机器学习中的数学基础 Day1

机器学习中的数学基础 Day1

O(n) o(n)

order：阶，多次式阶，x^2+x+1 阶2

f(x)=O(g(x))：存在x0、M，使得x>=x0时，f(x)<=Mg(x)

2x^2 = O(x^2),M=2,x0任意

x^2+x+1 = O(x^2),M=2,x0=10

f(x)=o(g(x)):对于任意的ε，存在x0，使x>=x0时，f(x)<=εg(x)

x=o(x^2)

x^2+x+1 = o(x^3)

表示f(x)的阶比g(x)小

维基百科：

大O符号（英语：Big O notation），又称为渐进符号，是用于描述函数渐近行为的数学符号。更确切地说，它是用另一个（通常更简单的）函数来描述一个函数数量级的渐近上界。在数学中，它一般用来刻画被截断的无穷级数尤其是渐近级数的剩余项；在计算机科学中，它在分析算法复杂性的方面非常有用。

方向导数

在函数定义域的内点，对某一方向求导得到的导数。一般为二元函数和三元函数的方向导数，方向导数可分为沿直线方向和沿曲线方向的方向导数。

可微
在微积分学中，可微函数是指那些在定义域中所有点都存在导数的函数。可微函数的图像在定义域内的每一点上必存在非垂直切线。因此，可微函数的图像是相对光滑的，没有间断点、尖点或任何有垂直切线的点。

一般来说，若X0是函数f定义域上的一点，且f′(X0)有定义，则称f在X0点可微。这就是说f的图像在(X0, f(X0))点有非垂直切线，且该点不是间断点、尖点。

可微分 → 在x0处连续 & 偏导存在

偏导存在 + 偏导连续 → 可微

 梯度

链式法则 

在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。

Hessian矩阵

 黑塞矩阵（Hessian Matrix），又译作海森矩阵、海瑟矩阵、海塞矩阵等，是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵，描述了函数的局部曲率。

二元函数的黑塞矩阵

Hessian矩阵判断极值点

• Hessian矩阵正定时，函数在该点处是极小值；
• Hessian矩阵负定时，函数在该点处是极大值；
• Hessian矩阵不定时，该点不是函数极值点；
• Hessian矩阵为半正定矩阵或半负定矩阵时，该点为“可疑”极值点，尚需要利用其他方法来判定。

拉格朗日乘数法 

在数学最优问题中，拉格朗日乘数法（以数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。

这种方法将一个有n个变量与k个约束条件的最优化问题转换为一个有n + k个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个向量的系数。

此方法的证明牵涉到偏微分，全微分或链法，从而找到能让设出的隐函数的微分为零的未知数的值。