叉积 微分 恒等式

叉积 微分 恒等式

在上一篇文章中介绍了关于平凡点的幂级数解。这一点与泰勒级数实际上是很相似的。而这一篇是关于奇点处的级数解。泰勒级数是不能在奇点处展开的，一个自然而然的想法是使用洛朗展开。

…当然不是这个。依旧是幂级数，和泰勒级数一样的幂级数。有所区别的是在这里要区分一下奇点：

“方程的平凡点总是相似的，方程的奇点却各有各的不同。”——不是列夫·托尔斯泰

---

正文

在区别奇点的不同之前，先来回顾一下什么是微分方程的奇点。（原文照抄上一篇文章）

对于：

方程两边除以

，并重新标记，有：

若

与 都可以在 处泰勒展开，那么就说 是这个微分方程的平凡点。反之， 与 任意一者在 处不能泰勒展开，那么这个点就是奇点。

微分方程奇点的区分

与 任意一者在 处不能泰勒展开，那就是奇点。那现在对奇点的区分，有：

令：

若

, 在 处都可以泰勒展开。则称这个奇点 是规则奇点（也叫“正则奇点”、“正则奇异点”，在文章中统一称呼“规则奇点”）。反之，若 , 依旧不能在 处展开，那么这个奇点就称作不规则奇点。

显然，这个定义是关于二阶微分方程的。对于三阶微分方程读者可以自己考虑一下如何推广。

若

与 都是有理函数，那么直观的说就是 可以“承受” 的奇点，而 可以“承受” 的奇点。这样能够被“承受住”的奇点就是规则奇点。

例：

可以得到

都是微分方程的奇点。现在区分分别是什么奇点：

关于

：

，这是 的；

，这是 的。

与 都能“承受”住这样的奇点。因此 是规则奇点。

在上面的分析也显然可以看见

是不规则奇点。因为 中含有 ，是其“不能承受之重”（乘上 之后依旧不能在此泰勒展开）。因此 是不规则奇点。

微分方程在规则奇点处的解

就像关于平凡点的解那样，此之前总得有一个定理作为保证。

（弗罗贝尼乌斯定理：）

微分方程在

这一规则奇点处求级数解，则 至少存在一个如下形式的级数解：

其中

是一个待定常数。（收敛性？就是 ,你问我 是什么？我不知道，书上没给/捂脸）需要注意的是，这里是“ 至少”有这样的一个解。实际上就会有两种情况：能够求出两个这样的级数解，只能够求出一个这样的级数解。

先不考虑那么多，先看怎么求解。

求解的话，就像平凡点那样代入对比系数就可以了。不过现在代入的是：

（当然默认是在

处的规则零点了） 上面需要注意的是， 的幂次不再是从零次开始，那么求导后求和符号下面就不需要变起始点（反正一开始我这里就错了）。

在操作上与关于平凡点有所不同的是，代入微分方程之后，要做的除了对比系数得到递推公式之外，还得确定

的值。实际上应当先确定 的值。不过比较显然一点的是，若求出的 不是非负整数值，那么这就不是我们之前想要的“幂级数”了。

例：

令

,则 : ; 代入则有：

对比系数就有：

在关于平凡点求解的时候，最前面的那个式子总是关于

的关系。现在显然情况变了。可以明确的是 不应当取 ，否则由后面的递推关系总有 ，这样的平凡解求得是没什么意义的。因此需要的是

将二者分别代入则有：

代入

,则：

代入

,则：

则由

的递推式有：

由

的递推式有：

这又出现了没见过的情况。即使是在前文三项递推的时候都还是（自动）分出了

和 。但是现在却只出现了一个 ？

不过不用考虑

的问题，在上一篇文章就说过，需要求出来的那两个线性无关的解。 和 只是拿来“分”出来这两个解罢了。因为若分离出 的级数是微分方程的解，那么这个解的常数倍依然是解。

而现在，

与 已经很明确的将这两个解区分开来了（乘上 之后连幂次都不一样，区分得已经很明显了）。那么也就不需要通过常数 和 来区分了。

于是，直接的就有：

由比值检验法可以知道

在 上收敛。并且很明显的没有谁是谁的常数倍，因此它们也是线性无关的。那么由叠加原理就有：

指标方程

前面弗罗贝尼乌斯定理里面指出只是至少有一个级数解。当时没有考虑那么多，现在得开始考虑了。

上面作为例子的那个方程比较幸运，有两个级数解，因此很简单的就求了出来。但不是每个方程都是这样。比如一个很简单的方程：

，像上面一样代入级数可求得： 与 。但是通过这两个不同的 却只能求得同一个、相同的级数：

那么，什么时候只能求得一个级数解？这种时候又该怎么求出另外一个线性无关解？

实际上这个问题的解决与上面那个小标题无关。不过还请从这里开始。

从上面的例子可以看见，在化简并对比系数的时候，最左边的项被用来确定

的值。也就是最小次数的项被用于确定 。把这个项的系数拿出来，就是指标方程。

若

是规则奇点，则：

就消去了这个规则奇点。并且

与 在 处是可展开的。若有：

那么代入

,取最低次项对比次数即有（具体过程就不放上来了）：

而

实际上是 在 处的函数值。那么就有：

这就是指标方程。

指标方程可以在不代入求解的情况下知道

的具体值。如果再加上后文的方法，就可以在带入之前就知道这个微分方程能够求得几个（关于规则奇点的）级数解。（不过并没有什么用，毕竟最后都得代进去求解）

可见指标方程是二次的，这就表明了它可能会有复数解。不过“这里将忽略最后一种情况（像大多数读者会做的那样）^[1]”（皮一下相当开心）

由于指标方程是二次的，那么必然会有两个解

， 的不同，会带来三种不同的情况。若假设 ,有：

Ⅰ、

即两根的差不是整数的情况。这种情况下一定可得到两个不同的级数解

.那么有：

Ⅱ、

即两根的差是正整数的情况。在这种情况下可以得到：

其中

是一个常数，其值可为 。

这种情况的意思就是，我们并不能事先由

判断出代入级数后能够求出什么。或许可以得到两个级数解，也就是后者 的情况；或许只能得到一个级数解，也就是后者 的情况。由于 的时候后者含有 ，那么是不能通过级数的方式求得的，因此只能得到一个级数解，另一个则无法求得。

Ⅲ、

在这种情况下总有：

可以看到，与上面不同的是，

不见了，并且 的级数求和下标是从 开始。 不见了预示着通过级数求解就只能求得一个级数解。而下标从 开始并没有什么启发性的东西。毕竟我们也不能求得它。

那么在只能求得一个级数解的时候，另一个解是否就无能为力？

显然不是。对于二阶微分方程来说，求得一个（非平凡）解实际上也就求得了全部解。由于假设

与 是线性无关的，那么它们的商不会是一个常数。那么可以设： 代入，进行一些计算就可以得到：

那么微分方程的通解就有：

不过像后面用已知的级数特解和积分来求另一个特解，手动计算的话是很困难的。毕竟涉及了级数的平方和倒数。

微分方程在不规则奇点处的解

可能无法求得任何形如

的解。（再皮一下…结束了）

最后一点附注

1、若是真正要求关于规则零点解的话最好还是以

的形式求解，而非 的形式。也就是说，把 和 的分母去掉。

2、当

时（不确定的情况）。可以尝试先将较小的 代入。（只是 先尝试！）

参考

1. ^(美) Richard Haberman著.Applied Partial Differential Equations with Fourier Series and Boundary Value Problem (Fourth Edition).郇中丹等译.北京：机械工业出版社，2007.2:27