常见的八种排序算法

常见的八种排序算法

目录

• 1 排序
• • 1.1 插入排序
  • • 1.1.1 直接插入排序
    • • 基本思想
      • 方法（步骤）
      • 核心代码
      • 直接插入排序特性总结
    • 1.1.2 希尔排序（缩小增量排序）
    • • 基本思想
      • 方法（步骤）
      • 核心代码
      • 希尔排序特性总结
  • 1.2 选择排序
  • • 1.2.1 直接选择排序
    • • 方法（步骤）
      • 核心代码
      • 直接选择排序特性总结
    • 1.2.2 堆排序
    • • 基本思想
      • 方法（步骤）
      • 核心代码
      • 堆排序特性总结
  • 1.3 交换排序
  • • 1.3.1 冒泡排序
    • • 基本思想
      • 方法（步骤）
      • 核心代码
      • 冒泡排序特性总结
    • 1.3.2 快速排序
    • • 基本思想
      • 方法（步骤）
      • 核心代码
      • 快速排序特性总结
  • 1.4 归并排序
  • • 基本思想
    • 方法（步骤）
    • 核心代码
    • 归并排序特性总结
  • 1.5 计数排序（非比较排序）
  • • 基本思想
    • 方法（步骤）
    • 核心代码
    • 计数排序的特性总结
• 2 排序算法复杂度及稳定性分析

1 排序

• 排序：所谓排序，就是使一串记录，按照其中的某个或某些关键字的大小，递增或递减的排列起来的操作。
• 稳定性：假定在待排序的记录序列中，存在多个具有相同的关键字的记录，若经过排序，这些记录的相对次序保持不变，即在原序列中，r[i]=r[j]，且r[i]在r[j]之前，而在排序后的序列中，r[i]仍在r[j]之前，则称这种排序算法是稳定的；否则称为不稳定的。
• 内部排序：数据元素全部放在内存中的排序。
• 外部排序：数据元素太多不能同时放在内存中，根据排序过程的要求不能在内外存之间移动数据的排序。

1.1 插入排序

插入排序是一种简单直观的排序算法，它的基本思想是将待排序的元素逐个插入已排序的序列中，直到所有元素都插入完毕为止。

1.1.1 直接插入排序

基本思想

把待排序的记录按其关键码值的大小逐个插入到一个已经排好序的有序序列中，直到所有的记录插入完为止，得到一个新的有序序列。

方法（步骤）

1. 假设待排序的序列为arr，初始时将arr[0]视为已排序序列，arr[1]到arr[n-1]视为待排序序列。
2. 从第2个元素开始，依次将arr[i]插入已排序序列中的正确位置。将arr[i]与已排序序列中的元素从右往左依次比较，直到找到合适的位置插入。
3. 插入过程中，如果arr[i]小于已排序序列中的某个元素arr[j]，则将arr[j]后移一位，给arr[i]腾出插入位置。
4. 将arr[i]插入到正确位置后，已排序序列的长度增加1，待排序序列的长度减少1。
5. 重复步骤2~4，直到待排序序列为空，即所有元素都插入完毕。

以下是一个实例：

在每次插入过程中，待插入的元素会与已排序序列中的元素进行比较并移动位置，直到找到合适的位置插入。这样，通过逐步插入元素，最终实现了整个序列的排序。

核心代码

void InsertSort(int* a, int n) {// [0,end]有序，把end+1位置的值插入，保持有序for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {int end = i;int tmp = a[end + 1];while (end >= 0) {if (tmp < a[end]) {a[end + 1] = a[end];--end;}else {break;}}a[end + 1] = tmp;}
}

直接插入排序特性总结

1. 元素集合越接近有序，直接插入排序算法的时间效率越高
2. 时间复杂度：O(N^2)
3. 空间复杂度：O(1)，是一种稳定的排序算法
4. 稳定性：稳定

1.1.2 希尔排序（缩小增量排序）

希尔排序法又称缩小增量法。

基本思想

希尔排序是插入排序的一种改进算法，它的基本思想是将待排序的序列按照一定的间隔分组，对每个分组进行插入排序，然后缩小间隔，重复进行插入排序，直到间隔为1，最后进行一次直接插入排序。

