 = sum_{i,j}vert x_{ij} vert = 10 tag{2} ∥X∥1=i,j∑∣xij∣=10(2)

l 2 l_2 l2 范数(平方和)：
∥ X ∥ 2 = ∑ i , j x i j 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 = 30 (3) |mathbf{X}|_2 = sqrt{sum_{i,j} x_{ij}^2 } = sqrt{1^2+2^2+3^2+4^2}=sqrt{30} tag{3} ∥X∥2=i,j∑xij2 =12+22+32+42 =30 (3)
∥ X ∥ 2 2 = ∑ i , j x i j 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 = 30 (4) |mathbf{X}|_2^2 = sum_{i,j} x_{ij}^2 = 1^2+2^2+3^2+4^2=30 tag{4} ∥X∥22=i,j∑xij2=12+22+32+42=30(4)
l ∞ l_{infty} l∞ 范数(相当于最大绝对值)：
∥ X ∥ ∞ = max ⁡ i , j ∣ x i j ∣ = 4 (5) |mathbf{X}|_{infty} = max_{i,j}{vert x_{ij}vert}=4 tag{5} ∥X∥∞=i,jmax∣xij∣=4(5)

原文链接：数学表达式: 从恐惧到单挑 (7. min 与 argmin)

解释推荐系统: 问题、算法与研究思路 2.1 中的优化目标
min ⁡ ∑ ( i , j ) ∈ Ω ( f ( x i , t j ) − r i j ) 2 min{sum_{(i,j)in Omega} (f(mathbf{x}_i, mathbf{t}_j)-r_{ij})^2} min(i,j)∈Ω∑(f(xi,tj)−rij)2
各符号及含义.

f ( x i , t j ) f(mathbf{x}_i, mathbf{t}_j) f(xi,tj) 表示预测的第 i i i 个用户对第 j j j 个商品的评分.

r i j r_{ij} rij 表示第 i i i 个用户对第 j j j 个商品的评分.

( f ( x i , t j ) − r i j ) 2 (f(mathbf{x}_i, mathbf{t}_j)-r_{ij})^2 (f(xi,tj)−rij)2 表示当前函数的预测评分与实际评分的误差平方.

∑ ( i , j ) ∈ Ω ( f ( x i , t j ) − r i j ) 2 sum_{(i,j)in Omega} (f(mathbf{x}_i, mathbf{t}_j)-r_{ij})^2 ∑(i,j)∈Ω(f(xi,tj)−rij)2 表示当前函数的误差平方和.

min ⁡ ∑ ( i , j ) ∈ Ω ( f ( x i , t j ) − r i j ) 2 min{sum_{(i,j)in Omega} (f(mathbf{x}_i, mathbf{t}_j)-r_{ij})^2} min∑(i,j)∈Ω(f(xi,tj)−rij)2 表示找出最小误差平方和

第三天

原文链接：数学表达式: 从恐惧到单挑 (8. 累加、累乘与积分)

将向量下标为偶数的分量 (x2, x4, …) 累加, 写出相应表达式.

∑ i m o d 2 = 0 n ( x i ) sum_{imod2=0}^n{left( x_iright)} imod2=0∑n(xi)

int sum = 0;
int n = 10;
for (int i = 1; i <= n; i++) {//这里假设x_i=iif (i % 2 == 0) {sum += i;}
}

各出一道累加、累乘、积分表达式的习题, 并给出标准答案.

累加： ∑ i m o d 3 = 0 3 n ( x i ) , X = { 1 , 2 , 3 , ⋯ , 3 n } sum_{imod3=0}^{3n}(x_i), mathbf{X}={1, 2, 3,cdots, 3n} imod3=0∑3n(xi),X={1,2,3,⋯,3n}
答案： ∑ i m o d 3 = 0 3 n ( x i ) = n ( 3 + 3 n ) 2 sum_{imod3=0}^{3n}(x_i)=frac{n(3+3n)}{2} imod3=0∑3n(xi)=2n(3+3n)

