本文是针对"Low-Complexity Reconfigurable MIMO for Millimeter Wave Communications"的阅读笔记，其中心在于给出了RA对于MIMO性能增益的理论分析，对于低复杂度beam selection及state selection本文暂不讨论。
参考文献：
B. He and H. Jafarkhani, “Low-Complexity Reconfigurable MIMO for Millimeter Wave Communications,” in IEEE Transactions on Communications, vol. 66, no. 11, pp. 5278-5291, Nov. 2018, doi: 10.1109/TCOMM.2018.2860003.
给出了配备HBF架构的稀疏信道RA-MIMO系统的理论框架
本文不同模态之间正交，其实现方式文中有简要介绍。因为讨论的理论增益上限，所以正交可以带来的增益更大。值得注意的是，这里有一个tradeoff：模态之间正交带来的增益更大，但由于之间相关性小所以要基于相关性去外推性能就会差一点，开销方面自然牺牲大；反之亦然。
假设发端阵有 Q Q Q种模态，收端有 W W W种，则信道总模态有 Ψ = Q W Psi=Q W Ψ=QW。
这里考虑窄带块衰落信道，并采用参数化信道模型（S-V信道模型）。CSI方面文章假设full CSIR，并有limited feedback反馈机制。
假设不同模态簇数及路径数相同，即： N 1 , c l = ⋯ = N Ψ , c l N_{1, mathrm{cl}}=cdots=N_{Psi, mathrm{cl}} N1,cl=⋯=NΨ,cl和 N 1 , r y = ⋯ = N Ψ , r y N_{1, mathrm{ry}}=cdots=N_{Psi, mathrm{ry}} N1,ry=⋯=NΨ,ry。
传输过程如下：
y = H ψ x + n mathbf{y}=mathbf{H}_{psi} mathbf{x}+mathbf{n} y=Hψx+n
其中 H ψ ∈ C N r × N t mathbf{H}_{psi} in mathbb{C}^{N_{r} times N_{t}} Hψ∈CNr×Nt， n ∼ C N ( 0 ; σ n 2 I N r ) mathbf{n} sim mathcal{C} mathcal{N}left(mathbf{0} ; sigma_{n}^{2} mathbf{I}_{N_{r}}right) n∼CN(0;σn2INr)， E { ∥ H 1 ∥ F 2 } = ⋯ = E { ∥ H Ψ ∥ F 2 } = N r N t mathbb{E}left{left|mathbf{H}_{1}right|_{F}^{2}right}=cdots=mathbb{E}left{left|mathbf{H}_{Psi}right|_{F}^{2}right}=N_{r} N_{t} E{∥H1∥F2}=⋯=E{∥HΨ∥F2}=NrNt。
多径信道模型如下：
H ψ = ∑ i = 1 N ψ , c l ∑ l = 1 N ψ , r y α ψ , i , l a R ( θ ψ , i , l r ) a T H ( θ ψ , i , l t ) mathbf{H}_{psi}=sum_{i=1}^{N_{psi, mathrm{cl}}} sum_{l=1}^{N_{psi, mathrm{ry}}} alpha_{psi, i, l} mathbf{a}_{R}left(theta_{psi, i, l}^{r}right) mathbf{a}_{T}^{H}left(theta_{psi, i, l}^{t}right) Hψ=i=1∑Nψ,cll=1∑Nψ,ryαψ,i,laR(θψ,i,lr)aTH(θψ,i,lt)
其中 a R mathbf{a}_{R} aR与 a T mathbf{a}_{T} aT为收端及发端波矢，对均匀线阵（ULA），有：
a R ( θ ψ , i , l r ) = [ 1 , e − j 2 π ϑ ψ , i , l r , ⋯ , e − j 2 π ϑ ψ , i , l r ( N r − 1 ) ] T mathbf{a}_{R}left(theta_{psi, i, l}^{r}right)=left[1, e^{-j 2 pi vartheta_{psi, i, l}^{r}}, cdots, e^{-j 2 pi vartheta_{psi, i, l}^{r}left(N_{r}-1right)}right]^{T} aR(θψ,i,lr)=[1,e−j2πϑψ,i,lr,⋯,e−j2πϑψ,i,lr(Nr−1)]T a T ( θ ψ , i , l t ) = [ 1 , e − j 2 π ϑ ψ , i , l t , ⋯ , e − j 2 π ϑ ψ , i , l t ( N t − 1 ) ] T mathbf{a}_{T}left(theta_{psi, i, l}^{t}right)=left[1, e^{-j 2 pi vartheta_{psi, i, l}^{t}}, cdots, e^{-j 2 pi vartheta_{psi, i, l}^{t}left(N_{t}-1right)}right]^{T} aT(θψ,i,lt)=[1,e−j2πϑψ,i,lt,⋯,e−j2πϑψ,i,lt(Nt−1)]T
其中归一化天线间距 ϑ = d sin ( θ ) / λ vartheta=d sin (theta) / lambda ϑ=dsin(θ)/λ。
上述信道的VCR可以表述为：
