343. Integer Break

343. Integer Break

Question

Given a positive integer n, break it into the sum of at least two positive integers and maximize the product of those integers. Return the maximum product you can get.

Note: You may assume that n is not less than 2 and not larger than 58.

给出一个正整数n，把它分解为至少两个正整数，使这些正整数之积最大。返回最大的积。(2 <= n <= 58)

Example

For example, given n = 2, return 1 (2 = 1 + 1); given n = 10, return 36 (10 = 3 + 3 + 4).

Solution

• 动态规划解。定义dp[i]：将i分解得到的最大的积。递推式：dp[i] = max(dp[i - j] * j, (i - j) * j) (j < i)。因为至少分解两个整数，所以dp[i]并不包含分解的值本身，即(i - j) * j，因此我们需要比较它们的大小。假设i = 4，如果我们分解出1，那么max（dp[3] * 1，3 * 1）就是分解出1时的最大积了，然后我们只需分别求出分解出2， 3的最大积，其中最大的积就是dp[4]了

  class Solution(object):def integerBreak(self, n):""":type n: int:rtype: int"""# dp[0]不需要使用dp = [0] * (n + 1)dp[1] = 1for i in range(1, n + 1):for j in range(1, i):# 分解出j时的最大积max_break = max(dp[i - j] * j, j * (i - j))# 将分解出[j, i]中的最大积赋予dp[i]if max_break > dp[i]:dp[i] = max_breakreturn dp[n]