在这篇文章中我们将介绍线性代数中的基本数学对象、算术和运算，并用数学符号和相应的代码实现来表示它们。
(标量由只有一个元素的张量表示)。
在下面的代码中，我们实例化两个标量，并执行一些熟悉的算术运算，即加法、乘法、除法和指数。
import torchx = sor(3.0)
y = sor(2.0)x + y, x * y, x / y, x**y
(tensor(5.), tensor(6.), tensor(1.5000), tensor(9.))
[你可以将向量视为标量值组成的列表]。
我们通过一维张量处理向量。一般来说，张量可以具有任意长度，取决于机器的内存限制。
x = torch.arange(4)
x
tensor([0, 1, 2, 3])
在数学中，向量 x mathbf{x} x可以写为：
x = [ x 1 x 2 ⋮ x n ] , mathbf{x} =begin{bmatrix}x_{1} \x_{2} \ vdots \x_{n}end{bmatrix}, x=⎣⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xn⎦⎥⎥⎥⎤,
其中 x 1 , … , x n x_1,ldots,x_n x1,…,xn是向量的元素。在代码中，我们(通过张量的索引来访问任一元素)。
x[3]
tensor(3)
[访问张量的长度]。
len(x)
4
(只有一个轴的张量，形状只有一个元素。)
x.shape
torch.Size([4])
维度（dimension）这个词在不同上下文时往往会有不同的含义
向量或轴的维度被用来表示向量或轴的长度，即向量或轴的元素数量。
张量的维度用来表示张量具有的轴数。
在这个意义上，张量的某个轴的维数就是这个轴的长度
在数学表示法中，我们使用 A ∈ R m × n mathbf{A} in mathbb{R}^{m times n} A∈Rm×n
来表示矩阵 A mathbf{A} A，其由 m m m行和 n n n列的实值标量组成。
我们可以将任意矩阵 A ∈ R m × n mathbf{A} in mathbb{R}^{m times n} A∈Rm×n视为一个表格，
其中每个元素 a i j a_{ij} aij属于第 i i i行第 j j j列：
A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ] . mathbf{A}=begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \ vdots & vdots & ddots & vdots \ a_{m1} & a_{m2} & cdots & a_{mn} \ end{bmatrix}. A=⎣⎢⎢⎢⎡a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn⎦⎥⎥⎥⎤.
对于任意 A ∈ R m × n mathbf{A} in mathbb{R}^{m times n} A∈Rm×n，
A mathbf{A} A的形状是（ m m m, n n n）或 m × n m times n m×n。
当矩阵具有相同数量的行和列时，其形状将变为正方形；
因此，它被称为方阵（square matrix）。
A = torch.arange(20).reshape(5, 4)
A
tensor([[ 0, 1, 2, 3],[ 4, 5, 6, 7],[ 8, 9, 10, 11],[12, 13, 14, 15],[16, 17, 18, 19]])
当我们交换矩阵的行和列时，结果称为矩阵的转置（transpose）。
我们用 a ⊤ mathbf{a}^top a⊤来表示矩阵的转置，如果 B = A ⊤ mathbf{B}=mathbf{A}^top B=A⊤，
则对于任意 i i i和 j j j，都有 b i j = a j i b_{ij}=a_{ji} bij=aji。
A ⊤ = [ a 11 a 21 … a m 1 a 12 a 22 … a m 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a 1 n a 2 n … a m n ] . mathbf{A}^top = begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & dots & a_{m1} \ a_{12} & a_{22} & dots & a_{m2} \ vdots & vdots & ddots & vdots \ a_{1n} & a_{2n} & dots & a_{mn} end{bmatrix}. A⊤=⎣⎢⎢⎢⎡a11a12⋮a1na21a22⋮a2n……⋱…am1am2⋮amn⎦⎥⎥⎥⎤.
