【基础课程】概率论

【基础课程】概率论

基本关系

• 概率论中的事件A对应集合论中的集合A , 即.事件可以看作是集合。
  A ⊂ B A⊂B A⊂B 在概率论中的意义 : 事件A发生必然导致事件B发生。

• A − B = A ∩ B ‾ = A B ‾ = A − A B = ( A ∪ B ) − B A-B= A∩overline B=Aoverline B=A-AB=(A∪B)-B A−B=A∩B=AB=A−AB=(A∪B)−B
  ( A ∩ B ) ‾ = A ‾ ∪ B ‾ ( A ∪ B ) ‾ = A ‾ ∩ B ‾ overline{(A∩B)}=overline A∪overline B quadquadquad overline{(A∪B)}=overline A∩overline B (A∩B)​=A∪B(A∪B)​=A∩B
  分配律 : A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) quadquadquad A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

• 加法公式 : 若A∩B=∅ 则 P(A∪B)=P(A)+P(B). 推论:若A⊃B则P(A-B)=P(A)-P(B). 因为A=(A-B)∪B且(A-B)∩B=∅

• 乘法公式 : 对任意事件A与B都有 P(AB)=P(A)·P(B|A). 推论:P(ABCDE)=P(A)·P(B|A)·P(C|AB)·P(D|ABC)·P(E∣ABCD)

• 容斥原理 : 加法公式的更一般情况, 计算任意一系列事件的 , P( A 1 A_1 A1​∪ A 2 A_2 A2​∪···∪ A n A_n An​)
  ······ P36 ······
  例如对任意事件都有 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) , P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).
  注 : 此公式中的积事件一般结合上述的乘法公式进行计算。 乘法公式实际上是分步(骤)的思想。

• 全概率公式 : 设 B 1 B_1 B1​, B 2 B_2 B2​,…, B n B_n Bn​是样本空间 Ω Omega Ω的有穷剖分,则对任意事件A有 P(A)= Σ i Sigma_i Σi​P(A| B i B_i Bi​)·P( B i B_i Bi​).
  思想 : 对 Ω Omega Ω的分解

• 贝叶斯公式 :

• 一些小细节 :
  从条件概率P(A|B)=P(A∩B)÷P(B)不能得出P(A)与P(A|B)的必然关系, 不能说P(A)≤P(A|B)或P(A)≥P(A|B).

概率的计算

对于古典概率问题 (基本事件是有穷的且等可能发生的) :

• 计算概率时, 分子分母要么同时用排列, 要么同时用组合。即.对于分子分母上的表达式, 考虑问题所站的角度要相同。
  注: 排列和组合的差异只在于是否需要考虑顺序。
• 当被抽检对象的数目较大时, 可以把不返回抽样当作有返回抽样来简化计算。
• 抽签的中奖率与抽签顺序无关。 e.g.盒子中n个红球m个白球, 每次不放回地取一个, 第k次取到的是红球的概率均为 p = n ⋅ A m + n − 1 k − 1 A m + n k = n m + n ,p=frac{n·A^{k-1}_{m+n-1}}{A_{m+n}^k} = frac{n}{m+n} p=Am+nk​n⋅Am+n−1k−1​​=m+nn​