H ψ = ∑ i = 1 N r ∑ j = 1 N t H ψ , V ( i , j ) a R ( θ ¨ R , i ) a T H ( θ ¨ T , j ) = A R H ψ , V A T H begin{aligned} mathbf{H}_{psi} &=sum_{i=1}^{N_{r}} sum_{j=1}^{N_{t}} H_{psi, V}(i, j) mathbf{a}_{R}left(ddot{theta}_{R, i}right) mathbf{a}_{T}^{H}left(ddot{theta}_{T, j}right) \ &=mathbf{A}_{R} mathbf{H}_{psi, V} mathbf{A}_{T}^{H} end{aligned} Hψ=i=1∑Nrj=1∑NtHψ,V(i,j)aR(θ¨R,i)aTH(θ¨T,j)=ARHψ,VATH
其中虚拟AoA、AoD为： θ ¨ R , i = arcsin ( λ ϑ ¨ R , i / d ) ddot{theta}_{R, i}=arcsin left(lambda ddot{vartheta}_{R, i} / dright) θ¨R,i=arcsin(λϑ¨R,i/d) θ ¨ T , i = arcsin ( λ ϑ ¨ T , i / d ) ddot{theta}_{T, i}=arcsin left(lambda ddot{vartheta}_{T, i} / dright) θ¨T,i=arcsin(λϑ¨T,i/d)，且：
ϑ ¨ R , i = i − 1 − ( N r − 1 ) / 2 N r ddot{vartheta}_{R, i}=frac{i-1-left(N_{r}-1right) / 2}{N_{r}} ϑ¨R,i=Nri−1−(Nr−1)/2 ϑ ¨ T , i = i − 1 − ( N t − 1 ) / 2 N t ddot{vartheta}_{T, i}=frac{i-1-left(N_{t}-1right) / 2}{N_{t}} ϑ¨T,i=Nti−1−(Nt−1)/2则波矢矩阵为： A R = 1 N r [ a R ( θ ¨ R , 1 ) , ⋯ , a R ( θ ¨ R , N r ) ] T mathbf{A}_{R}=frac{1}{sqrt{N_{r}}}left[mathbf{a}_{R}left(ddot{theta}_{R, 1}right), cdots, mathbf{a}_{R}left(ddot{theta}_{R, N_{r}}right)right]^{T} AR=Nr 1[aR(θ¨R,1),⋯,aR(θ¨R,Nr)]T A T = 1 N t [ a T ( θ ¨ T , 1 ) , ⋯ , a T ( θ ¨ T , N t ) ] T mathbf{A}_{T}=frac{1}{sqrt{N_{t}}}left[mathbf{a}_{T}left(ddot{theta}_{T, 1}right), cdots, mathbf{a}_{T}left(ddot{theta}_{T, N_{t}}right)right]^{T} AT=Nt 1[aT(θ¨T,1),⋯,aT(θ¨T,Nt)]T A R mathbf{A}_{R} AR与 A T mathbf{A}_{T} AT是酉DFT矩阵，原始信道矩阵与VCR一一对应： H ψ , V = A R H H ψ A T mathbf{H}_{psi, V}=mathbf{A}_{R}^{H} mathbf{H}_{psi} mathbf{A}_{T} Hψ,V=ARHHψAT
由于在空域上有的角度没有散射体，导致该方向增益较小，我们只关心增益大的方向，即在角度域对信道做特征值分解（或谱分解）后，我们只关心主成分方向，基于这个思路，VCR可以进一步降维： H ~ ψ , V = [ H ψ , V ( i , j ) ] i ∈ M ψ , r , j ∈ M ψ , t widetilde{mathbf{H}}_{psi, V}=left[mathbf{H}_{psi, V}(i, j)right]_{i in mathcal{M}_{psi, r}, j in mathcal{M}_{psi, t}} H ψ,V=[Hψ,V(i,j)]i∈Mψ,r,j∈Mψ,t其中 M ψ , r = { i : ( i , j ) ∈ M ψ } mathcal{M}_{psi, r}=left{i:(i, j) in mathcal{M}_{psi}right} Mψ,r={i:(i,j)∈Mψ}为beam selection mask，beam selection按照幅值选取原则： M ψ = { ( i , j ) : ∣ H ψ , V ( i , j ) ∣ 2 ≥ γ ψ max ( i , j ) ∣ H ψ , V ( i , j ) ∣ 2 } mathcal{M}_{psi}=left{(i, j):left|mathbf{H}_{psi, V}(i, j)right|^{2} geq gamma_{psi} max _{(i, j)}left|mathbf{H}_{psi, V}(i, j)right|^{2}right} Mψ={(i,j):∣Hψ,V(i,j)∣2≥γψ(i,j)max∣Hψ,V(i,j)∣2}其中 0 < γ ψ < 1 0<gamma_{psi}<1 0<γψ<1为门限参数。