A.T
tensor([[ 0, 4, 8, 12, 16],[ 1, 5, 9, 13, 17],[ 2, 6, 10, 14, 18],[ 3, 7, 11, 15, 19]])
作为方阵的一种特殊类型，[对称矩阵（symmetric matrix） A mathbf{A} A等于其转置： A = A ⊤ mathbf{A} = mathbf{A}^top A=A⊤]。
这里我们定义一个对称矩阵 B mathbf{B} B：
B = sor([[1, 2, 3], [2, 0, 4], [3, 4, 5]])
B
tensor([[1, 2, 3],[2, 0, 4],[3, 4, 5]])
现在我们将B与它的转置进行比较。
B == B.T
tensor([[True, True, True],[True, True, True],[True, True, True]])
[就像向量是标量的推广，矩阵是向量的推广一样，我们可以构建具有更多轴的数据结构]。
张量为我们提供了描述具有任意数量轴的 n n n维数组的通用方法。
例如，向量是一阶张量，矩阵是二阶张量。
当我们开始处理图像时，张量将变得更加重要，图像以 n n n维数组形式出现，
其中3个轴对应于高度、宽度，以及一个通道（channel）轴，
用于表示颜色通道（红色、绿色和蓝色）。
X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
X
tensor([[[ 0, 1, 2, 3],[ 4, 5, 6, 7],[ 8, 9, 10, 11]],[[12, 13, 14, 15],[16, 17, 18, 19],[20, 21, 22, 23]]])
例如，将两个相同形状的矩阵相加，会在这两个矩阵上执行元素加法。
A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
B = A.clone() # 通过分配新内存，将A的一个副本分配给B
A, A + B
(tensor([[ 0., 1., 2., 3.],[ 4., 5., 6., 7.],[ 8., 9., 10., 11.],[12., 13., 14., 15.],[16., 17., 18., 19.]]),tensor([[ 0., 2., 4., 6.],[ 8., 10., 12., 14.],[16., 18., 20., 22.],[24., 26., 28., 30.],[32., 34., 36., 38.]]))
[两个矩阵的按元素乘法称为Hadamard积（Hadamard product）（数学符号 ⊙ odot ⊙）]。
对于矩阵 B ∈ R m × n mathbf{B} in mathbb{R}^{m times n} B∈Rm×n，
其中第 i i i行和第 j j j列的元素是 b i j b_{ij} bij。
矩阵 A mathbf{A} A和 B mathbf{B} B的Hadamard积为：
A ⊙ B = [ a 11 b 11 a 12 b 12 … a 1 n b 1 n a 21 b 21 a 22 b 22 … a 2 n b 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 b m 1 a m 2 b m 2 … a m n b m n ] . mathbf{A} odot mathbf{B} = begin{bmatrix} a_{11} b_{11} & a_{12} b_{12} & dots & a_{1n} b_{1n} \ a_{21} b_{21} & a_{22} b_{22} & dots & a_{2n} b_{2n} \ vdots & vdots & ddots & vdots \ a_{m1} b_{m1} & a_{m2} b_{m2} & dots & a_{mn} b_{mn} end{bmatrix}. A⊙B=⎣⎢⎢⎢⎡a11b11a21b21⋮am1bm1a12b12a22b22⋮am2bm2……⋱…a1nb1na2nb2n⋮amnbmn⎦⎥⎥⎥⎤.
A * B
tensor([[ 0., 1., 4., 9.],[ 16., 25., 36., 49.],[ 64., 81., 100., 121.],[144., 169., 196., 225.],[256., 289., 324., 361.]])
将张量乘以或加上一个标量不会改变张量的形状，其中张量的每个元素都将与标量相加或相乘。
a = 2
X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
a + X, (a * X).shape
(tensor([[[ 2, 3, 4, 5],[ 6, 7, 8, 9],[10, 11, 12, 13]],[[14, 15, 16, 17],[18, 19, 20, 21],[22, 23, 24, 25]]]),torch.Size([2, 3, 4]))
在数学表示法中，我们使用 ∑ sum ∑符号表示求和。
为了表示长度为 d d d的向量中元素的总和，可以记为 ∑ i = 1 d x i sum_{i=1}^dx_i ∑i=1dxi。
在代码中，我们可以调用计算求和的函数：
x = torch.arange(4, dtype=torch.float32)
x, x.sum()
(tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor(6.))
我们可以(表示任意形状张量的元素和)。
例如，矩阵 A mathbf{A} A中元素的和可以记为 ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i j sum_{i=1}^{m} sum_{j=1}^{n} a_{ij} ∑i=1m∑j=1naij。
A.shape, A.sum()
(torch.Size([5, 4]), tensor(190.))