累乘： ∏ i 10 i prod_{i}^{10} {i} i∏10i
答案： ∏ i 10 i = 1 × 2 × 3 × ⋯ × 10 = 3628800 prod_{i}^{10} {i}=1times2times3timesdotstimes10=3628800 i∏10i=1×2×3×⋯×10=3628800

积分表达式： ∫ − 2 2 e x d x int_{-2}^{2} e^x, dx ∫−22exdx
答案： ∫ − 2 2 e x d x = e x ∣ − 2 + 2 = e 2 − e − 2 int_{-2}^{2} e^x, dx = e^x vert_{-2}^{+2}=e^2-e^{-2} ∫−22exdx=ex∣−2+2=e2−e−2

你使用过三重累加吗? 描述一下其应用.

用过，比如涉及空间问题的时候，此时为三维空间，那么假设对这个空间里的离散点附带的值进行求和，那么便可用三重累加，将每个空间点值加起来。

给一个常用的定积分, 将手算结果与程序结果对比.

∫ − 1 1 ( x 2 ) d x int_{-1}^{1} (x^2) mathrm{d}x ∫−11(x2)dx
∫ − 1 1 ( x 2 ) d x = 1 3 x 3 ∣ − 1 + 1 = 1 3 − ( − 1 3 ) = 2 3 int_{-1}^{1} (x^2) mathrm{d}x = frac{1}{3}x^3 vert_{-1}^{+1}=frac{1}{3}-(-frac{1}{3})=frac{2}{3} ∫−11(x2)dx=31x3∣−1+1=31−(−31)=32

程序：

        double sum = 0;double delta = 0.001;for (double i = -1; i <= 1; i += delta) {sum += i * i * delta;}System.out.println(sum);

程序结果：

delta=0.001
0.6666670000000002

delta=0.000001
0.6666666666680293

结论：可以看出差距很小，若delta越小，则精度越高，但是过于太小，循环次数就会增多，时间复杂度随之提高。

原文链接：数学表达式: 从恐惧到单挑 (9. 线性回归)

推导
arg min ⁡ w ∥ X w − Y ∥ 2 2 + λ ∥ w ∥ 2 2 argmin_{mathbf{w}}|mathbf{Xw}-mathbf{Y}|_2^2+lambda|mathbf{w}|_2^2 wargmin∥Xw−Y∥22+λ∥w∥22

X w − Y mathbf{Xw}-mathbf{Y} Xw−Y 是一个 n × 1 ntimes1 n×1的矩阵, 因此可以根据利用 1 × n 1times n 1×n的转置矩阵与其相乘获得 1 × 1 1times 1 1×1的标量, 即

计算化简：
∥ X w − Y ∥ 2 2 = ( X w − Y ) T ( X w − Y ) = ( w T X T − Y T ) ( X w − Y ) = w T X T X w − w T X T Y − Y T X w + Y T Y begin{aligned} |mathbf{Xw}-mathbf{Y}|_2^2 &= (mathbf{Xw}-mathbf{Y})^{mathrm{T}}(mathbf{Xw}-mathbf{Y}) \&=(mathbf{w}^{mathrm{T}}mathbf{X}^{mathrm{T}}-mathbf{Y}^{mathrm{T}})(mathbf{Xw}-mathbf{Y}) \&=mathbf{w}^{mathrm{T}}mathbf{X}^{mathrm{T}}mathbf{Xw}-mathbf{w}^{mathrm{T}}mathbf{X}^{mathrm{T}}mathbf{Y}-mathbf{Y}^{mathrm{T}}mathbf{Xw}+mathbf{Y}^{mathrm{T}}mathbf{Y} end{aligned} ∥Xw−Y∥22=(Xw−Y)T(Xw−Y)=(wTXT−YT)(Xw−Y)=wTXTXw−wTXTY−YTXw+YTY

同理：
λ ∥ w ∥ 2 2 = λ w T w lambda|mathbf{w}|_2^2 =lambda mathbf{w}^{mathrm{T}}mathbf{w} λ∥w∥22=λwTw