方法（步骤）

1. 假设待排序的序列为arr，初始时选择一个间隔gap，将arr按照间隔分成多个子序列。
2. 对每个子序列进行插入排序，即将子序列中的元素逐个插入已排序的序列中的正确位置。
3. 缩小间隔，重复步骤2，直到间隔为1。
4. 最后进行一次直接插入排序，即将整个序列进行插入排序。

希尔排序的关键是选择合适的间隔序列，不同的间隔序列会影响排序的效率。常用的间隔序列有希尔增量序列（gap = gap / 2）、Hibbard增量序列（gap = 2^k - 1）、Sedgewick增量序列等。选择不同的间隔序列会导致不同的时间复杂度和性能表现。

核心代码

void ShellSort(int* a, int n) {int gap = n;while (gap > 1) {gap = gap / 3 + 1;for (int i = 0; i < n - gap; ++i) {int end = i;int tmp = a[end + gap];while (end >= 0){if (tmp < a[end]) {a[end + gap] = a[end];end -= gap;}else {break;}}a[end + gap] = tmp;}}
}

希尔排序特性总结

1. 非稳定性。排序过程中，相同元素可能会交换位置，导致相对顺序发生变化。
2. 原地排序
3. 希尔排序的时间复杂度具有不确定性。其时间复杂度取决于所选择的间隔序列，最坏情况下的时间复杂度为O(n^2)，大多数情况下，时间复杂度等于O(nlogn)或稍微高于O(nlogn)。
4. 适用于中等大小的序列
5. 当gap > 1时都是预排序，目的是让数组更接近于有序。当gap == 1时，数组已经接近有序的了，这样就会很快。整体而言，可以达到优化的效果。

1.2 选择排序

每一次从待排序的元素中选出最小(或最大)的一个元素，存放在序列的起始位置，直到全部待排序的数据元素排完。

1.2.1 直接选择排序

方法（步骤）

• 在元素集合array[i]~array[n-1]中选择关键码最大(小)的数据元素
• 若它不是这组元素中的最后一个（第一个元素），则将它与这组元素中的最后一个（第一个）元素交换
• 在剩余的array[i]~array[n-2]（array[i+1]~array[n-1]集合中，重复上述步骤，直到集合剩余1个元素

核心代码

void SelectSort(int* a, int n) {assert(a);int begin = 0, end = n - 1;while (begin < end){int mini = begin, maxi = begin;for (int i = begin + 1; i <= end; ++i){if (a[i] < a[mini])mini = i;if (a[i] > a[maxi])maxi = i;}Swap(&a[begin], &a[mini]);if (begin == maxi) maxi = mini;Swap(&a[end], &a[maxi]);++begin;--end;}
}

直接选择排序特性总结

1. 时间复杂度：O(N^2)
2. 空间复杂度：O(1)
3. 效率低
4. 稳定性：不稳定

1.2.2 堆排序

基本思想

将待排序数组先建成一个大根堆或小根堆，再堆该堆进行调整交换，end初始为n-1每次选择出堆顶最大（或最小）的数，与end--位置的数交换。

排升序需要建大堆，排降序需要建小堆。

原因是，建大堆时，每次选择堆顶数（即最大数）与end–交换，这样数字就被从最大、次大、三大等顺序被交换到数组末尾开始往前的位置，即是升序排序，建小堆降序排列时同理。

方法（步骤）

1. 对数组进行原地建立大根堆（目标顺序为升序时）或者小根堆（目标顺序为降序时）
2. 对建好的大根堆（小根堆），进行向下调整。
3. 设置一个end指针，初始时end指向数组末尾
4. 由于大根堆（小根堆）堆顶为该堆最大（小）的数，每次将堆顶与end所指位置的数进行交换
5. 交换完毕后将（0，end-1）位置重新进行自上到下调整，并且end–；
6. 重复4、5步骤，直到end为0，调整完毕。

