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3.1 直流变压器模型

• 如下图所示，任何开关变换器都包含三个部分：电源输入端、输出端和控制输入端。输入功率按控制输入进行特定的功率变换输出到负载。理想状态下，这个过程以100%的效率完成。即 P i n = P o u t P_{in}=P_{out} Pin​=Pout​ V g I g = V I V_gI_{g}=VI Vg​Ig​=VI
  
• 这种关系只有在平衡（DC）条件下成立，在瞬态过程，变换器的电感和电容存储的能量会改变。
• 在之前的内容中，可以得到变换器的输入输出电压表达式： V = M ( D ) V g V=M(D)V_g V=M(D)Vg​ M(D)为电压变换比，如Buck变换器的 M ( D ) = D M(D)=D M(D)=D，Boost变换器的 M ( D ) = 1 ( 1 − D ) M(D)=frac{1}{(1-D)} M(D)=(1−D)1​
• 通常情况下，对于工作在连续导通模式下，且包含相等数量的独立电感和电容的理想PWM变换器，可以证明变换比M(D)是D的函数，与负载无关。
• 根据以上表达式，可得 I g = M ( D ) I I_g=M(D)I Ig​=M(D)I
• 现在我们有了输入输出电压关系、输入输出电流关系，可以获得一个等效的电路模型，输入功率与输出功率相同。输出电压等于匝数乘以输入电压，其中的匝数为平衡变换比 M ( D ) M(D) M(D)。
  
• 因此，可以使用如下图所示的理想变压器模型对理想的DC-DC变换器建模。这个模型表示了任何开关DC-DC变换器的一阶直流特性：理想情况下以占空比 D D D控制的100%效率的直流电压和电流的变换。水平的实线表示该元件是理想的，且能传递直流电压和电流。这种等效电路的优点：对于固定的占空比，它是时不变的，没有开关或开关纹波需要处理，且仅对波形重要的直流分量进行建模。
  
• 对于如下电路，进行戴维南等效电路之后，进行分析，输出电压 V V V为两个电阻分压得到。
  
• 可得到 V = M ( D ) V 1 R M 2 ( D ) R 1 + R V=M(D)V_1frac{R}{M^2(D)R_1+R} V=M(D)V1​M2(D)R1​+RR​
• 显然，直流变压器等效电路的方法是理解变换器电路的有效工具。

考虑电感铜损

• 由前可得的直流变压器模型，来对变换器的其他属性进行建模。 添加电阻模拟功率损耗等非理想因素。

• 首先考虑下boost电路中的电感的铜损，实际电感器会表现出两种功率损耗：

  • 由导线电阻导致的铜损；
  • 由磁芯中的磁滞和涡流导致的磁芯损耗。

• 如下图，给出使用电感器 L L L与电阻 R L R_L RL​ 串联的结构描述适合电感器铜损的模型。
  

• 将此模型插入boost变换器中，使用电感伏秒平衡、电容电荷平衡和小纹波近似等原理分析电路
  

• 当 0 < t < D T s 0<t<DT_s 0<t<DTs​，开关位于1位置
  

  • 理想电感 L L L两端的电感电压为 v L ( t ) = V g − i ( t ) R L ≈ V g − I R L v_L(t)=V_g-i(t)R_L approx V_g-IR_L vL​(t)=Vg​−i(t)RL​≈Vg​−IRL​
  • 电容 C C C的电流为 i C ( t ) = − v R ≈ − V R i_C(t)=-frac{v}{R} approx -frac{V}{R} iC​(t)=−Rv​≈−RV​

• 当 D T s < t < D ′ T s DT_s<t<D'T_s DTs​<t<D′Ts​，开关位于2位置
  

  • 此时，电感 L L L两端的电感电压为 v L ( t ) = V g − i ( t ) R L − v ≈ V g − I R L − V v_L(t)=V_g-i(t)R_L-v approx V_g-IR_L-V vL​(t)=Vg​−i(t)RL​−v≈Vg​−IRL​−V
  • 电容 C C C的电流为 i C ( t ) = i ( t ) − v R ≈ I − V R i_C(t)=i(t)-frac{v}{R} approx I-frac{V}{R} iC​(t)=i(t)−Rv​≈I−RV​

• 电感伏秒平衡得 ( V g − I R L ) D + ( V g − I R L − V ) D ′ = 0 (V_g-IR_L)D+(V_g-IR_L-V)D'=0 (Vg​−IRL​)D+(Vg​−IRL​−V)D′=0

• 电容电荷平衡得 ( − V R ) D + ( I − V R ) D ′ = 0 (-frac{V}{R})D+(I-frac{V}{R})D'=0 (−RV​)D+(I−RV​)D′=0

• 联立两个关系式，可解得 I = V R D ′ I=frac{V}{RD'} I=RD′V​ V = 1 D ′ V g ( 1 + R L R D ′ 2 ) V=frac{1}{D'}frac{V_g}{(1+frac{R_L}{RD'^2})} V=D′1​(1+RD′2RL​​)Vg​​

• 波形图如下
  

• 以上便是变换器输出电压的求解方法，下面给出了不同 R L / R R_L/R RL​/R情况下的图形。从表达式中不难发现，包含了两个部分：

  • 1 / D ′ 1/D' 1/D′，这是 R L = 0 R_L=0 RL​=0时的理想变换比。
  • 1 / ( 1 + R L / R D ′ 2 ) 1/(1+R_L/RD'^2) 1/(1+RL​/RD′2)，这个描述了电感绕线电阻的影响。如果 R L R_L RL​远小于 R D ′ 2 RD'^2 RD′2，第二项近似为0，变换比近似等于理想值。随着 R L R_L RL​的相较于 R D ′ 2 RD'^2 RD′2的逐渐增加，第二项的值不能忽略了，此时的变换比就减小了。
    

• 上图还有一个作用，就是可以看出电感绕线电阻限制了变换器的最大输出电压。

  • 如 R L / R = 0.02 R_L/R=0.02 RL​/R=0.02时，可以看出 V / V g V/V_g V/Vg​的最大值接近3.5。
  • 如期望 V / V g V/V_g V/Vg​取到5，则电感绕线电阻必须减小到小于负载电阻的1%。问题是，减小电感绕线电阻需要构建更大，更重，更贵的电感器。

• 因此，通常是先正确建模考虑铜损等问题，选择能够满足设计需求的最小电感器来优化电路设计。接下来说明如何考虑铜损因素建模。