天平秤重问题

天平秤重问题

[问题描述]：
有一只天平和N只砝码，如何设计这N只砝码，才能使这天平能够连续秤出的重量最大？假设砝码的最小单位为1克，秤物时物品放在天平的左边，砝码可以放在右边也可以放在左边，不管放在哪一边只要天平能够平衡就行，物品的重量应是右边砝码总重量减去左边砝码的重量。
输入一个物品的重量，输出其秤重方案。
[分析与算法选择]：
这个问题是从一个经典的数学问题变化而来，这个数学问题的大意是：一个物体重40磅，掉在地上后摔成四片，这四片恰好能够作为砝码连续秤出40磅以内的物品的重量，这四片的重量如何？
（1）如何设计砝码？
我们先不去看单位，直接用数字来描述。因为要能连续秤出一范围内的值，所以首先要有1，从数学上可以知道，N只砝码本身最大能秤的总重就是这N只砝码的重量和，下面就看如何保证连续的数都能秤出了。设这N只砝码的重量分别为W1、W2……Wn，且有W1<=W2<=……<=Wn， W1=1，下面看W2如何设计。
如果W2=1，1、2都能秤出；如果W2=2，1、2、3都能秤出；如果W2=3，1可以秤出（W1）、2可以秤出（W2-W1）、3可以秤出（W2）、4也可以秤出（W1+W2）；如果W2=4，则2不能秤出；所以W2最大为3（=3*W1）。
同理可推出W3最大为9（=3*W2）；
……
Wn最大为3n-1（=3*Wn-1）。
设计方案为这N只砝码重分别为：1、3、9、27、……、3n-1。
（2）如何根据物品重量得到秤重方案？
物品（+砝码） 砝码

因为物品固定放在一连（如左边），只要考虑砝码放的情况。任一个砝码都可能有三种状态：一是跟被秤物品放在一起（如左边），二是不放，三是放在物品另一边（如右边）。最后物品的重量等于所有砝码乘上相应系数的和。这个系数可能是：-1、0、1。

先来看3只砝码时各种重量的称法，如下表所示，其中-1表示砝码放在物品一边、0表示砝码不放进天平、1表示砝码放在物品另一边，如果每一位加1后便只会是0、1、2这3个数字中的一个，所以可以方便地跟三进制数对应起来：

由上表我们可以总结出这样的计算方法：对于给定的物品重量，先确定它最多用到多大的砝码，假定是3^n-1，那么先将这个物品的重量加上1、3、……3^n-1，得到一个数，再对这个数进行除3取余运算，当余数为0时表示相应的砝码跟物品放在一起，余数为1时表示相应的砝码不放，为2时表示放在物品的另一边。