核心代码

void AdjustUp(int* a, int child) 
{int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){if (a[child < a[parent]]) {Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}void AdjustDown(int* a, int size, int parent)
{int child = parent * 2 + 1;while (child < size){if (child + 1 < size && a[child + 1] < a[child]) {++child;}if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}void HeapSort(int* a, int n)
{// 向上调整建堆 O(N*logN) 比向下调整建堆慢//for (int i = 1; i < n; ++i)//{//	AdjustUp(a, i);//}// 向下调整建堆 O(N)for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i){AdjustDown(a, n, i);}int end = n - 1;// O(N*logN)while (end > 0){Swap(&a[0], &a[end]);AdjustDown(a, end, 0);--end;}
}

堆排序特性总结

1. 堆排序为原地排序，空间复杂度为O(1)
2. 具有稳定的时间复杂度，O(nlogn)
3. 稳定性：不稳定
4. 堆排序使用堆进行选数，效率较高

1.3 交换排序

所谓交换，就是根据序列中两个记录键值的比较结果来对换这两个记录在序列中的位置，交换排序的特点是：将键值较大的记录向序列的尾部移动，键值较小的记录向序列的前部移动。

1.3.1 冒泡排序

基本思想

冒泡排序是一种简单的排序算法，其核心思想是通过相邻元素的比较和交换来将最大（或最小）的元素逐渐移动到数组的一端。

方法（步骤）

1. 遍历数组，从第一个元素开始，依次比较相邻的两个元素
2. 如果前一个元素大于（或小于）后一个元素，则交换这两个元素的位置，使较大（或较小）的元素往后移动
3. 继续向后遍历数组，重复上述比较和交换的过程，直到最后一个元素
4. 重复上述步骤，每次遍历数组时，都将最大（或最小）的元素移动到数组的末尾
5. 重复执行上述步骤，直到整个数组有序

核心代码

void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (int i = 0; i < n; ++i){for (int j = 1; j < n-i; ++j){if (a[j - 1] > a[j]) {Swap(&a[i - 1], &a[i]);}}}
}

冒泡排序特性总结

1. 时间复杂度：O(N^2)
2. 空间复杂度：O(1)
3. 稳定性：稳定

1.3.2 快速排序

基本思想

快速排序是Hoare于1962年提出的一种二叉树结构的交换排序方法，其基本思想为：任取待排序元素序列中的某元素作为基准值，按照该排序码将待排序集合分割成两子序列，左子序列中所有元素均小于基准值，右子序列中所有元素均大于基准值，然后最左右子序列重复该过程，直到所有元素都排列在相应位置上为止。

方法（步骤）

1. 选择一个基准元素（pivot），可以是数组中的任意一个元素。
2. 将数组分成两个子数组，小于基准元素的放在左边，大于基准元素的放在右边。这个过程称为分区（partition）。
3. 对左右子数组分别进行递归调用快速排序，直到子数组的长度为1或0，即子数组已经有序。
4. 将左子数组、基准元素、右子数组合并起来，得到完整的有序数组。

