菜鸡HP的被虐日常（11）算得头皮发麻

菜鸡HP的被虐日常（11）算得头皮发麻

B y H o l y P u s h Byquad HolyPush ByHolyPush

由于法力无边的 c j cj cj看所有人都太菜了，所以这几天并没有给出很难的题目让愚蠢的 H P HP HP原地升天，所以这几天愚蠢的 H P HP HP并没有什么事可以干的……直到他遇到了一道题……

已知数列 { a n } left {a_nright} {an​}满足 a n = s i n n x + c o s n x , a_n=sin^nx+cos^nx, an​=sinnx+cosnx,若 a 6 = 11 36 a_6=frac{11}{36} a6​=3611​，则 a 14 = a_{14}= a14​=多少？

愚蠢的 H P : HP: HP:既然是一道数列题，那就必须找相邻两项之间的关系惹。

T w o t h o u s a n d y e a r s l a t e r . . . Two; thousand;years; Two 
愚蠢的 H P HP HP就算变成太上老君也没能把这道题做出来。突然，一声尖锐的嘲讽声飘了过来。听起来不像是聪明的 t x l txl txl，定睛一看，是喜欢嘲讽愚蠢的 H P HP HP的大魔头 w j wj wj。（大魔头 w j wj wj喜欢嘲讽 H P HP HP的原因是 H P HP HP和聪明的 t x l txl txl太过亲近引起了他的不满，强烈要求出现在菜鸡 H P HP HP的被虐日常的世界中）事实上这也不可能是聪明的 t x l txl txl，因为聪明的 t x l txl txl在一天之前刚刚因为化学成绩过于优异进入了国集没空搭理愚蠢的 H P HP HP。 O h m y L a d y G a g a Oh; my; Lady Gaga Oh my LadyGaga世界上怎么能有那么完美的人（ H P HP HP娇羞）

大魔头 w j : wj: wj:你好笨啊，别抓着这个方法不放啊，就算你找不到递推式，你暴算还是会算的吧 ? ? ?
愚蠢的 H P HP HP便打算把 s i n x sinx sinx求出来。
大魔头 w j : wj: wj:算了算了还是我教你吧。我这里有三种方法，先从最笨的开始讲起。

我们首先可以发现的是它的下标都是偶数项，然后次数又很高，不如就先换个元呗。比如说我们把 c o s 2 x cos^2x cos2x换成 t t t。

我们现在有一个方程 ( 1 − t ) 5 + t 5 = 11 36 (1-t)^5+t^5=frac{11}{36} (1−t)5+t5=3611​。记起之前我们讲过的二项式定理吗？用二项式定理将其展开可以得到 5 t 4 − 10 t 3 + 10 t 2 − 5 t + 1 = 11 36 5t^4-10t^3+10t^2-5t+1=frac{11}{36} 5t4−10t3+10t2−5t+1=3611​。稍微化简一下得到 t 4 − 2 t 3 + 2 t 2 − t + 5 36 = 0 t^4-2t^3+2t^2-t+frac{5}{36}=0 t4−2t3+2t2−t+365​=0。

看到这个式子我们不得不兴奋一阵子，因为可以预测的是接下来我们要展开的 a 14 a_{14} a14​项必定也是一个多项式。

已知一个根几乎无法求解的方程，求另一个多项式的值 … … …… ……这种操作 … … …… ……
愚蠢的 H P : HP: HP:降次惹，小朋友都知道。
大魔头 w j : wj: wj:小朋友都知道你还不会用这种方法算？
愚蠢的 H P : HP: HP:这种完全不需要脑子只需要硬算的方法我欣赏不来厚。

为了降次，我们将这个方程化为降次常用的形式，即最高次项留在左边，其余都移到右边去。
t 4 = 2 t 3 − 2 t 2 + t − 5 36 t^4=2t^3-2t^2+t-frac{5}{36} t4=2t3−2t2+t−365​