系统采用HBF架构，发射端模拟域BF采用DFT矩阵 A T mathbf{A}_{T} AT，数字域BF采用单位阵（发端无CSI）；接收端模拟域Combiner采用IDFT矩阵 A R H mathbf{A}_{R}^{mathrm{H}} ARH，数字域采用最大似然准则解码。可以看到，这里 F R F F_{RF} FRF维度不是 N t × N R F t N_{t} times N_{RF}^{t} Nt×NRFt，是对经过扩维之后的模拟域导频进行处理。
发端及收端的RF链个数等于其信道主成分分量个数，即 N R F T = L t N_{RF}^{T}=L_{t} NRFT=Lt、 N R F R = L r N_{RF}^{R}=L_{r} NRFR=Lr。
发射过程如下： y = H ψ x + n = A R H ψ , V A T H x + n = A R H ψ , V x V + n mathbf{y}=mathbf{H}_{psi} mathbf{x}+mathbf{n}=mathbf{A}_{R} mathbf{H}_{psi, V} mathbf{A}_{T}^{H} mathbf{x}+mathbf{n}=mathbf{A}_{R} mathbf{H}_{psi, V} mathbf{x}_{V}+mathbf{n} y=Hψx+n=ARHψ,VATHx+n=ARHψ,VxV+n
其中信号 s ∈ C N s × 1 mathbf{s} in mathbb{C}^{N_{s} times 1} s∈CNs×1过数字预编码 F ∈ C L t × N s mathbf{F} in mathbb{C}^{L_{t} times N_{s}} F∈CLt×Ns过程为 x ~ V = F s widetilde{mathbf{x}}_{V}=mathbf{F} mathbf{s} x V=Fs，模拟域导频 x ~ V widetilde{mathbf{x}}_{V} x V经过扩维之后有： [ x V ( j ) ] j ∈ M t = x ~ V left[mathbf{x}_{V}(j)right]_{j in mathcal{M}_{t}}=widetilde{mathbf{x}}_{V} [xV(j)]j∈Mt=x V其中 [ x V ( j ) ] j ∉ M t = 0 left[mathbf{x}_{V}(j)right]_{j notin mathcal{M}_{t}}=mathbf{0} [xV(j)]j∈/Mt=0，则发射信号有 x = A T x V mathbf{x}=mathbf{A}_{T} mathbf{x}_{V} x=ATxV，能量方面 Tr ( E { x ~ V x ~ V H } ) = Tr ( E { x V x V H } ) = Tr ( E { x x H } ) = P operatorname{Tr}left(mathbb{E}left{widetilde{mathbf{x}}_{V} widetilde{mathbf{x}}_{V}^{H}right}right)=operatorname{Tr}left(mathbb{E}left{mathbf{x}_{V} mathbf{x}_{V}^{H}right}right)=operatorname{Tr}left(mathbb{E}left{mathbf{x} mathbf{x}^{H}right}right)=P Tr(E{x Vx VH})=Tr(E{xVxVH})=Tr(E{xxH})=P
接收过程为： y V = A R H y = H ψ , V x V + n V mathbf{y}_{V}=mathbf{A}_{R}^{H} mathbf{y}=mathbf{H}_{psi, V} mathbf{x}_{V}+mathbf{n}_{V} yV=ARHy=Hψ,VxV+nV仅留下主成分： y ~ V = H ~ ψ , V x ~ V + n ~ V widetilde{mathbf{y}}_{V}=widetilde{mathbf{H}}_{psi, V} widetilde{mathbf{x}}_{V}+widetilde{mathbf{n}}_{V} y V=H ψ,Vx V+n V其中噪声 n V = A R H n mathbf{n}_{V}=mathbf{A}_{R}^{H} mathbf{n} nV=ARHn有 C N ( 0 ; σ n 2 I N r ) mathcal{C} mathcal{N}left(mathbf{0} ; sigma_{n}^{2} mathbf{I}_{N_{r}}right) CN(0;σn2INr)， n ~ V = [ n V ( i ) ] i ∈ M r widetilde{mathbf{n}}_{V}=left[mathbf{n}_{V}(i)right]_{i in mathcal{M}_{r}} n V=[nV(i)]i∈Mr有 n ~ V ∼ C N ( 0 ; σ n 2 I L r ) widetilde{mathbf{n}}_{V} sim mathcal{C} mathcal{N}left(mathbf{0} ; sigma_{n}^{2} mathbf{I}_{L_{r}}right) n V∼CN(0;σn2ILr)。
由此可见，发端RF precoding的物理意义即将信道矩阵H的发端波矢矩阵，即有特征矩阵拆开，收端RF combining同理，而平时我们不知道H的特征值分布情况，所以只能用全DFT矩阵进行拆解，即 F R F F_{RF} FRF用全DFT矩阵，这部分开销要通过时间域去实现。要减少发端模拟权的在空域上的开销，本质上还是要高效的知道H的特征值分布情况。
