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KMP算法中最大公共前后缀长度的理解（逐步分析）

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一、前言

笔者在拜读了网上众多KMP算法后，仍对部分细节存疑，前前后后花了两天时间去消化KMP算法的知识，又历时三天抽出时间整理得出本文。

个人认为，网上在讲KMP时并没有仔细探究最大公共前后缀长度的含义与求法，而是跳步到求next数组、nextval数组等等。虽然现在的我知道本质上是完全一样的，但是对于初学者来说着实不是很友好…

因此本文着重分析如何计算最大公共前后缀长度，在弄懂完这个之后再去理解next和KMPsearch就会觉得相对轻松。

若对你有帮助，欢迎点赞收藏~；若有问题，恳请诸位大佬在评论区指出，定会立即改正！

二、最大公共前后缀长度的理解

1. 一个串的前后缀：

前缀是指以串第一个字符开头且不包含最后一个元素的连续的子串，后缀是指以串最后一个字符结尾且不包含第一个元素的连续的子串(可以为串自身）。

eg.假设设串为ABCDEFGH，则前缀有A,AB,ABC等，后缀有H,GH,FGH等

2. 一个串的公共前后缀：

顾名思义，如果前缀集合与后缀集合中存在一个相同的元素，即存在一个子串，它既可以是前缀也可以是后缀，则称这个子串为该串的公共前后缀。

eg.假设串为AB_CSDN_AB，则公共前后缀有AB

3. 最大公共前后缀长度：

根据2中的分析我们可以得出一个串的公共前后缀，然而公共前后缀不一定只有一个，因此，需要我们寻找最长的公共前后缀，并得到它的长度，称为最大公共前后缀长度。

eg.假设串为ABA_CSDN_ABA，则公共前后缀有A,AB，即最大公共前后缀长度=3 (ABA)

4. 为什么要找最大公共前后缀长度：（逐步分析）

假设文本串是ABA_ABAY_CD，模式串是ABA_ABAX_CD

当我们匹配到文本串的Y，发现与模式串的X不匹配的时候，一般的暴力做法是：令模式串指回头部，令文本串指回原先的头部+1，再重新开始比较

首先我们要理解，匹配的本质是：刷新文本串的某一个位置（可以是一个字符，也可以是一个子串）来作为头部（该头部与模式串的头部相同），直到满足该头部接下来的元素与模式串头部接下来的元素相同

暴力做法是一个字符一个字符地作为头部来遍历文本串

但实际上，我们可以一个子串一个子串（这个子串也可以是一个字符）地作为头部来遍历文本串，这就是KMPSearch

在模式串的X位置之前的子串ABA_ABA中，我们可以找到最大公共前后缀ABA，它对应的长度是k=3，则代表模式串X位置之前的k个元素和模式串的前k个字符是完全相同的

（这里读者要留意一下“模式串X位置之前k个元素”和“模式串的前k个元素”的两个“前”的差别，相信你们可以get到）

而既然已经匹配到Y了，是不是说明文本串Y位置之前的k个元素 == 模式串X位置之前的k个元素 == 模式串的前k个元素

这说明什么？

相当于我们是不是已经找到了一个新的头部，这个头部不就是文本串Y位置之前的k个元素构成的子串，它正好对应模式串的头部

因此，按照先前讲的匹配的本质，我们只需要匹配头部之后的元素，即文本串从Y开始，亦即文本串的头指针不动，模式串从第k个元素开始，即模式串的头指针右移k位，然后再一个个字符判断

之后，我们只要重复上述思想，不断移动模式串的头指针，但保持文本串的头指针不动，即可实现KMP算法。因此我们需要找到模式串每一个位置的最大公共前后缀长度

三、计算最大公共前后缀的长度

1. 声明和初始化

令模式串为char p[length]，声明int类型数组changdu[length]来存储不同位置对应的最大公共前后缀长度

声明两个变量i和k，i用来遍历模式串p，k用来存储最大公共前后缀长度

初始化changdu[0] = 0，因为只有一个字符时，一定没有公共前后缀，因此从i = 1，k=0开始遍历模式串p

每一次循环，刚开始的k是上一个位置对应的最大公共前后缀长度，而第k个位置即是公共前缀的下一个元素

2. p[i] = p[k]