我们满怀期待地将 a 14 a_{14} a14​展开。 a 14 = ( 1 − t ) 7 + t t = 7 t 6 − 21 t 5 + 35 t 4 − 35 t 3 + 21 t 2 − 7 t + 1 a_{14}=(1-t)^7+t^t=7t^6-21t^5+35t^4-35t^3+21t^2-7t+1 a14​=(1−t)7+tt=7t6−21t5+35t4−35t3+21t2−7t+1
利用上面那个方程对此不断降次。由于降次过程极度令人厌烦，故不再呈现。这里将直接写出降次的结果。 ( ( (注：由于降次过程烦琐，为了减少算错的可能，建议将常数项 1 1 1和其他项公共的系数 7 7 7先单独提出再进行计算 ) ) )。

最后降次的结果将是 − 35 36 ( t 2 − t + 1 ) + 1 -frac{35}{36}(t^2-t+1)+1 −3635​(t2−t+1)+1
为什么要写这样的结果呢 ? ? ?为什么不打开呢 ? ? ?
一是因为简便计算的时候 1 1 1是单独计算的，二是正是因为我们这种简化计算的方法，让我们歪打正着看到了令人兴奋的结构 : t 2 − t + 1 :t^2-t+1 :t2−t+1。虽然不像常规降次那样最后只剩下一个常数项，但这的确也令人兴奋。

为什么？平方试试！

( t 2 − t + 1 ) 2 = t 4 − 2 t 3 + 3 t 2 − 2 t + 1 (t^2-t+1)^2=t^4-2t^3+3t^2-2t+1 (t2−t+1)2=t4−2t3+3t2−2t+1。对比我们的第一个方程……这不就是 ( t 4 − 2 t 3 + 2 t 2 − t ) + ( t 2 − t + 1 ) (t^4-2t^3+2t^2-t)+(t^2-t+1) (t4−2t3+2t2−t)+(t2−t+1)吗？
令 s = t 2 − t + 1 ， s=t^2-t+1， s=t2−t+1，则 s 2 = s − 5 36 s^2=s-frac{5}{36} s2=s−365​。解方程，得 s = 1 6 s=frac{1}{6} s=61​或 5 6 frac{5}{6} 65​。选哪个呢？
显然 t 2 − t + 1 ≥ 3 4 t^2-t+1≥frac{3}{4} t2−t+1≥43​，所以 s = 5 6 s=frac{5}{6} s=65​。
然后就可以愉快地得到结果 41 216 frac{41}{216} 21641​了。真是泰累勒。

虽然结果很愉快，但是中间步骤很让人恶心，特别是如果你算错一步，那么就整段垮掉……我们需要一些不容易算错的方法。但是这种想法是难能可贵的，所以我们以此为思路去考虑第二种算起来（稍微）简单的方法。

逆推累，那就顺推吧。一样的，方便起见，换个元。设 a = s i n 2 x , b = c o s 2 x a=sin^2x,b=cos^2x a=sin2x,b=cos2x，则显然的 a + b = 1 a+b=1 a+b=1。我们现在已经知道一次，我们需要把它和五次作联系，即 a 5 + b 5 = 11 36 a^5+b^5=frac{11}{36} a5+b5=3611​，并且推到七次。

先二次吧。 a 2 + b 2 = ( a + b ) 2 − 2 a b = 1 − 2 a b a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1-2ab a2+b2=(a+b)2−2ab=1−2ab。
三次看起来也是必要的。 a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) = ( a + b ) 2 − 3 a b = 1 − 3 a b a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)^2-3ab=1-3ab a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)=(a+b)2−3ab=1−3ab。
然后五次就很高兴地出现了。
( a 2 + b 2 ) ( a 3 + b 3 ) = a 5 + b 5 + a 2 b 2 ( a + b ) = a 5 + b 5 + a 2 b 2 = 11 36 + a 2 b 2 = ( 1 − 2 a b ) ( 1 − 3 a b ) = 6 a 2 b 2 − 5 a b + 1 (a^2+b^2)(a^3+b^3)=a^5+b^5+a^2b^2(a+b)=a^5+b^5+a^2b^2=frac{11}{36}+a^2b^2=(1-2ab)(1-3ab)=6a^2b^2-5ab+1 (a2+b2)(a3+b3)=a5+b5+a2b2(a+b)=a5+b5+a2b2=3611​+a2b2=(1−2ab)(1−3ab)=6a2b2−5ab+1。
由此我们可以解出 a b = 1 6 ab=frac{1}{6} ab=61​或 5 6 frac{5}{6} 65​（好熟悉的数字厚）。
但由于 a b = s i n 2 x c o s 2 x = 1 4 s i n 2 ( 2 x ) ≤ 1 4 ab=sin^2xcos^2x=frac{1}{4}sin^2(2x)≤frac{1}{4} ab=sin2xcos2x=41​sin2(2x)≤41​，所以 a b = 1 6 ab=frac{1}{6} ab=61​。

