线性代数学习笔记（十八）——矩阵的秩（一）

线性代数学习笔记（十八）——矩阵的秩（一）

本篇笔记先回顾了k阶子式的定义，并计算各子式的值；然后引出了矩阵秩的定义，即矩阵的秩是非零子式的最高阶数；还通过不同结构图形分类的方式来类比矩阵秩的概念。

1 k k k阶子式

k k k阶子式：给定一个矩阵，任取 k k k行，任取 k k k列，共 k 2 k^2 k2个数构成的行列式。

例如：矩阵 [ 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 4 9 ] begin{bmatrix}1&1&color{red}{1}&color{red}{1}\2&3&color{red}{4}&color{red}{5}\6&1&4&9end{bmatrix} ​126​131​144​159​ ​，取 1 、 2 1、2 1、2行和 3 、 4 3、4 3、4列得到 2 2 2阶子式 ∣ 1 1 4 5 ∣ begin{vmatrix}1&1\4&5end{vmatrix} ​14​15​ ​。

就上述矩阵而言，可以取 1 1 1阶子式，也可以取 2 2 2阶子式，还可以取 3 3 3阶子式，但不能取 4 4 4阶子式，因为最多只有三行。

再如：矩阵 [ 1 1 1 1 2 3 4 5 2 2 2 2 ] begin{bmatrix}1&1&1&1\2&3&4&5\2&2&2&2end{bmatrix} ​122​132​142​152​ ​，
1 1 1阶子式： 1 、 1 、 1 、 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 2 、 2 、 2 、 2 1、1、1、1、2、3、4、5、2、2、2、2 1、1、1、1、2、3、4、5、2、2、2、2；
2 2 2阶子式： ∣ 1 1 2 3 ∣ = 1 、 ∣ 1 1 3 4 ∣ = 1 、 ∣ 1 1 4 5 ∣ = 1 、 ∣ 2 3 2 2 ∣ = − 2 、 ∣ 3 4 2 2 ∣ = − 2 、 ∣ 4 5 2 2 ∣ = − 2 、 ∣ 1 1 2 4 ∣ = 2 、 ∣ 1 1 2 2 ∣ = 0 、 . . . begin{vmatrix}1&1\2&3end{vmatrix}=1、begin{vmatrix}1&1\3&4end{vmatrix}=1、begin{vmatrix}1&1\4&5end{vmatrix}=1、begin{vmatrix}2&3\2&2end{vmatrix}=-2、begin{vmatrix}3&4\2&2end{vmatrix}=-2、begin{vmatrix}4&5\2&2end{vmatrix}=-2、begin{vmatrix}1&1\2&4end{vmatrix}=2、begin{vmatrix}1&1\2&2end{vmatrix}=0、... ​12​13​ ​=1、 ​13​14​ ​=1、 ​14​15​ ​=1、 ​22​32​ ​=−2、 ​32​42​ ​=−2、 ​42​52​ ​=−2、 ​12​14​ ​=2、 ​12​12​ ​=0、...；
3 3 3阶子式： ∣ 1 1 1 2 3 4 2 2 2 ∣ = 0 、 ∣ 1 1 1 3 4 5 2 2 2 ∣ = 0 、 ∣ 1 1 1 2 3 5 2 2 2 ∣ = 0 、 . . . begin{vmatrix}1&1&1\2&3&4\2&2&2end{vmatrix}=0、begin{vmatrix}1&1&1\3&4&5\2&2&2end{vmatrix}=0、begin{vmatrix}1&1&1\2&3&5\2&2&2end{vmatrix}=0、... ​122​132​142​ ​=0、 ​132​142​152​ ​=0、 ​122​132​152​ ​=0、...。

可以发现，因为第一行和第三行成比例，所以不管怎么取，行列式的值均等零。

2 秩的定义

矩阵的秩： 非零子式的最高阶数 color{red}{非零子式的最高阶数} 非零子式的最高阶数。

那到底矩阵的秩的含意是什么？
假如矩阵 [ 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 ] begin{bmatrix}1&1&1&1&1\2&2&2&2&2\3&3&3&3&3end{bmatrix} ​123​123​123​123​123​ ​，很明显所有行都成比例，所以矩阵的非零子式最高为 1 1 1阶。那为什么是 1 1 1阶呢？

其实从矩阵“结构”上来看，后两行都比较多余，因为第二行是第一行的两倍，第三行是第一行的三倍，你会发现这三行之间的信息是有冗余的，也就是说，可以用第一行去表示其他的行。

再比较矩阵 [ 1 1 1 1 0 2 3 4 0 0 0 9 ] begin{bmatrix}1&1&1&1\0&2&3&4\0&0&0&9end{bmatrix} ​100​120​130​149​ ​，该矩阵的三行就不能说用谁来表示谁，三行都缺一不可，其实这个矩阵的秩为 3 3 3，矩阵三行的“结构”比较复杂。

下面用一堆不同结构的图形来类比秩的概念：

□ □ □ , △ △ , ◯ ◯ ∘ ∘ → □ △ ◯ BoxBoxBox,triangletriangle,bigcircbigcirccirccirctoBoxtrianglebigcirc □□□,△△,◯◯∘∘→□△◯，
虽然看起来多，但每堆选一个就可以代表；

□ , △ , ◯ , ☆ , ⬡ , ⬠ Box,triangle,bigcirc,☆,⬡,⬠ □,△,◯,☆,⬡,⬠，
因为每个都不一样，必须每个都留下才能表示。

3 引用

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_2.7 矩阵的秩（一）