三角函数公式推导过程

2024年2月7日发(作者：)

三角函数公式推导过程

三角函数公式推导过程

三角函数是高中数学的重要内容之一,也是培养和锻炼学生数学思维的最好素材，怎么推导得来的呢？本文是我整理三角函数公式推导过程的资料，仅供参考。

三角函数公式推导过程 万能公式推导

sin2=2sincos=2sincos/(cos^2()+sin^2())......*，

(因为cos^2()+sin^2()=1)

再把*分式上下同除cos^2()，可得sin2=2tan/(1+tan^2())

然后用/2代替即可。

同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

三倍角公式推导

tan3=sin3/cos3

=(sin2cos+cos2sin)/(cos2cos-sin2sin)

=(2sincos^2()+cos^2()sin-sin^3())/(cos^3()-cossin^2()-2sin^2()cos)

上下同除以cos^3()，得：

tan3=(3tan-tan^3())/(1-3tan^2())

sin3=sin(2+)=sin2cos+cos2sin

=2sincos^2()+(1-2sin^2())sin

=2sin-2sin^3()+sin-2sin^3()

=3sin-4sin^3()

cos3=cos(2+)=cos2cos-sin2sin

1

=(2cos^2()-1)cos-2cossin^2()

=2cos^3()-cos+(2cos-2cos^3())

=4cos^3()-3cos

即

sin3=3sin-4sin^3()

cos3=4cos^3()-3cos

和差化积公式推导

首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

2

好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.

我们把上述四个公式中的`a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

（怎样）推导三角函数公式 三角函数公式最基本的只有两个：

sin(+/-)=sin cos +/- cos sin

cos(+/-)=cos cos -/+ sin sin

这两个公式当然可以证明,而且数学课本上应该有证明.

（其他）的所有公式,包括和差倍半、诱导公式、和差化积、积化和差,全部都是这两个公式的衍生品.

仅举一例：

tan(+)=sin(+)/cos(+)=(sin cos + cos sin)/(cos cos - sin

sin)=(tan + tan)/(1 - tan tan)(上下同除cos cos).

这两个公式就是那一大堆公式的牛鼻子,记牢了就行了.至于剩下的,能记住,做题省点时间;记不住,拿这两个现场推.当然,要想拿这两个去推诱导公式的话,90、180、270那些角的函数值得自己记住.

记住两个,总比一下要记二十几个容易得多.

三角函数所有公式的推导过程 两角和公式

3

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

倍角公式

tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]

cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2

sin2A=2sinA*cosA

三倍角公式

sin3a=3sina-4(sina)^3

cos3a=4(cosa)^3-3cosa

tan3a=tana*tan(/3+a)*tan(/3-a)

半角公式

sin(A/2)=((1-cosA)/2) sin(A/2)=-((1-cosA)/2)

cos(A/2)=((1+cosA)/2) cos(A/2)=-((1+cosA)/2)

tan(A/2)=((1-cosA)/((1+cosA))

tan(A/2)=-((1-cosA)/((1+cosA))

cot(A/2)=((1+cosA)/((1-cosA))

cot(A/2)=-((1+cosA)/((1-cosA))

tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)

和差化积

4

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)

2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) )

2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)

-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2

cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

积化和差公式

sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]

cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]

sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]

诱导公式

sin(-a)=-sin(a)

cos(-a)=cos(a)

sin(pi/2-a)=cos(a)

cos(pi/2-a)=sin(a)

sin(pi/2+a)=cos(a)

cos(pi/2+a)=-sin(a)

sin(pi-a)=sin(a)

cos(pi-a)=-cos(a)

sin(pi+a)=-sin(a)

cos(pi+a)=-cos(a)

tgA=tanA=sinA/cosA

万能公式

sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))

5

cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))

tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))

其它公式

a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中，tan(c)=b/a]

a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中，tan(c)=a/b]

1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2

1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2

其他非重点三角函数

csc(a)=1/sin(a)

sec(a)=1/cos(a)

双曲函数

sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2

cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2

tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)

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