然后我们把它和七次联系在一起。
( a 5 + b 5 ) ( a 2 + b 2 ) = a 7 + b 7 + a 2 b 2 ( a 3 + b 3 ) (a^5+b^5)(a^2+b^2)=a^7+b^7+a^2b^2(a^3+b^3) (a5+b5)(a2+b2)=a7+b7+a2b2(a3+b3)。由于各项都已经知道，所以用脚趾头都可以算出 a 7 + b 7 = 41 216 a^7+b^7=frac{41}{216} a7+b7=21641​，即 a 14 = 41 216 。 a_{14}=frac{41}{216}。 a14​=21641​。
大魔头 w j : wj: wj:像这种题你只要有耐心都能推下去。

但是还是过于烦了……而且毕竟是道数列题，有没有数列的做法呢？
大魔头 w j : wj: wj:其实还是有的！我之前也没想到这种做法，是法力无边的 w j l wjl wjl吴巨佬先生提出的。
愚蠢的 H P : HP: HP:等等，法力无边的不是 c j cj cj吗？
大魔头 w j : wj: wj:谁说法力无边的人只能有一个了？

由于奇数项完全没用，所以我们看看相邻偶数项之间有没有什么微妙的关系。

a n − 2 = s i n n − 2 x + c o s n − 2 x a_{n-2}=sin^{n-2}x+cos^{n-2}x an−2​=sinn−2x+cosn−2x
要向 a n a_n an​靠拢，不如分子分母先乘个 s i n 2 x c o s 2 x sin^2xcos^2x sin2xcos2x吧。
a n − 2 = s i n n x c o s 2 x + s i n 2 x c o s n x s i n 2 x c o s 2 x a_{n-2}=frac{sin^nxcos^2x+sin^2xcos^nx}{sin^2xcos^2x} an−2​=sin2xcos2xsinnxcos2x+sin2xcosnx​
又有 s i n sin sin又有 c o s cos cos太讨厌了，不如化一下吧。
a n − 2 = s i n n x ( 1 − s i n 2 x ) + ( 1 − c o s 2 x ) c o s n x s i n 2 x c o s 2 x a_{n-2}=frac{sin^nx(1-sin^2x)+(1-cos^2x)cos^nx}{sin^2xcos^2x} an−2​=sin2xcos2xsinnx(1−sin2x)+(1−cos2x)cosnx​
等等，这分子，不就是 a n − a n + 2 a_n-a_{n+2} an​−an+2​吗？
a n − 2 = a n − a n + 2 s i n 2 x c o s 2 x a_{n-2}=frac{a_n-a_{n+2}}{sin^2xcos^2x} an−2​=sin2xcos2xan​−an+2​​。
这分母不是那么好看，先换个元吧。令 t = s i n 2 x c o s 2 x t=sin^2xcos^2x t=sin2xcos2x.，则
a n − 2 = a n − a n + 2 t a_{n-2}=frac{a_n-a_{n+2}}{t} an−2​=tan​−an+2​​。