假设full CSIR，且limited feedback，反馈量化基数为： log 2 ( Ψ ) + log 2 ( ( N t L t ) ( N r L r ) ) log _{2}(Psi)+log _{2}left(left(begin{array}{l} N_{t} \ L_{t} end{array}right)left(begin{array}{c} N_{r} \ L_{r} end{array}right)right) log2(Ψ)+log2((NtLt)(NrLr))，维度方面假设 N s = L t ≤ L r N_{s}=L_{t} leq L_{r} Ns=Lt≤Lr，如此使得系统复用增益最大。则容量公式如下： R H ~ ψ , V = log 2 ∣ I L r + ρ L t H ~ ψ , V H ~ ψ , V H ∣ R_{widetilde{mathbf{H}}_{psi, V}}=log _{2}left|mathbf{I}_{L_{r}}+frac{rho}{L_{t}} widetilde{mathbf{H}}_{psi, V} widetilde{mathbf{H}}_{psi, V}^{H}right| RH ψ,V=log2∣∣∣∣ILr+LtρH ψ,VH ψ,VH∣∣∣∣其中 ρ = P / σ n 2 rho=P / sigma_{n}^{2} ρ=P/σn2为发射信噪比。
系统瞬时吞吐量为： R ψ ^ = max ψ ∈ { 1 , ⋯ , Ψ } R ψ R_{widehat{psi}}=max _{psi in{1, cdots, Psi}} R_{psi} Rψ =ψ∈{1,⋯,Ψ}maxRψ其中 R ψ = log 2 ∣ I L r + ρ L t H ~ ^ ψ , V H ~ ^ ψ , V H ∣ = max H ~ ψ , V ∈ { H ~ ψ } log 2 ∣ I L r + ρ L t H ~ ψ , V H ~ ψ , V H ∣ begin{aligned} R_{psi} &=log _{2}left|mathbf{I}_{L_{r}}+frac{rho}{L_{t}} widehat{widetilde{H}}_{psi, V} widehat{widetilde{H}}_{psi, V}^{H}right| \ &=max _{widetilde{mathbf{H}}_{psi, V} inleft{tilde{mathcal{H}}_{psi}right}} log _{2}left|mathbf{I}_{L_{r}}+frac{rho}{L_{t}} widetilde{mathbf{H}}_{psi, V} widetilde{mathbf{H}}_{psi, V}^{H}right| end{aligned} Rψ=log2∣∣∣∣ILr+LtρH ψ,VH ψ,VH∣∣∣∣=H ψ,V∈{H~ψ}maxlog2∣∣∣∣ILr+LtρH ψ,VH ψ,VH∣∣∣∣
则平均吞吐量增益定义为： G R ˉ = R ˉ ψ ^ / R ˉ ψ G_{bar{R}}=bar{R}_{widehat{psi}} / bar{R}_{psi} GRˉ=Rˉψ /Rˉψ其中 R ˉ ψ ^ = E { R ψ ^ } , R ˉ ψ = E { R ψ } bar{R}_{widehat{psi}}=mathbb{E}left{R_{widehat{psi}}right}, bar{R}_{psi}=mathbb{E}left{R_{psi}right} Rˉψ =E{Rψ },Rˉψ=E{Rψ}，我们这里假设不同模态平均吞吐量相等，即 R ˉ 1 = ⋯ = R ˉ Ψ bar{R}_{1}=cdots=bar{R}_{Psi} Rˉ1=⋯=RˉΨ。下面的重点即解 G R ˉ G_{bar{R}} GRˉ：
分析知 R ψ R_{psi} Rψ应是一个高斯分布的随机变量，即 R ψ ∼ N ( R ˉ ψ , σ R ψ 2 ) R_{psi} sim mathcal{N}left(bar{R}_{psi}, sigma_{R_{psi}}^{2}right) Rψ∼N(Rˉψ,σRψ2)
平均吞吐量增益近似形式如下： G R ˉ ≈ ∫ 0 ∞ 1 R ˉ ψ − 1 2 Ψ R ˉ ψ ( 1 + erf ( x − R ˉ ψ 2 σ R ψ 2 ) ) Ψ d x G_{bar{R}} approx int_{0}^{infty} frac{1}{bar{R}_{psi}}-frac{1}{2^{Psi} bar{R}_{psi}}left(1+operatorname{erf}left(frac{x-bar{R}_{psi}}{sqrt{2 sigma_{R_{psi}}^{2}}}right)right)^{Psi} mathrm{d} x GRˉ≈∫0∞Rˉψ1−2ΨRˉψ1⎝⎛1+erf⎝⎛2σRψ2 x−Rˉψ⎠⎞⎠⎞Ψdx求解如下：
首先 R ˉ ψ ^ bar{R}_{widehat{psi}} Rˉψ 有：
R ˉ ψ ^ ≈ ∫ 0 ∞ 1 − ( F R ψ ( x ) ) Ψ d x = ∫ 0 ∞ 1 − 1 2 Ψ ( 1 + erf ( x − R ˉ ψ 2 σ R ψ 2 ) ) Ψ d x begin{aligned} bar{R}_{widehat{psi}} & approx int_{0}^{infty} 1-left(F_{R_{psi}}(x)right)^{Psi} mathrm{d} x \ &=int_{0}^{infty} 1-frac{1}{2^{Psi}}left(1+operatorname{erf}left(frac{x-bar{R}_{psi}}{sqrt{2 sigma_{R_{psi}}^{2}}}right)right)^{Psi} mathrm{d} x end{aligned} Rˉψ ≈∫0∞1−(FRψ(x))Ψdx=∫0∞1−2Ψ1⎝⎛1+erf⎝⎛2σRψ2 x−Rˉψ⎠⎞⎠⎞Ψdx其中 R ˉ ψ bar{R}_{psi} Rˉψ的近似cdf函数为 F R ψ ( x ) = 1 + erf ( x − R ˉ ψ 2 σ R ψ 2 ) F_{R_{psi}}(x)=1+operatorname{erf}left(frac{x-bar{R}_{psi}}{sqrt{2 sigma_{R_{psi}}^{2}}}right) FRψ(x)=1+erf(2σRψ2 x−Rˉψ)，代入平均吞吐量增益表达式即可。