若新添加的元素p[j]等于当前最大公共前缀的后一个元素即p[k]，相当于此时新的后缀与新的前缀又相同了，所以最大公共前后缀多了一个元素，长度加1，即changdu[i] = ++k

3. p[i] != p[k]

若新添加的元素p[j]不等于当前最大公共前缀的后一个元素即p[k]，则原先的公共前后缀被破坏，不再成立

所以，此时需要找到是否存在一个更短的公共前后缀，令原先的公共前后缀为子串s，而新的更短的公共前后缀实际上就是：s+p[i]的公共前后缀，即“公共前后缀的公共前后缀”

因此，更新k值为s的最大公共前后缀长度，即第k-1个位置的最大公共前后缀长度 = changdu[k-1]

4.赋值

因此既然每一次都是寻找公共前后缀，我们只需要不断递归上述步骤

当遇到了p[i] = p[k]的情况，才把当前的k值赋给changdu[i]

当k==0 || k==1时，不需要再继续递归，因为此时可以断定不存在公共前后缀，所以把k=0赋给changdu[i]

四、代码

1. GetChangdu函数

/*
1.k是当前子串的最大公共长度
2.changdu[i]存储的是当前子串0~i所对应的最大公共长度值k 
综上，p[k]则是原本最大公共前后缀中的前缀的后一个元素
*/void GetChangdu(char* p,int changdu[],int length)
{int len = length;changdu[0] = 0;			//只有一个字符即p[0]时，最大公共长度当然为0int i = 1,k = 0;		//因此我们从p[1]开始遍历，并初始化最大公共长度为0 while (i < length){//若新添加的元素p[j]等于当前最大公共前缀的后一个元素p[k]//则相当于此时新的后缀与新的前缀又相同了 //因此直接将当前的k+1赋给changdu[i]即可 if (p[i] == p[k]){changdu[i] = ++k;i++; }//当k值不断缩小为公共前后缀的最大公共长度直到缩小到为1//或者不存在公共前后缀时 //代表此时的串没有公共前后缀，故令changdu[i] = k = 0即可 else if (k == 0){changdu[i] = k;i++; }//若新添加的元素p[j]不等于当前最大公共前缀的后一个元素p[k],则新的后缀与新的前缀不同了 //此时需要找到是否存在一个更短的公共前后缀//相当于是寻找（公共前后缀+新元素）的公共前后缀 //更新k值为最大公共前后缀的最大公共长度即changdu[k-1]，而不再是当前串的最大公共长度 //重复上述流程，就可以找到changdu[i] elsek = changdu[k-1];}   
}

2. GetNext函数：

因为进行KMPSearch时，进行到模式串p的位置i时，向右移动的距离实际上是changdu[i-1]，因此我们只需要将原来的changdu数组右移，并赋值changdu[0] = -1即可

这就是网上大多方法实现next的基本思想

（其实不难得出，可以将GetChangdu和GetNext合二为一，具体的可以参考下面给出的链接，本文只专注于解析GetChangdu）

void GetNext(int *next,int *changdu,int length){int temp[length];for (int i=0;i<length;i++)temp[i] = changdu[i];for (int i=1;i<length;i++)next[i] = temp[i-1];next[0] = -1;
}

3. KMPSearch

int KMPSearch(char* maistr,char* substr,int length1,int length2,int* next){int i=0,j=0;while (i<length1 && j < length2)if (j == -1 || maistr[i] == substr[j]){i++;j++;} elsej = next[j];if (j == length2)return i-length2;else return -1;
}