默认情况下，调用求和函数会沿所有的轴降低张量的维度，使它变为一个标量。
以矩阵为例
指定axis=0将通过求和所有行的元素来降维（轴0）。因此输入轴0的维数在输出形状中消失。
A_sum_axis0 = A.sum(axis=0)
A_sum_axis0, A_sum_axis0.shape
(tensor([40., 45., 50., 55.]), torch.Size([4]))
指定axis=1将通过汇总所有列的元素降维（轴1）。因此，输入轴1的维数在输出形状中消失。
A_sum_axis1 = A.sum(axis=1)
A_sum_axis1, A_sum_axis1.shape
(tensor([ 6., 22., 38., 54., 70.]), torch.Size([5]))
沿着行和列对矩阵求和，等价于对矩阵的所有元素进行求和。
A.sum(axis=[0, 1]) # Same as `A.sum()`
tensor(190.)
[一个与求和相关的量是平均值（mean或average）]。
我们通过将总和除以元素总数来计算平均值。
在代码中，我们可以调用函数来计算任意形状张量的平均值。
A.mean(), A.sum() / A.numel()
(tensor(9.5000), tensor(9.5000))
同样，计算平均值的函数也可以沿指定轴降低张量的维度。
A.mean(axis=0), A.sum(axis=0) / A.shape[0]
(tensor([ 8., 9., 10., 11.]), tensor([ 8., 9., 10., 11.]))
在调用函数来[计算总和或均值时保持轴数不变]会很有用。
sum_A = A.sum(axis=1, keepdims=True)
sum_A
tensor([[ 6.],[22.],[38.],[54.],[70.]])
例如，由于sum_A在对每行进行求和后仍保持两个轴，我们可以(通过广播将A除以sum_A)。
A / sum_A
tensor([[0.0000, 0.1667, 0.3333, 0.5000],[0.1818, 0.2273, 0.2727, 0.3182],[0.2105, 0.2368, 0.2632, 0.2895],[0.2222, 0.2407, 0.2593, 0.2778],[0.2286, 0.2429, 0.2571, 0.2714]])
如果我们想沿[某个轴计算A元素的累积总和]，
比如axis=0（按行计算），我们可以调用cumsum函数。
此函数不会沿任何轴降低输入张量的维度。
A.cumsum(axis=0)
tensor([[ 0., 1., 2., 3.],[ 4., 6., 8., 10.],[12., 15., 18., 21.],[24., 28., 32., 36.],[40., 45., 50., 55.]])
给定两个向量 x , y ∈ R d mathbf{x},mathbf{y}inmathbb{R}^d x,y∈Rd，它们的点积（dot product） x ⊤ y mathbf{x}^topmathbf{y} x⊤y（或 ⟨ x , y ⟩ langlemathbf{x},mathbf{y}rangle ⟨x,y⟩）是相同位置的按元素乘积的和： x ⊤ y = ∑ i = 1 d x i y i mathbf{x}^top mathbf{y} = sum_{i=1}^{d} x_i y_i x⊤y=∑i=1dxiyi。
x = torch.arange(4, dtype=torch.float32)
y = s(4, dtype = torch.float32)
x, y, torch.dot(x, y)
(tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor([1., 1., 1., 1.]), tensor(6.))
注意，(我们可以通过执行按元素乘法，然后进行求和来表示两个向量的点积)：
torch.sum(x * y)
tensor(6.)
矩阵 A ∈ R m × n mathbf{A} in mathbb{R}^{m times n} A∈Rm×n和向量 x ∈ R n mathbf{x} in mathbb{R}^n x∈Rn。
让我们将矩阵 A mathbf{A} A用它的行向量表示：
A = [ a 1 ⊤ a 2 ⊤ ⋮ a m ⊤ ] , mathbf{A}= begin{bmatrix} mathbf{a}^top_{1} \ mathbf{a}^top_{2} \ vdots \ mathbf{a}^top_m \ end{bmatrix}, A=⎣⎢⎢⎢⎡a1⊤a2⊤⋮am⊤⎦⎥⎥⎥⎤,
其中每个 a i ⊤ ∈ R n mathbf{a}^top_{i} in mathbb{R}^n ai⊤∈Rn都是行向量，表示矩阵的第 i i i行。
[矩阵向量积 A x mathbf{A}mathbf{x} Ax是一个长度为 m m m的列向量，
其第 i i i个元素是点积 a i ⊤ x mathbf{a}^top_i mathbf{x} ai⊤x]：
A = [ a 1 ⊤ a 2 ⊤ ⋮ a m ⊤ ] A x = [ a 1 ⊤ x a 2 ⊤ x ⋮ a m ⊤ x ] . mathbf{A} = begin{bmatrix} mathbf{a}^top_{1} \ mathbf{a}^top_{2} \ vdots \ mathbf{a}^top_m \ end{bmatrix}mathbf{Ax} = begin{bmatrix} mathbf{a}^top_{1} mathbf{x} \ mathbf{a}^top_{2} mathbf{x} \ vdots\ mathbf{a}^top_{m} mathbf{x}\ end{bmatrix}. A=⎣⎢⎢⎢⎡a1⊤a2⊤⋮am⊤⎦⎥⎥⎥⎤Ax=⎣⎢⎢⎢⎡a1⊤xa2⊤x⋮am⊤x⎦⎥⎥⎥⎤.
