Codeforces Round #343 (Div. 2) C. Famil Door and Brackets dp

Codeforces Round #343 (Div. 2) C. Famil Door and Brackets dp

题目链接：
题意：
定义一个合法串：

(1)，’(‘的总数 == ‘)’的总数。

(2), 串中所有前缀 满足 ‘(‘的个数 >= ‘)’的个数。

题意：给定一个合法串的长度n和一个长度为m的中间串s，要求你找到一个p串和q串，使得p + s + q是一个合法串且长度为n。问有多少种不同的方案数。 结果 % (1e9+7)。

解法：
摘自:
设置dp[i][j]表示长度为i的合法串且’(‘的个数 - ‘)’的个数 == j的方案数。

我们称j为该串的平衡度。其实dp[i][j] = dp[i][-j]，因为’(‘和’)’可以互换。

转移有dp[i][j] = dp[i-1][j+1] + dp[i-1][j-1]。

那么我们可以枚举p串的长度和平衡度，找到合法的q串。再统计方案数。

注意：我们不能仅仅要求p + s + q合法就够了，必须保证选出的p + s也是一个合法串。

假设p + s长度为i且平衡度为j(j>=0)。那么q串长度为n-m-i，平衡度为-j。

//CF 629D#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long dp[2005][2005]; //dp[i][j]表示长度为i的合法串且'('的个数 - ')'的个数 == j的方案数
const int mod = 1e9+7;
int n, m;
string s;
int main()
{memset(dp, 0, sizeof(dp));dp[0][0] = 1LL;for(int i = 1; i <= 2000; i++){dp[i][0] = dp[i-1][1];for(int j = 1; j <= i; j++){dp[i][j] = (dp[i][j] + (dp[i-1][j+1] + dp[i-1][j-1])%mod)%mod;}}cin >> n >> m >> s;int sum = 0;int minn = 0x3f3f3f3f;for(int i = 0; i < m; i++){if(s[i] == '(') sum++;else sum--;minn = min(minn, sum);}int len = n-m;long long ans = 0;for(int i = 0; i <= len; i++){for(int j = 0; j <= i; j++){if(j+minn<0 || len-i<j+sum) continue;ans = (ans + dp[i][j]*dp[len-i][j+sum] % mod ) %mod;}}cout << ans << endl;
}