由于上面 G R ˉ G_{bar{R}} GRˉ无法进一步简化，所以讨论在小规模及大规模系统下的近似形式以讨论其规律。
首先平均增益有： G R ˉ ( Ψ = i ) ≈ 1 + σ R ψ 2 R ˉ ψ E i G_{bar{R}}(Psi=i) approx 1+frac{sqrt{sigma_{R_{psi}}^{2}}}{bar{R}_{psi}} E_{i} GRˉ(Ψ=i)≈1+RˉψσRψ2 Ei其中 E i E_{i} Ei为 i i i个独立的标准正态分布随机变量中最大值的期望，则对于 E i E_{i} Ei，有如下求解过程： E i = ∫ − ∞ ∞ x d ( Φ ( x ) ) i d x d x = i ( i − 1 ) ∫ − ∞ ∞ exp ( − x 2 ) 2 π ( Φ ( x ) ) i − 2 d x = i ( i − 1 ) 2 π ∑ j = 0 ⌊ i 2 − 1 ⌋ ( 1 2 ) i − 2 − 2 j ( i − 2 2 j ) A j begin{aligned} E_{i} &=int_{-infty}^{infty} x frac{mathrm{d}(Phi(x))^{i}}{mathrm{~d} x} mathrm{~d} x \ &=i(i-1) int_{-infty}^{infty} frac{exp left(-x^{2}right)}{2 pi}(Phi(x))^{i-2} mathrm{~d} x \ &=frac{i(i-1)}{2 pi} sum_{j=0}^{leftlfloorfrac{i}{2}-1rightrfloor}left(frac{1}{2}right)^{i-2-2 j}left(begin{array}{c} i-2 \ 2 j end{array}right) A_{j} end{aligned} Ei=∫−∞∞x dxd(Φ(x))i dx=i(i−1)∫−∞∞2πexp(−x2)(Φ(x))i−2 dx=2πi(i−1)j=0∑⌊2i−1⌋(21)i−2−2j(i−22j)Aj其中 A j = ∫ − ∞ ∞ exp ( − x 2 ) ( Φ ( x ) − 1 2 ) 2 j d x A_{j}=int_{-infty}^{infty} exp left(-x^{2}right)left(Phi(x)-frac{1}{2}right)^{2 j} mathrm{~d} x Aj=∫−∞∞exp(−x2)(Φ(x)−21)2j dx，由此可求得 A 0 = π A_0=sqrt{pi} A0=π 及 A 1 = 1 2 π tan − 1 ( 2 4 ) A_{1}=frac{1}{2 sqrt{pi} tan ^{-1}left(frac{sqrt{2}}{4}right)} A1=2π tan−1(42 )1，代入有 E 1 = 0 , E 2 = π − 1 2 , E 3 = 3 2 π − 1 2 , E 4 = 3 π − 3 2 arccos ( − 1 3 ) , and E 5 = 5 2 π − 3 2 arccos ( − 23 27 ) E_{1}=0, E_{2}=pi^{-frac{1}{2}}, E_{3}=frac{3}{2} pi^{-frac{1}{2}},E_{4}=3 pi^{-frac{3}{2}} arccos left(-frac{1}{3}right), text { and } E_{5}=frac{5}{2} pi^{-frac{3}{2}} arccos left(-frac{23}{27}right) E1=0,E2=π−21,E3=23π−21,E4=3π−23arccos(−31), and E5=25π−23arccos(−2723)，将各个 E E E代入平均增益有： G R ˉ ( ψ = 1 ) ≈ 1 , G R ˉ ( ψ = 2 ) ≈ 1 + 1 R ˉ ψ σ R ψ 2 π , G R ˉ ( ψ = 3 ) ≈ 1 + 3 2 R ˉ ψ σ R ψ 2 π G R ˉ ( ψ = 4 ) ≈ 1 + 3 R ˉ ψ σ R ψ 2 π 3 arccos ( − 1 3 ) , G R ˉ ( ψ = 5 ) ≈ 1 + 5 2 R ˉ ψ σ R ψ 2 π 3 arccos ( − 23 27 ) . begin{array}{l} G_{bar{R}}(psi=1) approx 1, G_{bar{R}}(psi=2) approx 1+frac{1}{bar{R}_{psi}} sqrt{frac{sigma_{R_{psi}}^{2}}{pi}}, \ G_{bar{R}}(psi=3) approx 1+frac{3}{2 bar{R}_{psi}} sqrt{frac{sigma_{R_{psi}}^{2}}{pi}} \ G_{bar{R}}(psi=4) approx 1+frac{3}{bar{R}_{psi}} sqrt{frac{sigma_{R_{psi}}^{2}}{pi^{3}}} arccos left(-frac{1}{3}right), \ G_{bar{R}}(psi=5) approx 1+frac{5}{2 bar{R}_{psi}} sqrt{frac{sigma_{R_{psi}}^{2}}{pi^{3}}} arccos left(-frac{23}{27}right) . end{array} GRˉ(ψ=1)≈1,GRˉ(ψ=2)≈1+Rˉψ1πσRψ2 ,GRˉ(ψ=3)≈1+2Rˉψ3πσRψ2 GRˉ(ψ=4)≈1+Rˉψ3π3σRψ2 arccos(−31),GRˉ(ψ=5)≈1+2Rˉψ5π3σRψ2 arccos(−2723).