对 w mathbf{w} w 求导使得下式为0：
∂ ( ∥ X w − Y ∥ 2 2 + λ ∥ w ∥ 2 2 ) ∂ w = ∂ ( w T X T X w − w T X T Y − Y T X w + Y T Y + λ w T w ) ∂ w = 0 begin{aligned} frac{partialleft( |mathbf{Xw}-mathbf{Y}|_2^2+lambda|mathbf{w}|_2^2right)}{partialmathbf{w}} &=frac{partialleft( mathbf{w}^{mathrm{T}}mathbf{X}^{mathrm{T}}mathbf{Xw}-mathbf{w}^{mathrm{T}}mathbf{X}^{mathrm{T}}mathbf{Y}-mathbf{Y}^{mathrm{T}}mathbf{Xw}+mathbf{Y}^{mathrm{T}}mathbf{Y}+lambda mathbf{w}^{mathrm{T}}mathbf{w} right)}{partialmathbf{w}}=0 end{aligned} ∂w∂(∥Xw−Y∥22+λ∥w∥22)=∂w∂(wTXTXw−wTXTY−YTXw+YTY+λwTw)=0

∂ ( w T X T X w ) ∂ w = 2 X T X w frac{partialleft(mathbf{w}^{mathrm{T}}mathbf{X}^{mathrm{T}}mathbf{Xw}right)}{partialmathbf{w}}=2mathbf{X}^{mathrm{T}}mathbf{Xw} ∂w∂(wTXTXw)=2XTXw

∂ ( w T X T Y ) ∂ w = X T Y frac{partialleft(mathbf{w}^{mathrm{T}}mathbf{X}^{mathrm{T}}mathbf{Y}right)}{partialmathbf{w}}=mathbf{X}^{mathrm{T}}mathbf{Y} ∂w∂(wTXTY)=XTY

∂ ( Y T X w ) ∂ w = X T Y frac{partialleft(mathbf{Y}^{mathrm{T}}mathbf{X}mathbf{w}right)}{partialmathbf{w}}=mathbf{X}^{mathrm{T}}mathbf{Y} ∂w∂(YTXw)=XTY

∂ ( Y T Y ) ∂ w = 0 frac{partialleft(mathbf{Y}^{mathrm{T}}mathbf{Y}right)}{partialmathbf{w}}=0 ∂w∂(YTY)=0

∂ ( λ w T w ) ∂ w = 2 λ w frac{partialleft(lambda mathbf{w}^{mathrm{T}}mathbf{w}right)}{partialmathbf{w}}=2lambda mathbf{w} ∂w∂(λwTw)=2λw

2 X T X w − X T Y − X T Y + 2 λ w = 0 ⇔ 2 ( X T X w − X T Y + λ w ) = 0 ⇔ X T X w − X T Y + λ w = 0 ⇔ ( X T X + λ I ) w = X T Y ⇔ w = ( X T X + λ I ) − 1 X T Y begin{aligned} &2mathbf{X}^{mathrm{T}}mathbf{Xw}-mathbf{X}^{mathrm{T}}mathbf{Y}-mathbf{X}^{mathrm{T}}mathbf{Y}+2lambda mathbf{w}=0 \ &Leftrightarrow 2(mathbf{X}^{mathrm{T}}mathbf{Xw}-mathbf{X}^{mathrm{T}}mathbf{Y} + lambdamathbf{w})=0 \ &Leftrightarrow mathbf{X}^{mathrm{T}}mathbf{Xw}-mathbf{X}^{mathrm{T}}mathbf{Y} + lambdamathbf{w}=0 \ &Leftrightarrow (mathbf{X}^{mathrm{T}}mathbf{X}+lambda mathbf{I})mathbf{w}=mathbf{X}^{mathrm{T}}mathbf{Y} \ &Leftrightarrow mathbf{w}=(mathbf{X}^{mathrm{T}}mathbf{X}+lambda mathbf{I})^{-1}mathbf{X}^{mathrm{T}}mathbf{Y} end{aligned} 2XTXw−XTY−XTY+2λw=0⇔2(XTXw−XTY+λw)=0⇔XTXw−XTY+λw=0⇔(XTX+λI)w=XTY⇔w=(XTX+λI)−1XTY

自己写一个小例子 ( n = 3 , m = 1 ) (n = 3, m = 1) (n=3,m=1) 来验证最小二乘法.

x x x	y y y
2	10
4	14
6	19
8	?