核心代码

1. 递归版本快排

// 三数取中
int GetMidIndex(int* a, int begin, int end)
{int mid = (begin + end) / 2;if (a[begin] < a[mid]){if (a[mid] < a[end]){return mid;}else if (a[begin] < a[end]){return end;}else{return begin;}}else // a[begin] > a[mid]){if (a[mid] > a[end]){return mid;}else if (a[begin] < a[end]) {return begin;}else {return end;}}
}// Hoare版本
int PartSort1(int* a, int begin, int end)
{int left = begin, right = end;int keyi = left;while (left < right){// 右边先走，升序找小while (left < right && a[right] >= a[keyi]){--right;}// 左边再走，找大while (left < right && a[left] <= a[keyi]){++left;}Swap(&a[left], &a[right]);}Swap(&a[keyi], &a[left]);keyi = left;return keyi;
}
// 挖坑法
int PartSort2(int* a, int begin, int end)
{int key = a[begin];int piti = begin;while (begin < end){// 右边找小，填到左边的坑里面，这个位置形成新的坑while (begin < end && a[end] >= key){--end;}a[piti] = a[end];piti = end;// 左边找大，填到右边的坑里面，这个位置形成新的坑while (begin < end && a[begin] <= key){++begin;}a[piti] = a[begin];piti = begin;}a[piti] = key;return piti;
}
// 前后指针版本
int PartSort3(int* a, int begin, int end)
{int prev = begin;int cur = begin + 1;int keyi = begin;// 优化：加入三数取中int midi = GetMidIndex(a, begin, end);Swap(&a[keyi], &a[midi]);while (cur <= end){// cur位置的值小于keyi位置值if (a[cur] < a[keyi] && ++prev != cur)Swap(&a[prev], &a[cur]);++cur;}Swap(&a[prev], &a[keyi]);keyi = prev;return keyi;
}// 递归法快排
void QuickSort(int* a, int begin, int end)
{// 区间不存在，或只有一个值需要处理if (begin >= end){return;}int keyi = PartSort3(a, begin, end);// [begin, keyi-1] keyi [keyi+1, end]QuickSort(a, begin, keyi - 1);QuickSort(a, keyi + 1, end);
}

• 小区间优化

// 递归法快排
void QuickSort(int* a, int begin, int end)
{// 区间不存在，或只有一个值需要处理if (begin >= end){return;}// 2. 小区间优化if (end - begin > 10) {int keyi = PartSort3(a, begin, end);// [begin, keyi-1] keyi [keyi+1, end]QuickSort(a, begin, keyi - 1);QuickSort(a, keyi + 1, end);}else{InsertSort(a + begin, end - begin + 1);}
}

2. 非递归版本快排，用栈模拟递归

void QuickSortNonR(int* a, int begin, int end)
{ST st;StackInit(&st);StackPush(&st, end);StackPush(&st, begin);while (!StackEmpty(&st)){int left = StackTop(&st);StackPop(&st);int right = StackTop(&st);StackPop(&st);int keyi = PartSort3(a, left, right);// [left, keyi-1] keyi [keyi+1, right]if (left < keyi - 1){StackPush(&st, keyi - 1);StackPush(&st, left);}if (keyi + 1 < right){StackPush(&st, right);StackPush(&st, keyi);}}StackDestroy(&st);
}

快速排序特性总结

1. 整体综合性能和使用场景都比较好
2. 时间复杂度：O(N*logN)
3. 空间复杂度：O(logN)
4. 稳定性：不稳定
5. 是一种原地排序，使用了分治策略

1.4 归并排序

基本思想

归并排序是一种分治算法，基本思想是将待排序的序列不断划分成两个子序列，直到每个子序列只有一个元素，然后再将这些子序列合并成一个有序的序列。

方法（步骤）

1. 将待排序的数组从中间分成两个子数组，直到每个子数组只包含一个元素。
2. 递归地对每个子数组进行排序，直到排序完成。
3. 合并两个已排序的子数组，生成一个新的已排序的数组。
   • 比较两个子数组的第一个元素，将较小的元素放入新的数组中。
   • 将已放入新数组的元素从原子数组中移除。
   • 重复上述步骤，直到其中一个子数组为空。
   • 将另一个非空的子数组的剩余元素直接放入新数组中。
4. 返回已排序的数组。