通过这个可以得到什么呢 ? ? ?我们目前貌似只有 s i n 2 x + c o s 2 x = 1 sin^2x+cos^2x=1 sin2x+cos2x=1这一个条件能用上去。
w a i t ! wait! wait!我们要解封， a 0 a_0 a0​它是时候该出场了。虽然在中国教材内明确规定数列下标是从 1 1 1开始的正整数，但是， 0 0 0下标和分数下标，甚至负数下标在实际运算中可能会起到意想不到的效果。
a 0 = s i n 0 x + c o s 0 x = 2 a_0=sin^0x+cos^0x=2 a0​=sin0x+cos0x=2。
a 2 = s i n 2 x + c o s 2 x = 1 a_2=sin^2x+cos^2x=1 a2​=sin2x+cos2x=1。
代到上面的式子里就是 a 0 = a 2 − a 4 t , a_0=frac{a_2-a_4}{t}, a0​=ta2​−a4​​,即 a 4 = 1 − 2 t a_4=1-2t a4​=1−2t。
再写下去， a 2 = a 4 − a 6 t a_2=frac{a_4-a_6}{t} a2​=ta4​−a6​​，得 a 6 = 1 − 3 t a_6=1-3t a6​=1−3t。

愚蠢的 H P : HP: HP:再写下去要死了厚，我不想解三次方程。
大魔头 w j : wj: wj:那就别写了呗。已知条件里 a 10 , a_{10}, a10​,我们要求 a 14 a_{14} a14​，我们目前求到 a 6 a_6 a6​，你就不能发现什么吗？显然我们要找差为 4 4 4的项的关系了！

和上面求相邻偶数关系的做法类似，我们分子分母同时乘上一个 s i n 4 x c o s 4 x sin^4xcos^4x sin4xcos4x。
a n − 4 = s i n 4 x c o s n x + c o s 4 x s i n n x t 2 a_{n-4}=frac{sin^4xcos^nx+cos^4xsin^nx}{t^2} an−4​=t2sin4xcosnx+cos4xsinnx​
愚蠢的 H P : HP: HP:三角函数的四次之前我还没研究过有什么关系厚。
大魔头 w j : wj: wj:我们不是研究过了吗？只不过我们是用 t t t表示的！
愚蠢的 H P : ! HP:; ! HP: !

a n − 4 = s i n 4 x c o s n x + c o s 4 x s i n n x t 2 = ( 1 − 2 t − c o s 4 x ) c o s n x + ( 1 − 2 t − s i n 4 x ) s i n n x t 2 = ( 1 − 2 t ) a n − a n + 4 t 2 a_{n-4}=frac{sin^4xcos^nx+cos^4xsin^nx}{t^2}=frac{(1-2t-cos^4x)cos^nx+(1-2t-sin^4x)sin^nx}{t^2}=frac{(1-2t)a_n-a_{n+4}}{t^2} an−4​=t2sin4xcosnx+cos4xsinnx​=t2(1−2t−cos4x)cosnx+(1−2t−sin4x)sinnx​=t2(1−2t)an​−an+4​​
然后我们就可以把 a 2 , a 6 , a 10 a_2,a_6,a_{10} a2​,a6​,a10​三项联系起来了。
a 2 = ( 1 − 2 t ) a 6 − a 10 t 2 a_2=frac{(1-2t)a_6-a_{10}}{t^2} a2​=t2(1−2t)a6​−a10​​，即 t 2 − t + 5 36 = 0 t^2-t+frac{5}{36}=0 t2−t+365​=0。在第二种做法里我们已经解过方程了，故这里直接写 t = 1 6 t=frac{1}{6} t=61​了。
然后再写一遍这个式子。
a 6 = ( 1 − 2 t ) a 10 − a 14 t 2 a_6=frac{(1-2t)a_{10}-a_{14}}{t^2} a6​=t2(1−2t)a10​−a14​​，把各数据代入得 a 14 = 41 216 a_{14}=frac{41}{216} a14​=21641​
大魔头 w j : wj: wj:由于我们发现这个式子是一个二阶线性递推式，所以我们可以求出所有偶数项的通项公式。事实上，根据已知条件我们也能把 s i n x , c o s x sinx,cosx sinx,cosx求出来，这样我们也能求出奇数项的通项公式。利用数列的做法远比前两种暴算优秀。

愚蠢的 H P : HP: HP:就这破题居然能整出那么多花样！
大魔头 w j : wj: wj:说哪题是破题呢？破题你也不会做。
愚蠢的 H P HP HP委屈 . j p g .jpg .jpg。

欲知后事如何，请听下回因式分解。