这里的 x i x_i xi 可以表示为 X = [ x i j ] 3 × 2 mathbf{X}=[x_{ij}]_{3times2} X=[xij]3×2, 即
[ 1 2 1 4 1 6 ] begin{bmatrix}1&2\1&4\1&6 end{bmatrix} ⎣⎡111246⎦⎤

y i y_i yi 则表示为 Y = [ 10 14 19 ] T mathbf{Y} = begin{bmatrix}10&14&19 end{bmatrix}^{mathrm{T}} Y=[101419]T

w = [ a , b ] mathbf{w}=[a, b] w=[a,b]

求：
arg min ⁡ w ∥ X w − Y ∥ 2 2 argmin_{mathbf{w}}|mathbf{Xw}-mathbf{Y}|_2^2 wargmin∥Xw−Y∥22

当 w = [ 2 , 6 ] mathbf{w}=[2, 6] w=[2,6] ,此时 ∥ X w − Y ∥ 2 2 |mathbf{Xw}-mathbf{Y}|_2^2 ∥Xw−Y∥22取得最小值，因此得到 w mathbf{w} w

那么式子为
y = f ( x ) = 2 x + 6 y=f(x)=2x+6 y=f(x)=2x+6
y 4 = f ( 8 ) = 22 y_4=f(8)=22 y4=f(8)=22

原文链接：数学表达式: 从恐惧到单挑 (10. Logistic 回归)

推导

已知：
log ⁡ L ( w ) = ∑ i = 1 n log ⁡ P ( y i ∣ x i ; w ) = ∑ i = 1 n y i log ⁡ P ( y i = 1 ∣ x i ; w ) + ( 1 − y i ) log ⁡ ( 1 − P ( y i = 1 ∣ x i ; w ) ) = ∑ i = 1 n y i log ⁡ P ( y i = 1 ∣ x i ; w ) 1 − P ( y i = 1 ∣ x i ; w ) + log ⁡ ( 1 − P ( y i = 1 ∣ x i ; w ) ) = ∑ i = 1 n y i x i w − log ⁡ ( 1 + e x i w ) begin{aligned} log L(mathbf{w}) &= sum_{i = 1}^n log P(y_i vert mathbf{x}i; mathbf{w}) \& = sum_{i = 1}^n y_i log P(y_i = 1 vert mathbf{x}_i; mathbf{w}) + (1 - y_i) log(1 - P(y_i = 1 vert mathbf{x}i; mathbf{w})) \ & = sum_{i = 1}^n y_i log frac{P(y_i = 1 vert mathbf{x}_i; mathbf{w})}{1 - P(y_i = 1 vert mathbf{x}_i; mathbf{w})} + log (1 - P(y_i = 1 vert mathbf{x}i; mathbf{w})) \ &= sum_{i = 1}^n y_i mathbf{x}_i mathbf{w} - log (1 + e^{mathbf{x}_i mathbf{w}}) end{aligned} logL(w)=i=1∑nlogP(yi∣xi;w)=i=1∑nyilogP(yi=1∣xi;w)+(1−yi)log(1−P(yi=1∣xi;w))=i=1∑nyilog1−P(yi=1∣xi;w)P(yi=1∣xi;w)+log(1−P(yi=1∣xi;w))=i=1∑nyixiw−log(1+exiw)

求：
∂ log ⁡ L ( w ) ∂ w frac{partial log L(mathbf{w})}{partial mathbf{w}} ∂w∂logL(w)

∂ ( y i x i w ) ∂ w = y i x i frac{partialleft(y_i mathbf{x}_i mathbf{w}right)}{partialmathbf{w}}=y_i mathbf{x}_i ∂w∂(yixiw)=yixi