这里我们只讨论1到5，本质由于我们只能用这种办法求出 A 0 A_0 A0和 A 1 A_1 A1，且 A 0 A_0 A0和 A 1 A_1 A1只能满足 E 1 E_1 E1到 E 5 E_5 E5的求解，规模再大就不行了。
小规模与大规模的处理问题重点在于不同情况对于 E i E_i Ei的处理手段不同。当大规模时，由Fisher-âŁ"Tippett定理， Ψ Psi Ψ个独立的标准正态分布随机变量中最大值满足 Gumbel分布，其期望的cdf函数为： F E Ψ ( x ) = exp ( − exp ( − x − Φ − 1 ( 1 − 1 Ψ ) Φ − 1 ( 1 − 1 e Ψ ) − Φ − 1 ( 1 − 1 Ψ ) ) ) F_{E_{Psi}}(x)=exp left(-exp left(-frac{x-Phi^{-1}left(1-frac{1}{Psi}right)}{Phi^{-1}left(1-frac{1}{e Psi}right)-Phi^{-1}left(1-frac{1}{Psi}right)}right)right) FEΨ(x)=exp(−exp(−Φ−1(1−eΨ1)−Φ−1(1−Ψ1)x−Φ−1(1−Ψ1)))
其中 Φ − 1 ( ⋅ ) Phi^{-1}(cdot) Φ−1(⋅)代表标准正态分布的反cdf，则期望有： E Ψ ≈ 2 ( ( 1 − β ) erf − 1 ( 1 − 2 Ψ ) + β erf − 1 ( 1 − 2 e Ψ ) ) E_{Psi} approx sqrt{2}left((1-beta) operatorname{erf}^{-1}left(1-frac{2}{Psi}right)+beta operatorname{erf}^{-1}left(1-frac{2}{e Psi}right)right) EΨ≈2 ((1−β)erf−1(1−Ψ2)+βerf−1(1−eΨ2))其中 β beta β为欧拉常数，代入平均增益表达式有： G R ˉ ≈ 1 + 2 σ R ψ 2 R ˉ ψ × ( ( 1 − β ) erf − 1 ( 1 − 2 Ψ ) + β erf − 1 ( 1 − 2 e Ψ ) ) begin{aligned} G_{bar{R}} approx & 1+frac{sqrt{2 sigma_{R_{psi}}^{2}}}{bar{R}_{psi}} timesleft((1-beta) operatorname{erf}^{-1}left(1-frac{2}{Psi}right)+beta operatorname{erf}^{-1}left(1-frac{2}{e Psi}right)right) end{aligned} GRˉ≈1+Rˉψ2σRψ2 ×((1−β)erf−1(1−Ψ2)+βerf−1(1−eΨ2))
由于 e r f erf erf函数有如下规律： erf − 1 ( x ) = − ln ( 1 − x 2 ) as x → 1 operatorname{erf}^{-1}(x)=sqrt{-ln left(1-x^{2}right)} text { as } x rightarrow 1 erf−1(x)=−ln(1−x2) as x→1
则平均增益函数可化简为： G R ˉ ( Ψ ) ∼ 1 + 2 σ R ψ 2 R ˉ ψ ( ( 1 − β ) − ln ( 4 ) + ln ( Ψ 2 Ψ − 1 ) + β 1 − ln ( 4 ) + ln ( Ψ 2 Ψ − 1 / e ) ) ∼ 2 σ R ψ 2 R ˉ ψ ln ( Ψ ) begin{aligned} G_{bar{R}}(Psi) & sim 1+frac{sqrt{2 sigma_{R_{psi}}^{2}}}{bar{R}_{psi}}left((1-beta) sqrt{-ln (4)+ln left(frac{Psi^{2}}{Psi-1}right)}right.\ &left.+beta sqrt{1-ln (4)+ln left(frac{Psi^{2}}{Psi-1 / e}right)}right) \ & sim frac{sqrt{2 sigma_{R_{psi}}^{2}}}{bar{R}_{psi}} sqrt{ln (Psi)} end{aligned} GRˉ(Ψ)∼1+Rˉψ2σRψ2 ((1−β)−ln(4)+ln(Ψ−1Ψ2) +β1−ln(4)+ln(Ψ−1/eΨ2) )∼Rˉψ2σRψ2 ln(Ψ) 可以看到当系统规模无限大时，平均增益有 G R ˉ ( Ψ ) = O ( ln ( Ψ ) ) as Ψ → ∞ G_{bar{R}}(Psi)=O(sqrt{ln (Psi)}) text{as } Psi rightarrow infty GRˉ(Ψ)=O(ln(Ψ) )as Ψ→∞，可以看出：当系统规模增至一定程度时，平均增益随模态数增速变缓。
