ZCMU—1689

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1689: 找质数

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Description

质数（prime number）又称素数，有无限个。一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数；否则称为合数。

根据算术基本定理，每一个比1大的整数，要么本身是一个质数，要么可以写成一系列质数的乘积；而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的。最小的质数是2。

目前为止，人们未找到一个公式可求出所有质数。

这道题想要你找出从L到R的区间内的所有质数。为了简化输出，你只需输出给定区间内的所有质数的和。

Input

t测试的数据个数。t<=500

接下来每组测试数据，有两个自然数，L和R。2 <= L <= R <= 10^12-1, R-L <= 10⁶

Output

对每组自然数的区间L，R。输出从L到R中所有质數的和。

Sample Input

3 2 10 3 7 1000000 2000000

Sample Output

17 15 105363426899

【分析】

一直没有做这道题...因为这个数据范围实在太大了...后来发现原来有10s的时限,但这并不代表可以直接暴力判断[l,r]这个区间里每一个数的是否是素数。 首先我们都知道一点，每个合数都可以拆分成若干个素数的乘积。判断大素数显然需要一张素数表。 然后就到了如何判断素数的时候了，这么大的数据范围显然不可能开一个标记数组，但是我们可以发现题目里给出了一点提示，那就是r-l<=10^6，我们没有办法标记10^12这么大的数，但是我们可以标记10^6. 然后就是判断素数的问题了，之前说过直接判断素数显然会超时，然而就算有了一张素数表去按顺序判断，不说这张素数表不够大可能会有大数据出现小漏洞，光是速度就一定会超时。 所以，为什么不考虑用筛法的思想呢？既然已经可以做到对区间的标记，那就完全可以用筛法去做，这样的话就简单了，只是做t次筛法而已。 当然这个筛法中需要思考的一点是，一般的筛法是对一个素数x从x*2标记，但是这道题，显然并不能直接x*2. 所以我们需要一个判断去计算第一个需要被标记的位置 也就是l/prime[i]+1)*prime[i]; 当然，如果l可以被prime[i]整除，那么显然就是从l开始标记。 【代码】

#include <stdio.h>
#include <string.h>
int len=0;
int prime[1000000];
int f[1000100];
long long l,r;
void init()
{memset(f,0,sizeof(f));for (int i=2;i<=1000000;i++)if (!f[i]){prime[len++]=i;for (int j=i*2;j<=1000000;j+=i)	f[j]=1;}
}void find()
{memset(f,0,sizeof(f));for (int i=0;i<len;i++)if (prime[i]>r) break;else{long long j;if (l%prime[i]==0) j=l;else j=(long long)(l/prime[i]+1)*prime[i];for (;j<=r;j+=prime[i]) if (j!=prime[i]) f[j-l]=1;}
}int main()
{init();int pp;scanf("%d",&pp);while (pp--){scanf("%lld%lld",&l,&r);find();long long ans=0;for (int i=0;i<=r-l;i++) if (!f[i]) ans+=i+l;printf("%lldn",ans);}
}