我们可以把一个矩阵 A ∈ R m × n mathbf{A} in mathbb{R}^{m times n} A∈Rm×n乘法看作是一个从 R n mathbb{R}^{n} Rn到 R m mathbb{R}^{m} Rm向量的转换。
这些转换是非常有用的。例如，我们可以用方阵的乘法来表示旋转。
在代码中使用张量表示矩阵-向量积，我们使用与点积相同的mv函数。
当我们为矩阵A和向量x调用torch.mv(A, x)时，会执行矩阵-向量积。
注意，A的列维数（沿轴1的长度）必须与x的维数（其长度）相同。
A.shape, x.shape, torch.mv(A, x)
(torch.Size([5, 4]), torch.Size([4]), tensor([ 14., 38., 62., 86., 110.]))
假设我们有两个矩阵 A ∈ R n × k mathbf{A} in mathbb{R}^{n times k} A∈Rn×k和 B ∈ R k × m mathbf{B} in mathbb{R}^{k times m} B∈Rk×m：
A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 k a 21 a 22 ⋯ a 2 k ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n k ] , B = [ b 11 b 12 ⋯ b 1 m b 21 b 22 ⋯ b 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b k 1 b k 2 ⋯ b k m ] . mathbf{A}=begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1k} \ a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2k} \ vdots & vdots & ddots & vdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nk} \ end{bmatrix},quad mathbf{B}=begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & cdots & b_{1m} \ b_{21} & b_{22} & cdots & b_{2m} \ vdots & vdots & ddots & vdots \ b_{k1} & b_{k2} & cdots & b_{km} \ end{bmatrix}. A=⎣⎢⎢⎢⎡a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1ka2k⋮ank⎦⎥⎥⎥⎤,B=⎣⎢⎢⎢⎡b11b21⋮bk1b12b22⋮bk2⋯⋯⋱⋯b1mb2m⋮bkm⎦⎥⎥⎥⎤.
用行向量 a i ⊤ ∈ R k mathbf{a}^top_{i} in mathbb{R}^k ai⊤∈Rk表示矩阵 A mathbf{A} A的第 i i i行，并让列向量 b j ∈ R k mathbf{b}_{j} in mathbb{R}^k bj∈Rk作为矩阵 B mathbf{B} B的第 j j j列。要生成矩阵积 C = A B mathbf{C} = mathbf{A}mathbf{B} C=AB，最简单的方法是考虑 A mathbf{A} A的行向量和 B mathbf{B} B的列向量:
A = [ a 1 ⊤ a 2 ⊤ ⋮ a n ⊤ ] , B = [ b 1 b 2 ⋯ b m ] . mathbf{A}= begin{bmatrix} mathbf{a}^top_{1} \ mathbf{a}^top_{2} \ vdots \ mathbf{a}^top_n \ end{bmatrix}, quad mathbf{B}=begin{bmatrix} mathbf{b}_{1} & mathbf{b}_{2} & cdots & mathbf{b}_{m} \ end{bmatrix}. A=⎣⎢⎢⎢⎡a1⊤a2⊤⋮an⊤⎦⎥⎥⎥⎤,B=[b1b2⋯bm].