对于准静态信道，应采用中断吞吐量作为性能指标，其定义如下： R ψ ^ out = max R , s.t. P ( R ψ ^ < R ) ≤ ϵ R_{widehat{psi}}^{text {out }}=max R, quad text { s.t. } mathbb{P}left(R_{widehat{psi}}<Rright) leq epsilon Rψ out =maxR, s.t. P(Rψ <R)≤ϵ R ψ out = max R , s.t. P ( R ψ < R ) ≤ ϵ R_{psi}^{text {out }}=max R, text { s.t. } mathbb{P}left(R_{psi}<Rright) leq epsilon Rψout =maxR, s.t. P(Rψ<R)≤ϵ
中断增益定义为： G R out = R ψ ^ out / R ψ out G_{R^{text {out }}}=R_{widehat{psi}}^{text {out }} / R_{psi}^{text {out }} GRout =Rψ out /Rψout
由于 P ( R ψ < R ) = F R ψ ( R ) mathbb{P}left(R_{psi}<Rright)=F_{R_{psi}}(R) P(Rψ<R)=FRψ(R) P ( R ψ ^ < R ) = ( F R ψ ( R ) ) Ψ mathbb{P}left(R_{widehat{psi}}<Rright)=left(F_{R_{psi}}(R)right)^{Psi} P(Rψ <R)=(FRψ(R))Ψ，其中 F R ψ F_{R_{psi}} FRψ与平均增益中相同，故而： R ψ ^ out ≈ F R ψ − 1 ( ϵ 1 Ψ ) = R ˉ ψ − 2 σ R ψ 2 erf − 1 ( 1 − 2 ϵ 1 Ψ ) R_{widehat{psi}}^{text {out }} approx F_{R_{psi}}^{-1}left(epsilon^{frac{1}{Psi}}right)=bar{R}_{psi}-sqrt{2 sigma_{R_{psi}}^{2}} operatorname{erf}^{-1}left(1-2 epsilon^{frac{1}{Psi}}right) Rψ out ≈FRψ−1(ϵΨ1)=Rˉψ−2σRψ2 erf−1(1−2ϵΨ1) R ψ out ≈ F R ψ − 1 ( ϵ ) = R ˉ ψ − 2 σ R ψ 2 erf − 1 ( 1 − 2 ϵ ) R_{psi}^{text {out }} approx F_{R_{psi}}^{-1}(epsilon)=bar{R}_{psi}-sqrt{2 sigma_{R_{psi}}^{2}} operatorname{erf}^{-1}(1-2 epsilon) Rψout ≈FRψ−1(ϵ)=Rˉψ−2σRψ2 erf−1(1−2ϵ)代入中断增益表达式有： G R out ≈ R ˉ ψ − 2 σ R ψ 2 erf − 1 ( 1 − 2 ϵ 1 Ψ ) R ˉ ψ − 2 σ R ψ 2 erf − 1 ( 1 − 2 ϵ ) G_{R^{text {out }}} approx frac{bar{R}_{psi}-sqrt{2 sigma_{R_{psi}}^{2}} operatorname{erf}^{-1}left(1-2 epsilon^{frac{1}{Psi}}right)}{bar{R}_{psi}-sqrt{2 sigma_{R_{psi}}^{2}} operatorname{erf}^{-1}(1-2 epsilon)} GRout ≈Rˉψ−2σRψ2 erf−1(1−2ϵ)Rˉψ−2σRψ2 erf−1(1−2ϵΨ1)
当模态数 Ψ → ∞ Psi rightarrow infty Ψ→∞时，我们有 1 − 2 ϵ 1 Ψ → − 1 1-2 epsilon^{frac{1}{Psi}} rightarrow-1 1−2ϵΨ1→−1，且 erf − 1 ( x ) = − − ln ( 1 − x 2 ) as x → − 1 operatorname{erf}^{-1}(x)=-sqrt{-ln left(1-x^{2}right)} text { as } x rightarrow-1 erf−1(x)=−−ln(1−x2) as x→−1，故而有如下近似： G R out ( Ψ ) ∼ R ˉ ψ R ˉ ψ − 2 σ R ψ 2 erf − 1 ( 1 − 2 ϵ ) + 2 σ R ψ 2 R ˉ ψ − 2 σ R ψ 2 erf − 1 ( 1 − 2 ϵ ) × − ln ( 1 − ( 1 − 2 ϵ 1 Ψ ) 2 ) ∼ 2 σ R ψ 2 R ˉ ψ − 2 σ R ψ 2 erf − 1 ( 1 − 2 ϵ ) − ln ( 1 − ϵ 1 Ψ ) ∼ ( a ) 2 σ R ψ 2 R ˉ ψ − 2 σ R ψ 2 erf − 1 ( 1 − 2 ϵ ) ln ( Ψ ) , begin{aligned} G_{R^{text {out }}}(Psi) sim & frac{bar{R}_{psi}}{bar{R}_{psi}-sqrt{2 sigma_{R_{psi}}^{2}} operatorname{erf}^{-1}(1-2 epsilon)} \ &+frac{sqrt{2 sigma_{R_{psi}}^{2}}}{bar{R}_{psi}-sqrt{2 sigma_{R_{psi}}^{2}} operatorname{erf}^{-1}(1-2 epsilon)} \ & times sqrt{-ln left(1-left(1-2 epsilon^{frac{1}{Psi}}right)^{2}right)} \ & sim frac{sqrt{2 sigma_{R_{psi}}^{2}}}{bar{R}_{psi}-sqrt{2 sigma_{R_{psi}}^{2}} operatorname{erf}^{-1}(1-2 epsilon)} sqrt{-ln left(1-epsilon^{frac{1}{Psi}}right)} \ & stackrel{(a)}{sim} frac{sqrt{2 sigma_{R_{psi}}^{2}}}{bar{R}_{psi}-sqrt{2 sigma_{R_{psi}}^{2}} operatorname{erf}^{-1}(1-2 epsilon)} sqrt{ln (Psi)}, end{aligned} GRout (Ψ)∼Rˉψ−2σRψ2 erf−1(1−2ϵ)Rˉψ+Rˉψ−2σRψ2 erf−1(1−2ϵ)2σRψ2 ×−ln(1−(1−2ϵΨ1)2) ∼Rˉψ−2σRψ2 erf−1(1−2ϵ)2σRψ2 −ln(1−ϵΨ1) ∼(a)Rˉψ−2σRψ2 erf−1(1−2ϵ)2σRψ2 ln(Ψ) ,其中 ( a ) (a) (a)由 − ln ( 1 − ϵ 1 Ψ ) sqrt{-ln left(1-epsilon^{frac{1}{Psi}}right)} −ln(1−ϵΨ1) 的泰勒展开得到，所以： G R out ( Ψ ) ∼ 2 σ R ψ 2 R ˉ ψ − 2 σ R ψ 2 erf − 1 ( 1 − 2 ϵ ) ln ( Ψ ) G_{R^{text {out }}}(Psi) sim frac{sqrt{2 sigma_{R_{psi}}^{2}}}{bar{R}_{psi}-sqrt{2 sigma_{R_{psi}}^{2}} operatorname{erf}^{-1}(1-2 epsilon)} sqrt{ln (Psi)} GRout (Ψ)∼Rˉψ−2σRψ2 erf−1(1−2ϵ)2σRψ2 ln(Ψ) 可以看到，中断增益同样有 G R out ( Ψ ) = O ( ln ( Ψ ) ) as Ψ → ∞ G_{R^{text {out }}}(Psi)=O(sqrt{ln (Psi)}) text { as } Psi rightarrow infty GRout (Ψ)=O(ln(Ψ) ) as Ψ→∞，即当系统规模增至一定程度时，平均增益随模态数增速变缓。同时可以看出，当系统规模无穷大时，平均增益与中断增益有相同的增长模式。
信道复增益服从复高斯分布： α ψ , i , l ∼ C N ( 0 , σ α , ψ , i 2 ) alpha_{psi, i, l} sim mathcal{C N}left(0, sigma_{alpha, psi, i}^{2}right) αψ,i,l∼CN(0,σα,ψ,i2)，其中 σ α , ψ , i 2 sigma_{alpha, psi, i}^{2} σα,ψ,i2代表第 i i i个簇的平均功率，且 ∑ i = 1 N ψ , c σ α , ψ , i 2 = γ ψ sum_{i=1}^{N_{psi, c}} sigma_{alpha, psi, i}^{2}=gamma_{psi} ∑i=1Nψ,cσα,ψ,i2=γψ，其中 γ ψ gamma_{psi} γψ是使信道满足 E { ∥ H ψ ∥ F 2 } = N r N t mathbb{E}left{left|mathbf{H}_{psi}right|_{F}^{2}right}=N_{r} N_{t} E{∥Hψ∥F2}=NrNt的归一化系数。
同一簇中： θ ψ , i , l r theta_{psi, i, l}^{r} θψ,i,lr满足均值为 θ ψ , i r theta_{psi, i}^{r} θψ,ir，范围为 σ θ r sigma_{theta^{r}} σθr的均匀分布，发端同理。
对簇的中心角度，以收端为例， θ ψ , i r theta_{psi, i}^{r} θψ,ir服从 [ − π / 2 , π / 2 ] [-pi/2,pi/2] [−π/2,π/2]上的均匀分布。
N r = N t = 17 , L r = L t = 5 , N ψ , c l = 10 , N ψ , r y = 8 , σ θ r = σ θ t = 3 ∘ , and d / λ = 1 / 2 N_{r}=N_{t}=17, L_{r}=L_{t}=5, N_{psi, mathrm{cl}}=10, N_{psi, mathrm{ry}}=8,sigma_{theta^{r}}=sigma_{theta^{t}}=3^{circ}, text { and } d / lambda=1 / 2 Nr=Nt=17,Lr=Lt=5,Nψ,cl=10,Nψ,ry=8,σθr=σθt=3∘, and d/λ=1/2，实验重复次数5000次。该簇数及射线数基于对60GHz的毫米波测量结果。
该论文在增益问题的仿真阶段关注如下几个结果：
可以看出将 R ψ R_{psi} Rψ建模为高斯过程在各个情况拟合程度都较好。
该图需要注意的是， ϵ epsilon ϵ变小时， G R o u t G_{R^{out}} GRout变大，表明在中断要求变得严格时，可重构带来的吞吐量增益更加明显。
本文发布于:2024-02-04 07:33:14，感谢您对本站的认可！
本文链接：https://www.4u4v.net/it/170702111853576.html
版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系，我们将在24小时内删除。
| 留言与评论（共有 0 条评论） |
