三角函数的诱导公式教案

2024年2月7日发(作者：)

三角函数的诱导公式(第一课时)

教学目标：

1、知识目标：理解四组诱导公式及其探究思路，学会利用四组诱导公式求解任意角的三角函数值，会进行简单的化简与证明。

2、能力目标：培养学生数学探究与交流的能力，培养学生直觉猜想与抽象概括的能力。

3、情感目标与价值观：通过不断设置悬念、疑问，来引起学生的困惑与惊讶，激发学生的好奇心和求知欲，通过小组的合作与交流，来增强学生学习数学的自信心。

教学重点：理解四组诱导公式

利用四组诱导公式求任意角的三角函数值和简单的化简与证明。

教学难点：四组诱导公式的推导过程

为了区分下节课的几组公式，要理解为何名称不变

理解确定符号的方法

教学方法：启发式结合讨论式教学方法，结合多媒体课件演示

教学工具：多媒体电脑，投影仪

教学过程:

一、 问题情景：

回顾前面已经学习的理论知识，我们已经学习了任意角的三角函数的定义，学习了三角函数线，还有同角三角函数关系，但是我们还有一个关键问题没有解决，那就是：我们如何来求任意角的三角函数值呢？

思考：你能填好下面的表吗？



3900

6300

5

6

7

6

sin

cos

tan

二、 学生活动：

小组讨论：

1、找出我们可以解决的和目前无法解决的

2、对于还无法解决的，可否借助前面学习的知识求解

3、这些角之间有何关联

教师指导：我们前面学过了三角函数的定义和三角函数线，知道角的终边和单位圆的交点的坐标就是角对应的三角函数值，大家先画出一个单位圆，然后把第一个角的终边画出来，它和单位圆的交点记为（x0,y0），然后我们以每两排为一组前后左右可以相互讨论，分别画出另外四个角的终边和单位圆的交点，每组画一个，然后每组推出一名代表发言，看看你在画图的时候发现了什么。

（给五分钟画图、总结，学生在画图中容易看出另外的几个角和开始的锐角的关系）

三、 意义建构：

教师指导：请每组推出的代表发言。（按顺序，没合适人选时，教师可以随机指出一名代表）

第一组：由画图发现390的角的终边和00的终边是重合的，它们相差360，由三角函数定6第 1 页 共 5 页

义可知,终边相同的角的同一三角函数值相等，表中第二列和第一列值相同。

教师指导：第一组总结的很好，我们可否也把它推广到任意的角呢？总结一下就是“终边相同的角的三角函数值相同”，如何用符号表示？

诱导公式一:

sin(2k)sin

cos(2k)cos

tan(2k)tan （其中kZ）

教师指导：这个公式有什么作用？（学生总结，教师补充）

作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0正弦、余弦、正切，其方法是先在0003600之间角的3600内找出与角终边相同的角再把它写成诱导公式（一）的形式，然后得出结果简单来说就是“大化小”。此处还可以得出三角函数是“多对一”的单值对应，为下面研究函数的周期性打下铺垫。

（此处引出本节课题，在运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用）

第二组：由画图发现30的角的终边和0的终边是关于x轴对称的，由三角函数定义可知,6它们的余弦值相等，正弦值和正切值互为相反数。

教师指导：第二组总结的也不错，我们可否也把它推广到任意的角？总结一下就是“函数名不变，正号是余弦”，如何用符号表示？

诱导公式二：

sin(）-sin

cos(）cos

tan(）tan

教师指导：这个公式有什么作用？（学生总结，教师补充）

作用：把任意负角的正弦、余弦、正切化为该角正角的正弦、余弦、正切，其方法是对于正弦和正切直接提出负号，对于余弦可以直接去掉负号，简单来说就是“负变正”。此处还可以得出正弦函数与正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