当我们简单地将每个元素 c i j c_{ij} cij计算为点积 a i ⊤ b j mathbf{a}^top_i mathbf{b}_j ai⊤bj:
C = A B = [ a 1 ⊤ a 2 ⊤ ⋮ a n ⊤ ] [ b 1 b 2 ⋯ b m ] = [ a 1 ⊤ b 1 a 1 ⊤ b 2 ⋯ a 1 ⊤ b m a 2 ⊤ b 1 a 2 ⊤ b 2 ⋯ a 2 ⊤ b m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n ⊤ b 1 a n ⊤ b 2 ⋯ a n ⊤ b m ] . mathbf{C} = mathbf{AB} = begin{bmatrix} mathbf{a}^top_{1} \ mathbf{a}^top_{2} \ vdots \ mathbf{a}^top_n \ end{bmatrix} begin{bmatrix} mathbf{b}_{1} & mathbf{b}_{2} & cdots & mathbf{b}_{m} \ end{bmatrix} = begin{bmatrix} mathbf{a}^top_{1} mathbf{b}_1 & mathbf{a}^top_{1}mathbf{b}_2& cdots & mathbf{a}^top_{1} mathbf{b}_m \ mathbf{a}^top_{2}mathbf{b}_1 & mathbf{a}^top_{2} mathbf{b}_2 & cdots & mathbf{a}^top_{2} mathbf{b}_m \ vdots & vdots & ddots &vdots\ mathbf{a}^top_{n} mathbf{b}_1 & mathbf{a}^top_{n}mathbf{b}_2& cdots& mathbf{a}^top_{n} mathbf{b}_m end{bmatrix}. C=AB=⎣⎢⎢⎢⎡a1⊤a2⊤⋮an⊤⎦⎥⎥⎥⎤[b1b2⋯bm]=⎣⎢⎢⎢⎡a1⊤b1a2⊤b1⋮an⊤b1a1⊤b2a2⊤b2⋮an⊤b2⋯⋯⋱⋯a1⊤bma2⊤bm⋮an⊤bm⎦⎥⎥⎥⎤.
[我们可以将矩阵-矩阵乘法 A B mathbf{AB} AB看作是简单地执行 m m m次矩阵-向量积，并将结果拼接在一起，形成一个 n × m n times m n×m矩阵]。
在下面的代码中，我们在A和B上执行矩阵乘法。
这里的A是一个5行4列的矩阵，B是一个4行3列的矩阵。
两者相乘后，我们得到了一个5行3列的矩阵。
B = s(4, 3)
(A, B)
tensor([[ 6., 6., 6.],[22., 22., 22.],[38., 38., 38.],[54., 54., 54.],[70., 70., 70.]])
矩阵-矩阵乘法可以简单地称为矩阵乘法，不应与"Hadamard积"混淆。
在线性代数中，向量范数是将向量映射到标量的函数 f f f。
给定任意向量 x mathbf{x} x，向量范数要满足一些属性。
第一个性质是：如果我们按常数因子 α alpha α缩放向量的所有元素，
其范数也会按相同常数因子的绝对值缩放：
f ( α x ) = ∣ α ∣ f ( x ) . f(alpha mathbf{x}) = |alpha| f(mathbf{x}). f(αx)=∣α∣f(x).
第二个性质是我们熟悉的三角不等式:
f ( x + y ) ≤ f ( x ) + f ( y ) . f(mathbf{x} + mathbf{y}) leq f(mathbf{x}) + f(mathbf{y}). f(x+y)≤f(x)+f(y).
第三个性质简单地说范数必须是非负的:
f ( x ) ≥ 0. f(mathbf{x}) geq 0. f(x)≥0.
这是有道理的。因为在大多数情况下，任何东西的最小的大小是0。
最后一个性质要求范数最小为0，当且仅当向量全由0组成。
∀ i , [ x ] i = 0 ⇔ f ( x ) = 0. forall i, [mathbf{x}]_i = 0 Leftrightarrow f(mathbf{x})=0. ∀i,[x]i=0⇔f(x)=0.
事实上，欧几里得距离是一个 L 2 L_2 L2范数：
假设 n n n维向量 x mathbf{x} x中的元素是 x 1 , … , x n x_1,ldots,x_n x1,…,xn，其[ L 2 L_2 L2范数是向量元素平方和的平方根：]
( ∥ x ∥ 2 = ∑ i = 1 n x i 2 , |mathbf{x}|_2 = sqrt{sum_{i=1}^n x_i^2}, ∥x∥2=i=1∑nxi2 ,)
其中，在 L 2 L_2 L2范数中常常省略下标 2 2 2，也就是说 ∥ x ∥ |mathbf{x}| ∥x∥等同于 ∥ x ∥ 2 |mathbf{x}|_2 ∥x∥2。
u = sor([3.0, -4.0])
(u)
tensor(5.)
