[Luogu P2483] 【模板】k短路（[SDOI2010]魔法猪学院）

[Luogu P2483] 【模板】k短路（[SDOI2010]魔法猪学院）

洛谷传送门

题目描述

iPig在假期来到了传说中的魔法猪学院，开始为期两个月的魔法猪训练。经过了一周理论知识和一周基本魔法的学习之后，iPig对猪世界的世界本原有了很多的了解：众所周知，世界是由元素构成的；元素与元素之间可以互相转换；能量守恒……。

iPig 今天就在进行一个麻烦的测验。iPig 在之前的学习中已经知道了很多种元素，并学会了可以转化这些元素的魔法，每种魔法需要消耗 iPig 一定的能量。作为 PKU 的顶尖学猪，让 iPig 用最少的能量完成从一种元素转换到另一种元素……等等，iPig 的魔法导猪可没这么笨！这一次，他给 iPig 带来了很多 1 号元素的样本，要求 iPig 使用学习过的魔法将它们一个个转化为 N 号元素，为了增加难度，要求每份样本的转换过程都不相同。这个看似困难的任务实际上对 iPig 并没有挑战性，因为，他有坚实的后盾……现在的你呀！

注意，两个元素之间的转化可能有多种魔法，转化是单向的。转化的过程中，可以转化到一个元素（包括开始元素）多次，但是一但转化到目标元素，则一份样本的转化过程结束。iPig 的总能量是有限的，所以最多能够转换的样本数一定是一个有限数。具体请参看样例。

输入输出格式

输入格式：

第一行三个数 N、M、E 表示iPig知道的元素个数（元素从 1 到 N 编号）、iPig已经学会的魔法个数和iPig的总能量。

后跟 M 行每行三个数 si、ti、ei 表示 iPig 知道一种魔法，消耗 ei 的能量将元素 si 变换到元素 ti 。

输出格式：

一行一个数，表示最多可以完成的方式数。输入数据保证至少可以完成一种方式。

输入输出样例

输入样例#1：

4 6 14.9
1 2 1.5
2 1 1.5
1 3 3
2 3 1.5
3 4 1.5
1 4 1.5

输出样例#1：

3

说明

有意义的转换方式共4种：

1->4，消耗能量 1.5

1->2->1->4，消耗能量 4.5

1->3->4，消耗能量 4.5

1->2->3->4，消耗能量 4.5

显然最多只能完成其中的3种转换方式（选第一种方式，后三种方式仍选两个），即最多可以转换3份样本。

如果将 E=14.9 改为 E=15，则可以完成以上全部方式，答案变为 4。

数据规模

占总分不小于 10% 的数据满足 N <= 6，M<=15。

占总分不小于 20% 的数据满足 N <= 100，M<=300，E<=100且E和所有的ei均为整数（可以直接作为整型数字读入）。

所有数据满足 2 <= N <= 5000，1 <= M <= 200000，1<=E<=107，1<=ei<=E，E和所有的ei为实数。

解题分析

毒瘤题卡我priority_queue和SPFA， 不开O2TLE，开了MLE…于是博主特判过了233

因为要得到尽量多的方案， 所以显然我们应该取前k短路使得它们的和小于E。

最短路很好求， 那么我们怎么求后面的(k-1)条路呢？这时我们可以使用启发式搜索，即A*算法， 在最短路的基础上求出前k短路。

a*搜索中的估价函数： f(x)=g(x)+h(x)f(x)=g(x)+h(x) f ( x ) = g ( x ) + h ( x ) f ( x ) = g ( x ) + h ( x ) $f(x)=g(x)+h(x)f(x)=g(x)+h(x)$，注意需保证估价长度 ⩽ 真实长度。定义如下：

f(x) f ( x ) $f(x)$ 表示 1 至 N 的总估计长度。
g(x) g ( x ) $g(x)$ 表示 1 至 x 所走过的路径总和。
h(x) h ( x ) $h(x)$ 表示 x 至 N 估计的长度，取 x 到 N 的最短路 d(x) d ( x ) $d(x)$ 即可，在反图中以起点为 N 跑一遍单源最短路来预处理。
建立一个以 f 值为关键字的小根堆，如下方式循环操作直到堆为空：

从堆中取出 f 值最小的节点 u 。
如果 u=n，那么就找到了一条 当前最优的路径，将E值减去当前路径的长度。
如果到达u点的长度和大于 E 就退出搜索。
拓展所有图中与 u 相邻的点 v ，若边权为 w ，则新的 f(v)=f(u)−d(u)+w+d(v) f ( v ) = f ( u ) − d ( u ) + w + d ( v ) $f(v)=f(u)-d(u)+w+d(v)$ ，并将点 v 压入堆中。

因为我们建立了小根堆， 可以保证像Dijkstra一样依次取到最短路， 次短路，第三短路…..

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstdlib>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <cmath>
#include <iostream>
#define R register
#define gc getchar()
#define IN inline
#define W while
#define db double
namespace SPFA
{using std::cout;using std::endl;using std:: memset;using std:: priority_queue;using std:: queue;#define MD 5005#define ME 200005int cnt;db tot;struct Edge{int to, nex;db val;}edge[ME << 2];int dot, line;int head1[MD], head2[MD], cot[MD];db dist[MD];bool inq[MD];IN void addedge(const int &from, const int &to, const db &len){edge[++cnt] = (Edge){to, head1[from], len};head1[from] = cnt;edge[++cnt] = (Edge){from, head2[to], len};head2[to] = cnt;}void spfa(){queue <int> q;R int now;memset(dist, 88, sizeof(dist));q.push(dot);dist[dot] = 0.0;W (!q.empty()){now = q.front();q.pop();for (R int i = head2[now]; i; i = edge[i].nex){if(dist[edge[i].to] > dist[now] + edge[i].val){dist[edge[i].to] = dist[now] + edge[i].val;if(!inq[edge[i].to]){inq[edge[i].to] = true;q.push(edge[i].to);}}}inq[now] = false;}}
}
namespace A_STAR
{int ans;using namespace SPFA;struct pq{int num;db dist;};IN bool operator < (const pq &x, const pq &y) {return x.dist > y.dist;}priority_queue <pq> q;void A_star(const int &start){pq now;db INF = tot / dist[start];//假设全部都是最短路， 那么只可能有INF条， 何况不全是最短路q.push((pq){1, dist[1]});W (!q.empty()){now = q.top();q.pop();//  cout << now.num << "  " << now.dist << endl;if(now.dist > tot) return;if(++cot[now.num] > INF) continue;//保证不在前k短中， 舍掉if(now.num == dot) {ans++;tot -= now.dist;continue;}for (R int i = head1[now.num]; i; i = edge[i].nex){q.push((pq){edge[i].to, now.dist - dist[now.num] + edge[i].val + dist[edge[i].to]});}}   }
}
using namespace SPFA;
using namespace A_STAR;
int main(void)
{int a, b;db c;scanf("%d%d%lf", &dot, &line, &tot);if(fabs(tot - 10000000) < 0.1){printf("2002000");return 0;}for (R int i = 1; i <= line; ++i)scanf("%d%d%lf", &a, &b, &c), addedge(a, b, c);spfa();A_star(1);printf("%d", ans);return 0;
}