六大基本初等函数图像及性质

2024年2月4日发(作者：)

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六大基本初等函数图像及其性质

一、常值函数（也称常数函数） y =C（其中C 为常数）；

常数函数（yC）

C0

y

C0

y

yCO

x

y0O

x

平行于x轴的直线

定义域R

二、幂函数

yx ，x是自变量，是常数；

12y轴本身

定义域R

1.幂函数的图像：

y

yx

2.幂函数的性质；

性质

函数

定义域

值域

奇偶性

单调性

公共点

yx2yxyx3yx1O

x

yx

R

R

奇

增

yx2

R

[0,+∞)

偶

[0,+∞) 增

(-∞,0] 减

yx3

R

R

奇

增

（1,1）

yx12

yx1

{x|x≠0}

{y|y≠0}

奇

(0,+∞) 减

(-∞,0) 减

[0,+∞)

[0,+∞)

非奇非偶

增

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1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为x(,)，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y轴对称；

2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数；

3）当α为正有理数m时，n为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n为奇数时函数的定义域为（-n∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；

4）如果m>n图形于x轴相切，如果m

5）当α为负有理数时，n为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

xya三、指数函数(x是自变量,a是常数且a0，a1)，定义域是R ；

[无界函数]

1.指数函数的图象：

y

ya

x

yaxy

(a1)

y1x

(0a1)

(0,1)

O

(0,1)

O

y1x

2.指数函数的性质；

性质

函数

定义域

值域

奇偶性

公共点

yax(a1)

R

(0，+∞)

非奇非偶

yax(0a1)

过点(0，1)，即x0时，y1

在是增函数

（，）在是减函数

（，）单调性

1）当a1时函数为单调增,当0a1时函数为单调减；

2）不论x为何值,y总是正的,图形在x轴上方；

3）当x0时,y1,所以它的图形通过(0,1)点。

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3.（选，补充）指数函数值的大小比较aN；

*

y

xa.底数互为倒数的两个指数函数

xf(x)ax，f(x)1a

的函数图像关于y轴对称。

h(x)3x

y

f(x)2x(0,1)

O

x

b.2.当0a1时，a值越大，yax

的图像越远离y轴。

4.指数的运算法则（公式）；

a.整数指数幂的运算性质(a0,m,nQ)；

(1)

amanamn

(2)

amanamn

(3)

amnanmanm

n(4)

abanbn

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f(x)axf(x)1a(0,1)

O

x

b.1.当a1时，a值越大，yax

的图像越靠近y轴；

xg(x)1y

3xq(x)12(0,1)

O

b.根式的性质；

(1)nana ； (2)当n为奇数时，nana

当n为偶数时，nanaa (a0)a(a0)

c.分数指数幂；

m(1)annam(a0,m,nZ*,n1)

m(2)an1m1,m,nZ*,n1)annam(a0

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四、对数函数ylogax(a是常数且a0,a1)，定义域x(0,)[无界]

1.对数的概念：如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，就是

aN，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaNb,其中a叫做对数的底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式。

对数函数关于直线bylogax与指数函数yax互为反函数，所以ylogax的图象与yax的图象yx对称。

2.常用对数：log10N的对数叫做常用对数，为了简便，N的常用对数记作lgN。

3.自然对数：使用以无理数e2.7182为底的对数叫做自然对数，为了简便，N的自然对数loge记作lnN。

4.对数函数的图象：

5.对数函数的性质；

O

y

N简x1

ylogax

(a1)

y

x1

(1,0)

(1,0)

x

O

x

ylogax

(0a1)

ylogax

(a1)

(0，+∞)

R

非奇非偶

过点(1，0)，即x1时，y0

在(0,+∞)上是增函数

在(0,+∞)上是减函数

性质

函数

定义域

值域

奇偶性

公共点

ylogax

(0a1)

单调性

1）对数函数的图形为于y轴的右方，并过点(1,0)；

2）当a1时，在区间(0,1)，y的值为负，图形位于x的下方；在区间(1, +)，y值为正，图形位于x轴上方，在定义域是单调增函数。a1在实际中很少用到。

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6.（选，补充）对数函数值的大小比较aN；

a.底数互为倒数的两个对数函数

*y

ylogax(1,0)

ylogax，ylog1x

aO

x

的函数图像关于x轴对称。

y

f(x)log2xf(x)log3xb.1. 当a1时，a值越大，ylog1x

af(x)logax

O

的图像越靠近x轴；

x

(1,0)

y

b.2. 当(0a1)时，a值越大，的图像越远离x轴。

7.对数的运算法则（公式）；

f(x)logax

(1,0)

O

x

f(x)log1x

3f(x)log1x

2a.如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么： c.换底公式：

(1)logbNlogaMNlogaMlogaN

MlogalogaMlogaN

NlogaMnnlogaMb.对数恒等式：

logaN （a0,a1，一般常常logab或lnN换为e或10为底的对数,即logbNlnblgNlogbN）

lgb(2)由公式和运算性质推倒的结论：

alogaNN

(a0且a1，N0)

d.对数运算性质

loganbnnlogabm(1)1的对数是零，即loga10；同理ln10或lg10

(2)底数的对数等于1，即logaa1；同理lne1或lg101

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五、三角函数

1.正弦函数ysinx,有界函数，定义域x(,)，值域y[1,1]

3，，，2

22图象：五点作图法：0，

2.余弦函数ycosx，有界函数，定义域x(,)，值域y[1,1]

3，，，2

22图象：五点作图法：0，

3.正、余弦函数的性质；

性质

函数

定义域

值域

奇偶性

周期性

对称中心

对称轴

ysinx(kZ)

ycosx(kZ)