∂ ( log ⁡ ( 1 + e x i w ) ) ∂ w = 1 ( 1 + e x i w ) × ∂ ( e x i w ) ∂ w = 1 ( 1 + e x i w ) × e x i w = e x i w ( 1 + e x i w ) begin{aligned} frac{partialleft( log (1 + e^{mathbf{x}_i mathbf{w}})right)}{partialmathbf{w}}&=frac{1}{(1 + e^{mathbf{x}_i mathbf{w}})}times frac{partialleft(e^{mathbf{x}_i mathbf{w}}right)}{partialmathbf{w}}\ &=frac{1}{(1 + e^{mathbf{x}_i mathbf{w}})}times e^{mathbf{x}_i mathbf{w}}\ &=frac{e^{mathbf{x}_i mathbf{w}}}{(1 + e^{mathbf{x}_i mathbf{w}})} end{aligned} ∂w∂(log(1+exiw))=(1+exiw)1×∂w∂(exiw)=(1+exiw)1×exiw=(1+exiw)exiw

∂ log ⁡ L ( w ) ∂ w = ∑ i = 1 n ∂ ( y i x i w − log ⁡ ( 1 + e x i w ) ) ∂ w = ∑ i = 1 n y i x i − e x i w 1 + e x i w x i = ∑ i = 1 n ( y i − e x i w 1 + e x i w ) x i begin{aligned} frac{partial log L(mathbf{w})}{partial mathbf{w}} &= sum_{i = 1}^n frac{partialleft(y_imathbf{x}_i mathbf{w} - log (1 + e^{mathbf{x}_i mathbf{w}})right)}{partialmathbf{w}} \&= sum_{i = 1}^n y_i mathbf{x}_i - frac{e^{mathbf{x}_i mathbf{w}}}{1 + e^{mathbf{x}_i mathbf{w}}} mathbf{x}i\ & = sum_{i = 1}^n left(y_i - frac{e^{mathbf{x}_i mathbf{w}}}{1 + e^{mathbf{x}_i mathbf{w}}}right) mathbf{x}_iend{aligned} ∂w∂logL(w)=i=1∑n∂w∂(yixiw−log(1+exiw))=i=1∑nyixi−1+exiwexiwxi=i=1∑n(yi−1+exiwexiw)xi

特点：

用于分类(特别是二分类).
运用到了点与直线的距离.
用到了激活函数，比如sigmoid，当前还可以用其它的激活函数.
用到了最大似然.
用到了向量的偏导
用到了梯度下降

第四天

原文链接：数学表达式: 从恐惧到单挑 (11. 图与网络)

定义无向网络.

Definition: A undirected net is a tuple G = ( V , w ) G=(mathbf{V}, w) G=(V,w), where

V mathbf{V} V is the set of nodes;
w w w : V × V → R mathbf{V}timesmathbf{V}tomathbb{R} V×V→R is the weight function where
- w ( ⟨ v i , v j ⟩ ) w(lang v_i,v_jrang) w(⟨vi,vj⟩) is the weight of the arc ⟨ v i , v j ⟩ lang v_i,v_jrang ⟨vi,vj⟩
- w ( ⟨ v i , v j ⟩ ) = w ( ⟨ v j , v i ⟩ ) w(lang v_i,v_jrang) = w(lang v_j,v_irang) w(⟨vi,vj⟩)=w(⟨vj,vi⟩).

原文链接：数学表达式: 从恐惧到单挑 (12. 树)

自己画一棵树, 将其元组各部分写出来 (特别是函数 p p p).

T = ( V , r , p ) T=(mathbf{V},r,p) T=(V,r,p)
V = { v 0 , v 1 , … , v 4 } V={v_0,v_1,dots,v_4} V={v0,v1,…,v4}
r = v 0 r=v_0 r=v0
p ( v 0 ) = ϕ p(v_0)=phi p(v0)=ϕ
p ( v 1 ) = v 0 p_(v_1)=v_0 p(v1)=v0
p ( v 2 ) = v 0 p_(v_2)=v_0 p(v2)=v0
p ( v 3 ) = v 1 p_(v_3)=v_1 p(v3)=v1
p ( v 4 ) = v 2 p_(v_4)=v_2 p(v4)=v2
针对该树, 将代码中的变量值写出来 (特别是 parent 数组).