第三组：由画图发现5的角的终边和的终边是关于y轴对称的，由三角函数定义可知,66它们的正弦值相等，余弦值和正切值互为相反数。

教师指导：第三组总结的也非常好，我们是否也可以把它推广到任意的角？总结一下就是“钝角化锐角，正弦不变号”，如何用符号表示？

sin 诱导公式三:

sin(））-cos

cos(

tan(）tan

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教师指导：这个公式有什么作用？（学生总结，教师补充）

作用：主要是建立钝角到锐角的一个桥梁，对任意角也是成立的。

第四组：根据画图得到7的角的终边和的终边是关于原点对称的，由三角函数定义可知,66它们的正切值相等，正弦值和余弦值互为相反数。

教师指导：第四组总结的很好，我们可以把它推广到任意的角吗？总结一下就是：“第三象限角，正切不变号”，符号表示？

诱导公式四：sin(）-sin

cos(）-cos

tan(）tan

四、 数学理论：

1、 我们今天学习的四组诱导公式：

诱导公式一:

sin(2k)sin

cos(2k)cos

tan(2k)tan （其中kZ）

诱导公式二：

sin(）-sin

cos(）cos

tan(）tan

诱导公式三:

sin(）sin

cos(）-cos

tan(）tan

诱导公式四：sin(）-sin

）-cos

cos(tan

tan(）教师指导：观察这四组诱导公式，然后回答下列问题：

1、 公式两边具有什么特点

2、 每个公式中符号特点是什么？如何确定符号的？

3、 如何记忆这几组公式？

小结：函数的名称不变，符号判断是把“看作”锐角时的符号。口诀：“函数名不变，符第 3 页 共 5 页

号看象限。”

2、 思考：公式的互推与转化：

（1） 由公式二、三推导公式四

sin(）sin

sinsin

cos(）coscoscos

tan(）tantantan（2）由公式二、三、四任意两个公式，能否推出另外一组公式？

（此处安排学生思考可以分成三组讨论，中间两组并成一大组。）

五、 数学应用：

例1、求值

(1)sin711 (2)cos (3)tan(1560)

6471sin()sin

666221133

cos(2)coscos()cos24444400000教师指导：做题之前，仔细想想，遇到不同的角，该选择什么样的公式？使用顺序又是如何？

解析：（1）sin（2）cos（3）tan(1560)tan1560tan(4360120)tan120

000

tan(18060)tan603

总结：一般我们在求解任意角的三角函数值的时候，一般遵循的规则为：“负变正，大化小，诱导公式到锐角。”

例2、判断下列函数的奇偶性

(1)f(x)1cosx (2)g(x)xsinx

教师指导：回忆判断奇偶性的步骤和注意点，思考与本节课所学习内容的联系（公式二）。

解析：（1）因为函数f(x)的定义域为R，且

f(x)1cos(x)1cosxf(x) ，所以f(x)是偶函数。

（2） 因为g(x)得定义域为R，且

g(x)xsin(x)x(sinx)(xsinx)g(x)

所以g(x)是奇函数。

sin(14400)cos(10800)例3、化简

cos(1800)sin(1800)教师指导：含字母问题，如何处理？注意和例1的联系。

sin(36004)cos(36003)sincos解析：原式

0000cos[(180)]sin[(180)]cos(180)[sin(180)]第 4 页 共 5 页

sincos1

(cos)sin变式训练:(3)cos(4)

cos(5)sin()sin()cossincos1

cos(5)[sin]cossin 解析：原式sin[(2n1)]2sin[(2n1)](nZ)

sin(2n)cos(2n)sin[()2n]2sin[()2n]解析：原式

sin(2n)cos(2n)

sin()2sin()sin2sin

sincossincos

3

cos

2.（此处学生板书，查漏补缺，第二小题难度较大，因为包含了字母n，有的同学可能会进行讨论，这样也是可以的，最关键的是要注意符号。）

课堂练习:

1、教材P20 1、2、3

2、已知cos()13，<<2，则sin(2)=___________________

223、化简sin(2)cos(2)tan(24)=_________________

00004、2sin(1110)sin9602cos(225)cos(210)________________

5、sin(1440)cos(1080)=______________________

cos(180)sin(180)六、回顾与反思：

1、本节课学习了哪几组公式？

2、如何记忆这几组公式？

3、任意给出一个角，如何去求解它的三角函数值？步骤是什么？

七、课后作业：

书第24页13、14两题。

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