核心代码

1. 递归版本归并排序

void _MergeSort(int* a, int begin, int end, int* tmp)
{if (begin >= end)return;int mid = (begin + end) / 2;// [begin, mid] [mid+1, end] 分支递归，让子区间有序_MergeSort(a, begin, mid, tmp);_MergeSort(a, mid+1, end, tmp);// 归并[begin, mid] [mid+1, end]int begin1 = begin, end1 = mid;int begin2 = mid + 1, end2 = end;int i = begin1;while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2){if (a[begin1] < a[begin2]){tmp[i++] = a[begin1++];}else{tmp[i++] = a[begin2++];}}while (begin1 <= end1){tmp[i++] = a[begin1++];}	while (begin2 <= end2){tmp[i++] = a[begin2++];}// 把归并的数据拷贝回原数组memcpy(a + begin, tmp + begin, (end - begin + 1) * sizeof(int));
}void MergeSort(int* a, int n)
{int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);if (tmp == NULL){printf("malloc failn");exit(-1);}_MergeSort(a, 0, n - 1, tmp);free(tmp);
}

2. 非递归版本归并排序

void MergeSortNonR(int* a, int n)
{int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);if (tmp == NULL){printf("malloc failn");exit(-1);}int gap = 1;while (gap < n){for (int i = 0; i < n; i += 2 * gap){// [i, i+gap-1][i+gap, i+2*gap-1]int begin1 = i, end1 = i + gap - 1;int begin2 = i + gap, end2 = i + 2 * gap - 1;if (end1 >= n || begin2 >= n){break;}else if (end2 >= n){end2 = n - 1;}int m = end2 - begin1 + 1;int j = begin1;while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2){if (a[begin1] < a[begin2]){tmp[j++] = a[begin1++];}else{tmp[j++] = a[begin2++];}}while (begin1 <= end1){tmp[j++] = a[begin1++];}while (begin2 <= end2){tmp[j++] = a[begin2++];}memcpy(a + i, tmp + i, sizeof(int) * m);}gap *= 2;}free(tmp);
}

归并排序特性总结

1. 归并的缺点在于需要O(N)的空间复杂度，归并排序的思考更多的是解决在磁盘中的外排序问题。
2. 时间复杂度：O(N*logN)
3. 空间复杂度：O(N)
4. 稳定性：稳定

1.5 计数排序（非比较排序）

基本思想

计数排序又称鸽巢原理，是对哈希直接定址法的变形应用

方法（步骤）

1. 统计相同元素出现次数
2. 根据统计的结果将序列回收到原来的序列中

核心代码

使用相对映射减少空间，也可以比较负数。

void CountSort(int* a, int n)
{int min = a[0], max = a[0];for (int i = 1; i < n; ++i){if (a[i] < min){min = a[i];}if (a[i] > max){max = a[i];}}// 统计次数的数组int range = max - min + 1;int* count = (int*)malloc(sizeof(int) * range);if (count == NULL){printf("malloc failn");exit(-1);}memset(count, 0, sizeof(int) * range);// 统计次数for (int i = 0; i < n; ++i){count[a[i] - min]++;}// 回写排序int j = -1;for (int i = 0; i < range; ++i){// 出现几次回写几个i+minwhile (count[i]--){a[++j] = i + min;}}
}

计数排序的特性总结

1. 计数排序在数据范围集中时，效率很高，但是适用范围及场景有限。
2. 时间复杂度：O(max(range, N))
3. 空间复杂度：O(range)

2 排序算法复杂度及稳定性分析

排序方法	平均情况	最好情况	最坏情况	辅助空间	稳定性
冒泡排序	O(n^2)	O(n)	O(n^2)	O(1)	稳定
简单选择排序	O(n^2)	O(n^2)	O(n^2)	O(1)	不稳定
直接插入排序	O(n^2)	O(n)	O(n^2)	O(1)	稳定
希尔排序	O(nlogn)~O(n^2)	O(n^1.3)	O(n^2)	O(1)	不稳定
堆排序	O(nlogn)	O(nlogn)	O(nlogn)	O(1)	不稳定
归并排序	O(nlogn)	O(nlogn)	O(nlogn)	O(n)	稳定
快速排序	O(nlogn)	O(nlogn)	O(n^2)	O(logn)~O(n)	不稳定
计数排序	O(max(range, N))	O(n)	O(range)	O(range)	稳定