原文章中的代码：

public class Tree {/*** 节点数. 表示节点 v_0 至 v_{n-1}.*/int n;/*** 根节点. 0 至 n-1.*/int root;/*** 父节点.*/int[] parent;/*** 构造一棵树, 第一个节点为根节点, 其余节点均为其直接子节点, 也均为叶节点.*/public Tree(int paraN) {n = paraN;parent = new int[n];parent[0] = -1; // -1 即 phi}// Of the constructor
}//Of class Tree

变量值如下：

n = 5;
root = 0;
parent = {-1, 0, 0, 1, 2}

原文链接：数学表达式: 从恐惧到单挑 (13. m 叉树)

画一棵三叉树, 并写出它的 child 数组.

child数组：
{ { 1 , 2 , − 1 } , { 3 , 4 , 5 } , { − 1 , − 1 , − 1 } , { − 1 , − 1 , − 1 } , { − 1 , − 1 , − 1 } , { − 1 , − 1 , − 1 } } {{1,2,-1}, {3,4,5},{-1,-1,-1},{-1,-1,-1},{-1,-1,-1},{-1,-1,-1}} {{1,2,−1},{3,4,5},{−1,−1,−1},{−1,−1,−1},{−1,−1,−1},{−1,−1,−1}}
按照本贴风格, 重新定义树. 提示: 还是应该定义 parent 函数, 字母表里面只有一个元素.

Let ϕ phi ϕ be the empty node, a tree is a quadruple T = ( V , r , Σ , p ) T=(mathbf{V},r,Sigma,p) T=(V,r,Σ,p) where

V ≠ ∅ mathbf{V} neq emptyset V=∅ is the set of nodes;
r ∈ V rin mathbf{V} r∈V is the root node;
Σ = { t o p } Sigma={mathrm{top}} Σ={top};
p : V → V ∪ { ϕ } p:mathbf{V}tomathbf{V}cup{phi} p:V→V∪{ϕ} is the parent mapping satisfying
- when v = r v=r v=r, ∃ ! s ∈ Σ exists!sin Sigma ∃!s∈Σ , st. p ( r , s ) = ϕ p(r,s)=phi p(r,s)=ϕ;
- ∀ v ∈ V ， ∃ ! n ≥ 0 forall vin mathbf{V}，exists!ngeq 0 ∀v∈V，∃!n≥0 and ! s ∈ Σ !sin Sigma !s∈Σ, st. p ( n ) ( v , s ) = r p^{(n)}(v,s)=r p(n)(v,s)=r.

说明：

根据图、树、 m m m-叉树的学习, 谈谈你对元组的理解.

我认为元组实际上就是数据与数据关系的一个组合体。

第五天

原文链接：数学表达式: 从恐惧到单挑 (14. 决策表)

定义一个标签分布系统, 即各标签的值不是 0/1, 而是 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1] 区间的实数, 且同一对象的标签和为 1.

Definition. A label distribution system is a tuple S = ( X , Y ) S = (mathbf{X},mathbf{Y}) S=(X,Y) where

X = [ x i j ] n × m ∈ R n × m mathbf{X} = [x_{ij}]_{ntimes m} in mathbb{R}^{ntimes m} X=[xij]n×m∈Rn×m is the data matrix;
Y = [ y i k ] n × l ∈ [ 0 , 1 ] n × l mathbf{Y} = [y_{ik}]_{ntimes l}in [0,1]^{ntimes l} Y=[yik]n×l∈[0,1]n×l is the label matrix, satisfying
- ∀ y i ∈ Y forall y_i in mathbf{Y} ∀yi∈Y, st. ∑ k = 1 l y i k = 1 sum_{k=1}^{l} y_{ik}=1 ∑k=1lyik=1
n n n is the number of instances;
m m m is the number of features;
l l l is the number of labels,

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