空间变换与计算

空间变换与计算

前言

前面部分着重介绍了线性代数与空间变换的本质，其大部分是线性代数只是与三维空间计算原理的实际结合，其中大致包含：

1、从复数到二维复平面计算。

2、从3x3矩阵到三维旋转的表示。

3、从4x4矩阵到三维空间的旋转、平移、缩放的表示。

掌握以上线性代数只是，基本能够自主开发一套三维空间位姿计算库，用于计算机中的三维显示计算，例如：医学导航、无人机集群姿态控制、虚拟现实、物理引擎等方面。

其中，前面章节缺乏对四元数的介绍，四元数能非常完美的表示三维空间的旋转，并且也能解决万向节锁死的问题。具备计算量小等特点。

这一板块将会介绍空间位姿计算的实际编写（C++），将会从最基本的点、向量到3x3矩阵、四元数、4x4矩阵及转换类的编写到每个类的测试用例的测试来介绍。本库采用右手直角坐标系，矩阵排列和opengl保持一致，其库也将兼容openggl、vtk等常用三维引擎。

我将会将此项目作为开源库共享（qySpace），其隶属于qytk个人库的一部分。在每一博文后，都将附上计算库的下载链接，将采用LGPLv3开源协议。

点与向量：

一、 点：

与VTK、ITK的设计不同，他们的设计使用了模板的方式，具有灵活性好，可变性高的特点，但这样往往使用起来不方便，代码量大、计算复杂。缺点例如：1、长度可变，往往长度大于3的点或者向量是我们不需要使用的，并且叉乘等运算只存在三维空间。2、使用麻烦、运算麻烦，填充每个分量需要单独设置，代码量大。

point的设计将直接使用长度为3的点，代表三维空间的一个点。其构造函数和析构函数如下：

        /// constructor, [0.0, 0.0, 0.0] default.point();/// construct from another point.point(const point& pt);/// move constructor.point(point&& pt) noexcept;/// construct from xyz value.point(const real x, const real y, const real z);/// construct from pointer, there must be three values.point(const real* data);/// construct from vector, only copy data.point(const vector& vec);/// destructorvirtual ~point();

构造和析构一目了然，其中第五个构造是直接从三维空间的向量转成点，实际上，向量也可以看成原点到向量终点的连线，这样转换既符合常规思维，也方便使用。

点的计算部分如下：

        /// can be modified according to the index, range:[0,2].real& operator[](std::uint8_t index);/// st real& operator[](std::uint8_t index) const;/// return true if not equal.bool operator!=(const point& pt) const;/// return true if equal, all values equal.bool operator==(const point& pt) const;/// operator=, from another point.point& operator=(const point& pt);/// move operator=.point& operator=(point&& pt) noexcept;/// operator=, from vector, only copy data.point& operator=(const vector& vec);/// operator+=, point += vector.point& operator+=(const vector& vec);/// operator-=, point -= vector.point& operator-=(const vector& vec);/// operator*=, point *= d, equivalent to extending along the origin.point& operator*=(const real d);/// operator/=, point /= d, equivalent to shortening along the origin.point& operator/=(const real d);/// operator+, return *this + vector.[[nodiscard]] point operator+(const vector& vec) const;/// operator-, return *this - vector.[[nodiscard]] point operator-(const vector& vec) const;/// operator*, return *this * d.[[nodiscard]] point operator*(const real d) const;/// operator/, return *this / d.[[nodiscard]] point operator/(const real d) const;

除上面之外，点还包括打印、获取是否合法（均为实数）、求两点距离、以及设置和获取点的每个分量值等。其点的数据如下：

    private:/// al m_data[3];

二、向量：

也将不采用vtk、itk的模板方式，与点几乎相同，只是向量的计算部分与点有些差别。

vector的长度为3，代表三维空间的向量，其构造函数和析构函数如下：

        /// constructor, [0.0, 0.0, 1.0] default.vector();/// construct from another vector.vector(const vector& vec);/// move constructor.vector(vector&& vec) noexcept;/// construct from xyz value.vector(const real x, const real y, const real z);/// construct from pointer, there must be three values.vector(const real* data);/// construct from point, only copy data.vector(const point& pt);/// construct from double point, from ptFirst to ptSecond, if same, Axis::Z.vector(const point& ptFirst, const point& ptSecond);/// destructor.virtual ~vector();

可以看出，与点的几乎一样，其中左后一个构造是通过两点构造，向量方向从ptFirst指向ptSecond。这里的向量与物理中的有区别，其只包含大小和方向，不包含作用点。在后续对库的补充中，将会加上这样的类似射线、线段、直线的数据结构，并提供相应的计算。

vector的计算部分如下：

        /// can be modified according to the index, range:[0,2].real& operator[](std::uint8_t index);/// st real& operator[](std::uint8_t index) const;/// return true if not equal.bool operator!=(const vector& vec) const;/// return true if equal, all values equal.bool operator==(const vector& vec) const;/// operator=, from another vector.vector& operator=(const vector& vec);/// move operator=.vector& operator=(vector&& vec) noexcept;/// operator=, from point, only copy data.vector& operator=(const point& pt);/// operator+=, vector + vector.vector& operator+=(const vector& vec);/// operator-=, vector - vector.vector& operator-=(const vector& vec);/// operator*=, vector *= d, equivalent to extending vector.vector& operator*=(const real d);/// operator/=, vector /= d, equivalent to shortening vector.vector& operator/=(const real d);/// operator+, return *this + vector.[[nodiscard]] vector operator+(const vector& vec) const;/// operator-, return *this - vector.[[nodiscard]] vector operator-(const vector& vec) const;/// operator*, return *this * al operator*(const vector& vec) const;/// operator*, return *this * d.[[nodiscard]] vector operator*(const real d) const;/// operator/, return *this / d.[[nodiscard]] vector operator/(const real d) const;

其中，operator*(const vecor& vec)是点乘，与下面的dot函数一样。

        /// return length of the vectorreal length() const;/// return length and al normalize();/// returns the unit vector.[[nodiscard]] vector normalized() const;/// return *this * al dot(const vector& vec) const;/// return *this x vec.[[nodiscard]] vector cross(const vector& vec) const;/// return true if parallel.bool isParallel(const vector& vec, const real errRadians = TOLERANCE) const;/// return true if vertical.bool isVertical(const vector& vec, const real errRadians = TOLERANCE) const;/// return the radians between *this and another vector, adopt al radiansTo(const vector& vec) const;

如上面代码，功能分别为：

1、计算向量长度。

2、将向量单位化。

3、返回单位向量（不改变本身）。

4、两向量点乘。

5、两向量叉乘。

6、判断两个向量是否平行。

7、判断两个向量是否垂直。

8、求两向量夹角。

总结：

三维空间点和空间向量非常简单，计算也非常简单，这里不做过多细节介绍，其测试程序也非常简单，不做介绍，在后面空间计算的例子中，将会体现出这两部分的用法。

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