三角函数公式大全及详细推导过程

2024年2月7日发(作者：)

三角函数公式大全及推导过程一、任意角的三角函数在角的终边上任取一点P(x,y)，记：r．．正弦：sin余切：cotyrxyx2y2，余弦：cos正割：secxrrx正切：tan余割：cscyxry二、同角三角函数的基本关系式平方关系：sin2cos21，1tan2sec2，1cot2csc2倒数关系：sincsc1，cossec1，tancot1商数关系：tansincostansec，cot，sec，csccossinsintan以上公式，均可由定义直接证明。六角形记忆法：构造以“上弦、中切、下割；左正、右余、中间1”的正六边形为模型。（1）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。（2）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；（3）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。1

三、诱导公式公式一：（同终边的角）设α为任意角，终边相同的角的同一类三角函数的值相等：sin(2k)sincos(2k)costan(2k)tan公式二：（x轴对称角）任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-)-sincos(-)costan(-)-tan公式三：（中心对称角）设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin()-sincos()-costan()tan公式四：（y轴对称角）利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(-)sincos(-)-costan(-)-tan公式五：（同x轴对称角）利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2k-)sincos(2k-)costan(2k-)-tan公式六：（垂直关系角或y=x对称或y=-x对称角）3±α及±α与α的三角函数值之间的关系：22sin()coscos()-sintan()-cot222sin(-)coscos(-)sintan(-)cot222333sin()-coscos()sintan()-cot222333sin(-)-coscos(-)-sintan(-)cot222※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于k(kZ)的个三角函数值，22

①当k是偶数时，得到的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到相应的余函数值，即sin→cos；cos→sin；tan→cot；cot→tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。（符号看象限）各种三角函数在四个象限的符号如何判断，可以记住口诀“一全正；二正弦；三正切；四余弦”．四、两角和差公式sin()sincoscossincos()coscossinsintan()tantan1tantan，sin()sincoscossincos()coscossinsintantan1tantantan()——cos()（利用两点距离公式推导），然后利用诱导公式推导cos()，利用平方关系式可推导sin()，再利用诱导公式推导sin().tan()的推导如下：sin()sincoscossinsin(-)coscossinsinsincoscossintantancoscoscoscossinsin1tantancoscostan()亦可利用下图推导cos()或sin()证明正弦、余弦的和差角公式3

五、二倍角公式sin22sincos——由sin()推导出sin2cos2cos2sin22cos2112sin2……()——由cos()推导出，再结合平方关系.tan22tan1tan2二倍角的余弦公式()有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）1cos22cos21sin2(sincos)21cos22sin21sin2(sincos)2六、辅助角公式：asinxbcosxa2b2sin(x)（其中tanb）a其中：角的终边所在的象限与点(a,b)所在的象限相同，(以上kZ)2asinxbcosxa2b（aab22sinxbab22cosx）2a2b（cossinxsincosx）a2b2sin(x)其中，cosaa2b2，sinba2b2，即tanb.a七、万能公式：1-tan22tan2tancos2sin2tan2，，1tan21tan21-tan2运用两角和公式与平方关系式可推导.2sincos（2sincos）/cos22tansin22sincoscos2sin2（cos2sin2）/cos21tan2（常用平方关系式：sin2cos21）cos2-sin2（cos2-sin2）/cos21-tan2cos2cos-sin22222cossin（cossin）/cos1tan2222tansin21tan22tantan2cos21-tan21-tan21tan24

八、三倍角公式sin33sin4sin3sin(2)sin2coscos2sin2sincoscos(12sin2)sin2sincos2sin2sin32sin(1sin2)sin2sin33sin4sin3cos34cos33cos1、2、cos(2)cos2cossin2sin(2cos21)cos2sincossin(2cos21)cos2(1cos2)cos2cos3cos2cos2cos34cos33cos2tantan2tan2tan1-tantan3tan(2)1-tan2tan1-2tantan1-tan23、2tantan-tan33tan-tan33223tan-tan1-tan1-tan1-tan2-2tan21-3tan21-3tan21-tan21-tan2或sin3sin2coscos2sincos3cos2cossin2sin3sincos2sin332sincos2cos2sinsin33tan-tan3coscos33sin2coscos3sin2cos-2sin2cos1-3tan2cos3tan3九、积化和差公式由sin()sincoscossinsin()sincoscossin两式相加，得sin()sin()2sincos1所以,sincos（sin()sin()）21两式相减,得cossin（sin()-sin()）2由cos()coscossinsin，cos()coscossinsin两式相加，得cos()cos()2coscos1所以,coscos（cos()cos()）21两式相减,得sinsin-（cos()-cos()）25

十、和差化积公式有了积化和差的四个公式,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的设为x,-设为y,那么(xy)/2,(xy)/2把、分别用x、y表示就可以得到和差化积的四个公式:sinxsiny2sinxyx-ycos22xyx-ycos22sinxsiny2cosxyx-ysin22xyx-ysin22cosxcosy2coscos

xcosy2sin十一、其它公式：1、正弦定理：2、余弦定理a2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2a2b22abcosCabc2R（R为ABC外接圆半径）sinAsinBsinC3、三角形的面积公式SABC1底高2SABC111absinCbcsinAcasinB（两边一夹角）222十二、一些特殊角的三角函数值角度弧度sincostan0°001015°126-2418°105-141025430°612323345°4222260°33212390°210不存在6242-325-105516