在深度学习中，我们更经常地使用 L 2 L_2 L2范数的平方。
你还会经常遇到[ L 1 L_1 L1范数，它表示为向量元素的绝对值之和：]
( ∥ x ∥ 1 = ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ . |mathbf{x}|_1 = sum_{i=1}^n left|x_i right|. ∥x∥1=i=1∑n∣xi∣.)
与 L 2 L_2 L2范数相比， L 1 L_1 L1范数受异常值的影响较小。
为了计算 L 1 L_1 L1范数，我们将绝对值函数和按元素求和组合起来。
torch.abs(u).sum()
tensor(7.)
L 2 L_2 L2范数和 L 1 L_1 L1范数都是更一般的 L p L_p Lp范数的特例：
∥ x ∥ p = ( ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ p ) 1 / p . |mathbf{x}|_p = left(sum_{i=1}^n left|x_i right|^p right)^{1/p}. ∥x∥p=(i=1∑n∣xi∣p)1/p.
类似于向量的 L 2 L_2 L2范数，[矩阵] X ∈ R m × n mathbf{X} in mathbb{R}^{m times n} X∈Rm×n(的弗罗贝尼乌斯Frobenius范数（Frobenius norm）是矩阵元素平方和的平方根：)
( ∥ X ∥ F = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n x i j 2 . |mathbf{X}|_F = sqrt{sum_{i=1}^m sum_{j=1}^n x_{ij}^2}. ∥X∥F=i=1∑mj=1∑nxij2 .)
Frobenius范数满足向量范数的所有性质，它就像是矩阵形向量的 L 2 L_2 L2范数。
调用以下函数将计算矩阵的Frobenius范数。
(s((4, 9)))
tensor(6.)
在深度学习中，我们经常试图解决优化问题：
最大化分配给观测数据的概率;
最小化预测和真实观测之间的距离。
用向量表示物品（如单词、产品或新闻文章），以便最小化相似项目之间的距离，最大化不同项目之间的距离。
目标，或许是深度学习算法最重要的组成部分（除了数据），通常被表达为范数。
定义：
设P 是一个 m×n 的 (0,1) 矩阵，如 m≤n且 PxPt=E，则称 P为一个 m×n的置换矩阵。其中Pt是P的转置矩阵，E是m阶单位方阵。
判定条件：
定理 1 当 m≦n时，一个 m×n 的(0,1) 矩阵P为置换矩阵的充要条件是P的每一行恰有一个 1，每一列恰有一个 1。
说明：
1.每个n元置换都对应着唯一的一个置换矩阵。
2.置换矩阵也可以定义为单位矩阵的某些行和列交换后得到的矩阵。
3.一个置换矩阵必然是正交矩阵（如果AA T ^T T=E（E为单位矩阵，A T ^T T表示"矩阵A的转置矩阵"）或A T ^T TA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。）
4.一个矩阵或向量左乘一个置换矩阵，交换的是该矩阵或向量的行;
5.一个矩阵或向量右乘一个置换矩阵，交换的是该矩阵或向量的列;
sum和mean沿指定的轴降低维度。我们在本节中定义了形状 ( 2 , 3 , 4 ) (2,3,4) (2,3,4)的张量X。len(X)的输出结果是什么？
对于任意形状的张量X,len(X)是否总是对应于X特定轴的长度?这个轴是什么?
答：是，这个轴是axis=1。
运行A/A.sum(axis=1)，看看会发生什么。你能分析原因吗？
答：报错的内容为A为一个（5,4）的张量，而A_sum_axis1为一个（5,1）的张量，这样的无法进行相除
import torch
X = torch.arange(24).reshape(2,3,4)
print(X.sum(axis=0))
print(X.sum(axis=1))
print(X.sum(axis=2))
import numpy as np
import torch
X = torch.arange(1.,25.).reshape(6,4)
(X)
答&#函数是基于numpy的，功能上与()相同，得到张量的Frobenius范数。
本文发布于:2024-02-02 13:25:50，感谢您对本站的认可！
本文链接：https://www.4u4v.net/it/170685155144100.html
版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系，我们将在24小时内删除。
| 留言与评论（共有 0 条评论） |
