高斯消元(and牛顿迭代法)详解及模板

高斯消元(and牛顿迭代法)详解及模板

高斯消元的最主要作用为求解线性方程组，说白了，就是解方程……
解方程还有一种为牛顿迭代法，我们每次枚举一个值 X0 X 0 $X_0$，代入方程看是否为根，不是的话则将 X0 X 0 $X_0$的值变为：
X0=X0−F(X0)/F'(X0) X 0 = X 0 − F ( X 0 ) / F ′ ( X 0 ) $X_0=X_0−F(X_0)/F′(X_0)$（其中 F'(x) F ′ ( x ) $F′(x)$ 为 F(x) F ( x ) $F(x)$的导数）
其证明过程借用了高数中的基本知识泰勒级数，此处不再赘述。
有趣的是，在雷神之锤Ⅲ中,卡马克用牛顿迭代法,令 X0=0x5f3759df X 0 = 0 x 5 f 3759 d f $X_0=0x5f3759df$后求出数字开根后的倒数的速度居然比库函数快4倍!而这个数字也成为了神奇数字

消元的过程就是模拟人手算解方程的过程

其算法过程就2个

1. 代入消元
2. 将算出的值代回，最终求得所有未知数的解
   通俗点，比如说对于这个方程组
   第一个过程是将其中的一个变量消元化为x=num || y=num || z=num的形式，其中num为常数
   第二个过程就是将这个已经求出来的x || y || z带回到原方程组中求出剩余两个未知数点值;

这里我们用矩阵模拟这个消元回代的过程
还是用上面的那个方程做例子

转化为矩阵后为：
其中最后一列为等号右边的值，设从上到下每行依次为R1,R2,R3,从左到右每一列依次为x,y,z的系数;

需要注意的是这里我们要把x最大的放在第一行，这里是为了在进行除法点时候减小误差
现在开始化简：
3*R2-2*R1 ->
3*R3-R1->
R3*(-1)-R2->
到这里已经可消元完毕了，对应式子如下：

然后就是回代求解了，这里就不细说了，解方程大家都会
以下模板来自kuangbin

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<math.h>
using namespace std;
const int MAXN=50;
int a[MAXN][MAXN];//增广矩阵
int x[MAXN];//解集
bool free_x[MAXN];//标记是否是不确定的变元
inline int gcd(int a,int b)
{int t;while(b!=0){t=b;b=a%b;a=t;}return a;
}
inline int lcm(int a,int b)
{return a/gcd(a,b)*b;//先除后乘防溢出
}// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，
//-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)
//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.
int Gauss(int equ,int var)
{int i,j,k;int max_r;// 当前这列绝对值最大的行.int col;//当前处理的列int ta,tb;int LCM;int temp;int free_x_num;int free_index;for(int i=0; i<=var; i++){x[i]=0;free_x[i]=true;}//转换为阶梯阵.col=0; // 当前处理的列for(k = 0; k < equ && col < var; k++,col++){// 枚举当前处理的行.
// 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)max_r=k;for(i=k+1; i<equ; i++){if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;}if(max_r!=k){// 与第k行交换.for(j=k; j<var+1; j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);}if(a[k][col]==0){// 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.k--;continue;}for(i=k+1; i<equ; i++){// 枚举要删去的行.if(a[i][col]!=0){LCM = lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));ta = LCM/abs(a[i][col]);tb = LCM/abs(a[k][col]);if(a[i][col]*a[k][col]<0)tb=-tb;    //异号的情况是相加for(j=col; j<var+1; j++){a[i][j] = a[i][j]*ta-a[k][j]*tb;}}}}// 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).for (i = k; i < equ; i++){// 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.if (a[i][col] != 0) return -1;}// 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.// 且出现的行数即为自由变元的个数.if (k < var){// 首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个.for (i = k - 1; i >= 0; i--){// 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.// 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.for (j = 0; j < var; j++){if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;}if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元.// 说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的.temp = a[i][var];for (j = 0; j < var; j++){if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j];}x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元.free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的.}return var - k; // 自由变元有var - k个.}// 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.// 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.for (i = var - 1; i >= 0; i--){temp = a[i][var];for (j = i + 1; j < var; j++){if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];    //--因为x[i]存的是temp/a[i][i]的值，即是a[i][i]=1时x[i]对应的值}if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解.x[i] = temp / a[i][i];}return 0;
}
int main(void)
{freopen(&#", "r", stdin);freopen(&#","w",stdout);int i, j;int equ,var;while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF){memset(a, 0, sizeof(a));for (i = 0; i < equ; i++){for (j = 0; j < var + 1; j++){scanf("%d", &a[i][j]);}}int free_num = Gauss(equ,var);if (free_num == -1) printf("无解!n");else if (free_num == -2) printf("有浮点数解，无整数解!n");else if (free_num > 0){printf("无穷多解! 自由变元个数为%dn", free_num);for (i = 0; i < var; i++){if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的n", i + 1);else printf("x%d: %dn", i + 1, x[i]);}}else{for (i = 0; i < var; i++){printf("x%d: %dn", i + 1, x[i]);}}printf("n");}return 0;
}

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