双自由度振动系统/车辆悬架的受力分析及建模——以1/4车辆悬架为例

双自由度振动系统/车辆悬架的受力分析及建模——以1/4车辆悬架为例

引入

        在做悬架垂向运动控制或动态力学计算时，双质量振动系统微分方程是所有工作的基础，常见如下形式：（注意分别是簧上质量、簧下质量、路面的垂向位移变化）

        这里给出两种动力学方程：

（1）                                

（2）                                

        仔细观察，这两个方程组是完全一样的。在研读论文时，可能会发现一个令人懊恼的问题：不同的论文有不同的写法，在我们试着读懂这些论文时，浪费了大量的时间在推导这一个小小的公式上，其实只是不同作者的思路不同罢了。在双自由度振动系统问题上，大致分为两类，而最后得出的动力学方程也不外乎以上“两种”形式。

        下面分别给出这两种形式的推导过程。

（1）正常思维

        首先假设 zr > zt > z , 也就是假设  路面位移  >  簧下质量位移  >  簧上质量位移 。（其实这个假设没有必要，因为这是事实。因为路面振动引起了簧下质量振动，又因为簧下质量振动引起了簧上质量振动，振动系统的目的就是要减震，上边的位移比下边小也很好理解。）

        基于此，我们可以进行受力分析，然后利用牛顿定律得出方程。

        受力分析：

        其中，惯性力和的方向非常重要，记住：惯性力方向与加速度方向相反。

        对于M，因为簧下质量位移  >  簧上质量位移，弹簧和阻尼都被压缩，所以k弹簧和阻尼力都向上；又因为在这种假设情况下，是簧下质量位移引起的簧上质量位移，故M具有向上运动趋势，惯性力向下。

        对于m，因为路面位移  >  簧下质量位移  >  簧上质量位移，  所以弹簧力向上， k弹簧和阻尼力方向与M所受这两个力方向相反，所以向下；又因为在这种假设情况下，是路面位移引起的簧下质量位移，故m有向上加速趋势，所以这里加速度方向向上，惯性力方向向下。

        根据受力分析结果以及牛顿定律不难得出（1）式。

（2）逆向思维

不同的人考虑问题从不同角度出发，对于（2）式的推导，可以这样理解：

        假设M之上存在一个 弹簧  或者 阻尼  （无关紧要）连接着M与天空，这同样是著名的天钩控制（sky-hook）理论的理想状态。模型如下：

        这里我们假设天空也存在一个位移  ，并且假设 天空位移 > 簧上质量位移 > 簧下质量位移 > 路面位移。基于此，

受力分析：

相信通过对（1）式的理解学习，第（2）种情况的受力分析就不难理解了。

        对于M，因为 簧上质量位移  >  簧下质量位移，弹簧 k 和阻尼都被拉伸，所以k弹簧和阻尼力都向下，弹簧  被拉伸，  弹簧力向上；又因为这种假设情况下，是簧上质量位移引起的簧下质量位移，故M具有向上运动趋势，惯性力向下。

        对于m，因为簧上质量位移  >  簧下质量位移  >  路面位移，  弹簧被拉伸，所以  弹簧力向下，k弹簧和阻尼力方向与 M所受这两个力 方向相反，所以向上；又因为在这种假设情况下，是簧下质量位移引起的路面位移，故m有向上加速趋势，所以这里加速度方向向上，惯性力方向向下。

可以得到以下方程：

  (3)              ​​​​​​​                

        这里多了  ，因为实际上不存在这样一个弹簧连接天空和M，所以可以令  =0，消去这一项，从而得到（2）式。

        可以发现，两种情况下，M和m的惯性力方向都是向下的，因为无论是收到推力还是拉力，合力方向向上，加速度方向向上，惯性力方向也就向下了。

        无论是  认为 地面位移引起振动 还是 认为M位移引起振动，最后得到的微分方程是一样的，或许放这样两张图更容易理解：

  总之，不论在哪种情况下，最后得出的方程肯定是一样的，码字不易，你懂的。