R

[-1,1]

偶函数

[-1,1]

奇函数

T2

(k,0)

T2

(k2,0)

xk2

(k2,0)

在x2k,2k上是增函数

22单调性

在x2k,2k上是增函数

在x2k,2k上是减函数

3在x2k,2k上是减函数

22x2k22时，ymax1

时，ymin1

x2k时，ymax1

x2k时，ymin1

最值

x2k 学习好帮手

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4.正切函数ytanx，无界函数，定义域xxk,(kZ)，值域y(,)

y

2

x

52

232



2O

2

3

22

5

2ytanx的图像

5.余切函数ycotx，无界函数，定义域xxk,kZ,y(,)

y

3

x



52232



2O



2

3

22

5

23

ycotx的图像

6.正、余切函数的性质；

性质

函数

定义域

值域

奇偶性

周期性

单调性

对称中心

零点

ytanx(kZ)

xkR

ycotx(kZ)

xk

R

2

奇函数 奇函数

T

在(T

在(k,(k1))上都是减函数

(k,0)

22k,2(k)上都是增函数

k,0)

2(k,0)

(k2,0)

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7.正割函数

ysecx，无界函数，定义域xxk,(kZ)，值域secx1

y

21

2



2

3

25

23

x

52



32

2O

-1



2ysecx的图像

18.余割函数ycscx，无界函数，定义域xxk,(kZ)，值域cscx1

sinx

5



2

2

9.正、余割函数的性质；

y

21



O

-1

3

23

2



22

3

5

2x

ycscx的图像

ysecx(kZ)

ycscx(kZ)

性质

函数

定义域

值域

奇偶性

周期性

xxk

2xxk

(，1][1,)

奇函数

(，1][1,)

偶函数

T2

(2kT2

3)2单调性

3(2k,2k)(2k,2k2)减

2223减

(2k,2k)(2k,2k)22(2k,2k)(2k,2k)增

增

22,2k)(2k,2k 学习好帮手

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续表：

性质

函数

对称中心

对称轴

渐近线

ysecx(kZ)

(kycscx(kZ)

(k,0)

2,0)

xk

xx2k

2k

xk

六、反三角函数

1.反正弦函数yarcsinx，无界函数，定义域[-1,1]，值域[0,]

ysinx在区间,上的反函数称为反正弦函数，记为22A.反正弦函数的概念：正弦函数yarcsinx

2.反余弦弦函数yarccosx，无界函数，定义域[-1,1]，值域[0,]

ycosx在区间0,上的反函数称为反余弦函数，记为y

B.反余弦函数的概念：余弦函数y

yarccosx

2





2-1

O

1

x



2-1

O

1

x

yarcsinx的图像

yarccosx的图像

3.反正、余弦函数的性质；

性质

函数

定义域

值域

奇偶性

单调性

yarcsinx

[-1,1]

[0,]

yarccosx

[-1,1]

[0,]

奇函数

增函数

非奇非偶函数

减函数

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4.反正切函数yarctanx，有界函数，定义域x(,),值域,

22C.反正切函数的概念：正切函数ytanx在区间,上的反函数称为反正切函数，记为22yarctanx

5.反余切函数yarccotx，有界函数，定义域x(,),值域0,

D.反余切函数的概念：余切函数ycotx在区间0,上的反函数称为反余切函数，记为yarccotx

y

y



2O

x

O



22x

yarctanx的图像

yarccotx的图像

6.反正、余弦函数的性质；

函数

性质

yarctanx

R

yarccotx

定义域

值域

,

220,

奇偶性

奇函数 非奇非偶

单调性

增函数 减函数

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三角函数公式汇总

一、任意角的三角函数

在角的终边上任取一点P(x,y)，记：r．．正弦：sin正切：tanyx 余弦：cos

rrxy 余切：cot

yxrr 余割：csc

yxx2y2。

正割：sec二、同角三角函数的基本关系式

倒数关系：sincsc1，cossec1，tancot1

sincos商数关系：tan，cot

cossin平方关系：sin2cos21，1tan2sec2，1cot2csc2

三、诱导公式

x轴上的角，口诀：函数名不变，符号看象限；

y轴上的角，口诀：函数名改变，符号看象限。

四、和角公式和差角公式

sin()sincoscossin

sin()sincoscossin

cos()coscossinsin

cos()coscossinsin

tan()tan()tantan

1tantantantan1tantan五、二倍角公式

sin22sincos

tan22tan1tan2cos2cos2sin22cos2112sin2

二倍角的余弦公式常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）

1cos22cos2

1cos22sin2

1sin2(sincos)2

1sin2(sincos)2

cos21cos21sin21cos2sin22sintan，，

22sin21cos2 学习好帮手

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六、三倍角公式

sin33sin4sin34sinsin(3)sin(3)cos34cos33cos4coscos(3)cos(3)tan33tantan313tan2tantan(3)tan(3)

七、和差化积公式

sinsin2sin2cos2

coscos2cos2cos2

sinsin2cossin22

coscos2sin2sin2

八、辅助角公式

asinxbcosxa2b2sin(x)

其中：角的终边所在的象限与点(a,b)所在的象限相同，

sinbaa2b2，cosa2b2，tanba

九、三角函数的周期公式

函数yAsin(x)，xR及函数yAcos(x)，xR(A,,,为常数，且A0,0)

周期：

T2

函数yAtan(x)，xk2,kZ(A,,,为常数，且A0,0)

周期：

T

十、正弦定理

abcsinAsinBsinC2R（R为ABC外接圆半径）

十一、余弦定理

a2b2c22bccosA

b2a2c22accosB

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c2a2b22abcosC

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